Konvergenz und Grenzwert < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Fr 06.05.2005 | | Autor: | jannie |
Hi,
Ich hänge momentan an folgender Aufgabe:
Untersuchen Sie die Folge [mm] (a_{n)n\in \IN} [/mm] auf Konvergenz und geben Sie ggf. ihren Grenzwert an:
1. [mm] \bruch{n^2+(n^3/2+1)^2}{(2\wurzel{n})^6-32n^3+1}
[/mm]
2. [mm] (-1)^n*\bruch{2n+3}{n+1}-\bruch{n}{3n+2}
[/mm]
3. [mm] \wurzel[n]{a^n+b^n}, [/mm] 0<a<b
Kann mir da jemand vielleicht eine Beispiellösung geben, nach der ich die Aufgaben bearbeiten kann?
Danke.
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Fr 06.05.2005 | | Autor: | nobsy |
Bei Aufgabe 1 geeignet erweitern, dabei die 3. binomische Formel (a-b)(a+b) verwenden, also hier mit (a+b) erweitern. Dabei fällt die Wurzel weg. Im dann entstehenden Ausdruck abschätzen.
Bei Aufgabe 2 liegt keine Konvergenz vor. In jedem der beiden Brüche jeweils im Zähler und Nenner die höchste Potenz von n ausklammern, dann n kürzen und anschließend die Grenwertregeln anwenden.
Aufgabe 3: Im Moment noch keine Idee.
nobsy
|
|
|
| |
|
Hallo jannie und nobsy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es wäre schön, wenn du in Zukunft ein paar Lösungsansätze mitliefern könntest.
>
> Ich hänge momentan an folgender Aufgabe:
>
> Untersuchen Sie die Folge [mm](a_{n})n\in \IN[/mm] auf Konvergenz
> und geben Sie ggf. ihren Grenzwert an:
>
> 1. [mm]\bruch{n^2+(n^3/2+1)^2}{(2\wurzel{n})^6-32n^3+1}[/mm]
>
> 2. [mm](-1)^n*\bruch{2n+3}{n+1}-\bruch{n}{3n+2}[/mm]
>
> 3. [mm]\wurzel[n]{a^n+b^n},[/mm] 0<a<b
>
> Kann mir da jemand vielleicht eine Beispiellösung geben,
> nach der ich die Aufgaben bearbeiten kann?
> Bei Aufgabe 1 geeignet erweitern, dabei die 3. binomische Formel (a-b)(a+b) verwenden, also hier mit (a+b) erweitern.
> Dabei fällt die Wurzel weg. Im dann entstehenden Ausdruck abschätzen.
Aufgabe 1:
Warum so kompliziert?
Man könnte erst einmal ausmultiplizieren, dann fällt im Nenner die Wurzel gleich weg:
1. [mm]\bruch{n^2+(n^3/2+1)^2}{(2\wurzel{n})^6-32n^3+1}[/mm]
[mm] $\Rightarrow \bruch{n^2+(\bruch{n^3}{2}+1)^2}{2^6*n^3 - 32n^3 +1}$
[/mm]
auch ohne weiter auszumultipizieren erkennt man, dass die Exponenten von n im Zähler größer sind als im Nenner
[mm] \Rightarrow [/mm] kein Grenzwert.
oder habe ich die Aufgabe falsch gelesen? weil du den Formeleditor nicht konsequent benutzt?!
[edit] ich kann keinen Fehler erkennen ... 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Sa 07.05.2005 | | Autor: | frau-u |
Zu 1.)
Wenn man den Term ausmultipliziert kommt man irgendwann zu
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2+n^3-2n^3/2+1}{64n^3-32n^2+1}
[/mm]
und damit zum Grenzwert
1/(64-32) = 1/32
Ich bin kein Profi, aber deine Erklärung erscheint mir doch recht wenig mathematisch korrekt...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Sa 07.05.2005 | | Autor: | informix |
$ [mm] \bruch{n^2+(n^3/2+1)^2}{(2\wurzel{n})^6-32n^3+1} [/mm] $
Ich rechne gar nicht weiter, weil ich schon so erkennen kann, dass die höchste Potenz im Zähler 6 ist, im Nenner aber nur 3.
Damit strebt der ganze Bruch [mm] \rightarrow \infty.
[/mm]
> Zu 1.)
> Wenn man den Term ausmultipliziert kommt man irgendwann
> zu
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2+n^3-2n^3/2+1}{64n^3-32n^2+1}[/mm]
>
das kann ich wiederum nicht nachvollziehen ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") .
[mm] $(\bruch{n^3}{2}+1)^2 [/mm] = [mm] \bruch{n^6}{4} [/mm] + ...$ oder nicht?
> und damit zum Grenzwert
> 1/(64-32) = 1/32
> Ich bin kein Profi, aber deine Erklärung erscheint mir
> doch recht wenig mathematisch korrekt...
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 08.05.2005 | | Autor: | frau-u |
Hmm, es ist wohl eine Interpretationsfrage, wie man das [mm] n^3/2 [/mm] interpretiert.
Ich hatte es als [mm] n^{3/2} [/mm] gelesen. Dann wäre die Aufgabe auch eigentlich sinnvoller. Oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 So 08.05.2005 | | Autor: | informix |
> Hmm, es ist wohl eine Interpretationsfrage, wie man das
> [mm]n^3/2[/mm] interpretiert.
> Ich hatte es als [mm]n^{3/2}[/mm] gelesen. Dann wäre die Aufgabe
> auch eigentlich sinnvoller. Oder nicht?
.. es ist schon ein wenig frustrierend, wenn wir hier "stundenlang" diskutieren, aber die/der Fragesteller/in sich nicht mehr um die Aufgabe kümmert und die Fragen zur Aufgabenstellung klärt. Schade eigentlich. ![[traurig]](/images/smileys/traurig.gif "[traurig]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Mo 09.05.2005 | | Autor: | jannie |
Es war so gemeint wie frau-u es geschrieben hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:51 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo jannie,
Zur dritten Aufgabe würde mir folgendes einfallen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a^{n}+b^{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}(a^{n}+b^{n})^{\bruch{1}{n}}=\limes_{k\rightarrow0}(\bruch{1}{k})^{k}=\limes_{k\rightarrow0}\bruch{1}{k^{k}}=\bruch{1}{0^{0}}=\bruch{1}{1}=1
[/mm]
[edit] Den einzigen Fehler den ich erkennen kann, ist das ich nicht bewiesen habe , dass der Ausdruck [mm] 0^{0}=1 [/mm] ist.
Deswegen setzt ich jetzt [mm] exp(k):=e^{k}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow0}k^{k}=\limes_{k\rightarrow0}e^{k*ln(k)}=\limes_{k\rightarrow0}exp(k*ln(k)=exp(\limes_{k\rightarrow0}k*ln(k)=e^{0}=1
[/mm]
und
[mm] \limes_{k\rightarrow0}k*ln(k)=\limes_{k\rightarrow0}\bruch{lnx}{\bruch{1}{x}}=\limes_{k\rightarrow0}\bruch{\bruch{1}{k}}{-\bruch{1}{k^{2}}}=\limes_{k\rightarrow0}(-x)=0
[/mm]
Das müßte man natürlich noch in die Rechnung einbauen!
Gruß Fabian
|
|
|
| |
|
Hallo jannie,
0<a<b
[mm] $(a_n)=\wurzel[n]{a^n+b^n}$ [/mm] Ich definiere [mm]c_n:=\wurzel[n]{a^n+b^n}[/mm]
Man erhällt nun: [mm]c_n^n=a^n+b^n \gdw \frac{c_n^n}{b^n}=\frac{a^n}{b^n}+1 \rightarrow 1[/mm] für [mm] $n\rightarrow \infty$
[/mm]
Es gilt folglich: [mm] $c_n^n \rightarrow b^n [/mm] $ (insbesondere damit auch [mm]c_n \rightarrow b [/mm] ) für $n [mm] \rightarrow \infty$
[/mm]
Für die Folge [mm] (a_n) [/mm] bedeutet das nun:
[mm](a_n)=\wurzel[n]{a^n+b^n}= \wurzel[n]{c_n^n} \rightarrow \wurzel[n]{b^n}=b[/mm] für $n [mm] \rightarrow \infty$
[/mm]
oder anders ausgedrückt:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_n)=b$
[/mm]
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das jetzt mathematisch 100% richtig formuliert ist. (Das Ergebniss dürfte aber auf jeden Fall stimmen)
Gruß Samuel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 So 08.05.2005 | | Autor: | Max |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Fabian,
Wegen $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$ und $q=\frac{a}{b}<1$ ist der Grenzwert 1. Das du die Darstellung, die dir "$\frac{\infty}{\infty}$" liefert übergehst ist okay, denn bei $\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$ machst du das doch auch. Die Umformung ist ja für alle natürlichen Zahlen richtig!
Ich denke bei dir ist der Schritt von $\lim_{n \to \infty}\left( a^n +b^n\right)^{\frac{1}{n}$ zu $\lim_{k\to 0}\left(\frac{1}{k}\right)^k$ nicht richtig. Du kannst nicht einfach irgendeinen Grenzprozess durch einen anderen ersetzten.
Deine Umformung ist offensichtlich falsch, weil der Grenzwert $1$ für beliebige $a,b$ nicht richtig ist.
Ein Gegenbeispiel: Wähle $a=1$ und $b=4$. Wegen $\sqrt[n]{a^n+b^n}=\sqrt[n]{1+4^n}>\sqrt[n]{4^n}=4>1$ muss der Grenzwert der Folge größer $1$ sein.
Gruß Max
|
|
|
|
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
Wie kommst du darauf das der Ausdruck gegen 1 strebt? Also ich erhalte hier einen unbestimmten Ausdruck: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a^{n}}{b^{n}}=\bruch{\infty}{\infty}
[/mm]![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]"){kind=small}
!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
das ich deine Antwort angezweifelt habe! Hab sie mir gleich ausgedruckt , damit ich so einen Fehler nicht noch einmal mache!
