Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Do 15.11.2007 | | Autor: | gokhant |
| Aufgabe | Untersuchen sie die Folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen sie ggf den Grenzwert..
a) an= [mm] 2^n [/mm] * n^(-2) 2 hoch n * n hoch -2
b) an= n ( [mm] \wurzel{1+1/n}-\wurzel{1- 1/n} [/mm] ) |
Also ich verstehe das irgendiwe garnicht mit der Konvergenz und so...würde mcih über jegliche Hilfe sehr freuen. Vielen dank schonmal im Voraus ..
mfg gokhant
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/index.php/forum/Grenzwert-und-konvergenz
dort habe ich auch meine ergebnisse gepostet. Vielen dank schonmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Do 15.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Hi :)
Du kannst ja einfach mal mit der ersten Folge anfangen. Schau dir den Zähler und den Nenner an und überlege einmal was schneller wächst und was daraus folgt. Das musst du dann nur noch beweisen.
Was glaubst du ?
Edit : Achja hier mal umgeformt ich denke das ist dir aber klar oder?
[mm]2^n \cdot n^{-2} = \bruch{2^n}{n^{2}}[/mm]
Wenn du nun vermutest, dass der Zähler schneller wächst als der Nenner dann wärst du auf dem richigen Weg ;) Das musst du dann auch zeigen! Und wenn du das gemacht hast kannst du schreiben:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n) = ?[/mm]
Kommst du damit weiter ?
Gruß
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Do 15.11.2007 | | Autor: | gokhant |
danke erstmal für dein posting Marc.
also hab das eingesetzt und habe entdeckt dass 2 hoch n deutlich schneller sich dem [mm] \infty [/mm] annähert als n²... und was ist jetzt mit dem grenzwert und wie muss ich das formulieren könntest du mir ein bissle helfen bei der ersten aufgabe damit ich das andere selbst mal versuche -)
vielen dank nochmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Do 15.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Ich hoffe es ist ok wenn ich hier nen Link einfüge da die Induktion ein bissle länger ist um zu zeigen, dass der Zähler schneller wächst:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=89474&start=0#p655396
Wenn du das gemacht hast kannst du einfach schreiben:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n) = \infty[/mm]
Edit : Naja man kann die Induktion einfach so machen:
Für [mm]n \geq 5[/mm] gilt : [mm]2^n > n^2[/mm]
Beweis:
Induktionsanfang: n= 5:
[mm]2^5 > 5^2[/mm]
Induktionsvorraussetzung: Sei bewiesen, dass [mm]2^n > n^2[/mm]
Induktionssschritt:
Hier benötigen wir zunächst die Abschätzung,dass für n>= 5 gilt:
[mm]2n+1\leq n^2[/mm] (Wenn ihr das nicht annehmen dürft dann wieder beweisen :) )
Damit folgt der Induktionsschritt:
[mm]2^{n+1} >(n+1)^2 \gdw 2 \cdot 2^n > n^2 + 2n + 1[/mm] da 2n+1 <= [mm] n^2 [/mm] folgt weiter
[mm]2 \cdot 2^n > n^2 +n^2 \gdw 2 \cdot 2^n > 2n^2 \gdw 2^n > n^2[/mm] und das gilt ja bekanntlich nach IV.
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Hallo Gökhan,
für deine erste Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}=\left(2^n\cdot{}n^{-2}\right)_{n\in\IN}=\left(\frac{2^n}{n^2}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] - klick mal auf die Formeln, dann siehst du, wie sie eingegeben werden - kannst du sehr gut die Regel von de l'Hospital verwenden, denn du hast ja bei direktem Grenzübergang den Fall [mm] $\frac{\infty}{\infty}$
[/mm]
Du wirst die wohl 2mal anwenden müssen, bedenke auch, dass du [mm] $2^n$ [/mm] schreiben kannst als [mm] $e^{n\cdot{}\ln(2)}$
[/mm]
Bei der zweiten Folge erweitere mal mit [mm] $\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}\red{+}\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)$
[/mm]
Dann entsteht im Zähler die 3. binomische Formel und alles löst sich in Wohlgefallen auf 
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Do 15.11.2007 | | Autor: | marcsn |
In deiner Lösung im anderen Forum hast du noch ein Fehler.
Bei Aufgabe c nutze aus:
[mm](1+\bruch{1}{n})^{n^2} = (\bruch{n+1}{n})^{n^2}[/mm]
Auch hier wächst der Zähler bedeutent schneller und damit divergiert die Folge.. geht also gegen unendlich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Do 15.11.2007 | | Autor: | gokhant |
vielen dank marc echt..ich werde mich jetzt sowieso von dem anderen Forum abmelden ist sowieso eine drecksschuppe..hier ist viel besser hier kommen wenigstens anständige antworten
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Do 15.11.2007 | | Autor: | gokhant |
habe das versucht eure tipps umzusetzen aber ich befürhcte es istimmer noch nich korrekt -((
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Do 15.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Für die b hat dir schachuzipus doch nen mega klasse Tipp gegeben. Du musst das doch nur noch so aufschreiben :
[mm](a_n) = n \cdot \left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}- \sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)} = Nun erweitern = n \cdot \bruch{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)}[/mm]
nun haben wir oben die 3.Binomi und können deswegen umformen zu:
[mm]n \cdot \bruch{(1+\bruch{1}{n}) - (1-\bruch{1}{n})}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)} = n \cdot \bruch{\bruch{2}{n}}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)}=\bruch {2}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)} [/mm]
und da für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch {1}{n} = 0[/mm] gilt konvergiert, gilt :
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} = 1 [/mm]
Die Folge konvergiert also gegen 1
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