Konvergenz und Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 So 30.11.2008 | | Autor: | Nyx |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Folgen [mm] $a_{n}$ [/mm] und [mm] $b_{n}$ [/mm] (mit $n [mm] \in \IN$), [/mm] definiert durch
[mm] $a_{n}:=\bruch{(3-n)^{3}}{3n^{3}-1}$ [/mm] bzw. [mm] $b_{n} [/mm] := [mm] \bruch{1+(-1)^{n}*n^{2}}{2+3n+n^{2}}$
[/mm]
welche der drei Eigenschaften "beschränkt", "konvergent" bzw. "divergent " vorliegt. Bestimmen Sie im Falle der Konvergenz zusätzlich den Grenzwert der Zahlenfolge. Welche Häufigkeitspunkte haben die Folgen? |
Hallo Leute,
ich hab jetzt mal die ganze Aufgabe geschrieben. Allerdings habe ich ein Problem.
In der Vorlesung haben wir den Satz gehabt:
[mm] $a_{n} [/mm] = [mm] a_{1}+\summe_{k=2}^{n}(a_{k}-a_{k-1})$
[/mm]
hoffe das ich den soweit richtig abgeschrieben habe....nen Freund hat mir kurz am Telefon gesagt, dass man das darüber lösen kann....ich komme aber einfach nicht weiter....
wie zeige ich denn so die Konvergenz??
Wäre über schnelle Hilfe sehr dankbar
Mfg Nyx
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Hallo Nyx,
mache einen Backslash \ vor die Brüche, also \bruch{3n^2-1}{4n^3}, um sie vernünftig als [mm] $\bruch{3n^2-1}{4n^3}$ [/mm] anzeigen zu lassen
> Bestimmen Sie für die Folgen [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] (mit [mm]n \in \IN[/mm]),
> definiert durch
> [mm]a_{n} := \bruch{(3-n)^{3}}{3n^{3}-1} bzw. b_{n} := \bruch{1+(-1)^{n}*n^{2}}{2+3n+n^{2}}[/mm]
>
> welche der drei Eigenschaften "beschränkt", "konvergent"
> bzw. "divergent " vorliegt. Bestimmen Sie im Falle der
> Konvergenz zusätzlich den Grenzwert der Zahlenfolge. Welche
> Häufigkeitspunkte haben die Folgen?
Diesen Begriff habe ich noch nie gehört, klingt aber witzig 
Die Dinger heißen Häufungspunkte oder -werte !
> Hallo Leute,
>
> ich hab jetzt mal die ganze Aufgabe geschrieben. Allerdings
> habe ich ein Problem.
>
> In der Vorlesung haben wir den Satz gehabt:
> [mm]a_{n} = a_{1}+\summe_{k=2}^{n}(a_{k}-a_{k-1})[/mm]
>
> hoffe das ich den soweit richtig abgeschrieben habe....nen
> Freund hat mir kurz am Telefon gesagt, dass man das darüber
> lösen kann....ich komme aber einfach nicht weiter....
> wie zeige ich denn so die Konvergenz??
Bei (a) multipliziere im Zähler aus, klammere im Zähler und Nenner die höchste Potenz von n aus und kürze sie weg. Dann den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$
[/mm]
bei (b) schaue dir mal die Teilfolgen [mm] $b_{2n}$ [/mm] und [mm] $b_{2n+1}$ [/mm] an, wie sehen die aus und was passiert mit ihnen für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Gehe analog wie in (a) vor ...
>
> Wäre über schnelle Hilfe sehr dankbar
>
> Mfg Nyx
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Nyx |
> Hallo Nyx,
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> mache einen Backslash \ vor die Brüche, also
> [mm][code]\bruch{3n^2-1}{4n^3}[/code],[/mm] um sie vernünftig als
> [mm]\bruch{3n^2-1}{4n^3}[/mm] anzeigen zu lassen
>
> > Bestimmen Sie für die Folgen [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] (mit [mm]n \in \IN[/mm]),
> > definiert durch
> > [mm]a_{n} := \bruch{(3-n)^{3}}{3n^{3}-1} bzw. b_{n} := \bruch{1+(-1)^{n}*n^{2}}{2+3n+n^{2}}[/mm]
>
> >
> > welche der drei Eigenschaften "beschränkt", "konvergent"
> > bzw. "divergent " vorliegt. Bestimmen Sie im Falle der
> > Konvergenz zusätzlich den Grenzwert der Zahlenfolge. Welche
> > Häufigkeitspunkte haben die Folgen?
>
> Diesen Begriff habe ich noch nie gehört, klingt aber witzig
>
>
> Die Dinger heißen Häufungspunkte oder -werte !
>
Oh sorry....hab ich mich vertippt...
> > Hallo Leute,
> >
> > ich hab jetzt mal die ganze Aufgabe geschrieben. Allerdings
> > habe ich ein Problem.
> >
> > In der Vorlesung haben wir den Satz gehabt:
> > [mm]a_{n} = a_{1}+\summe_{k=2}^{n}(a_{k}-a_{k-1})[/mm]
> >
> > hoffe das ich den soweit richtig abgeschrieben habe....nen
> > Freund hat mir kurz am Telefon gesagt, dass man das darüber
> > lösen kann....ich komme aber einfach nicht weiter....
> > wie zeige ich denn so die Konvergenz??
>
> Bei (a) multipliziere im Zähler aus, klammere im Zähler und
> Nenner die höchste Potenz von n aus und kürze sie weg. Dann
> den Grenzübergang [mm]n\to\infty[/mm]
>
Ist damit denn automatisch schon die Konvergenz bewiesen? Sollte man das nicht machen bevor man den Grenzübergang zeigt?
> bei (b) schaue dir mal die Teilfolgen [mm]b_{2n}[/mm] und [mm]b_{2n+1}[/mm]
wie bist du jetzt auf diese werte gekommen??...grade und ungerade zahlen?...aber warum?
> an, wie sehen die aus und was passiert mit ihnen für
> [mm]n\to\infty[/mm]
>
> Gehe analog wie in (a) vor ...
>
> >
> > Wäre über schnelle Hilfe sehr dankbar
> >
> > Mfg Nyx
>
>
> LG
>
> schachuzipus
mfg Nyx
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Hallo Nyx!
> Ist damit denn automatisch schon die Konvergenz bewiesen?
Ja, schließlich wurden hier lediglich die  Grenzwertsätze angewandt.
> > bei (b) schaue dir mal die Teilfolgen [mm]b_{2n}[/mm] und
> [mm]b_{2n+1}[/mm]
> wie bist du jetzt auf diese werte gekommen??...grade und
> ungerade zahlen?...aber warum?
Wegen des Termes [mm] $(-1)^n$ [/mm] . Dieser nimmt nun genau für gerade und ungerade $n_$ unterschiedliche Werte an.
Gruß vom
Roadrunner
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