Konvergenz und Grenzwert Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:15 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Stift |
Hallo, ich habe ein Problem, damit zu zeigen, dass eine Folge konvergiert und gegen welchen Grenzwert. Also den Beweis mit Epsilon, also wo man sich ein N aussucht mit N< epsilon versteh ich ja oder dass ich manchmal die höchste Potenz ausklammern muss, jedoch muss ich doch beim Beweis mit Epsilon den Grenzwert vorher immer kennen und wenn ich da jetzt irgendeine folge mit sinus oder ähnlichem habe kann ich ja nicht einfach für n eine Zahl einsetzen und ohne Taschenrechner einen Näherungswert herausbekommen. Bei solchen Aufgaben weiß ich dann nicht wie ich das machen soll. Leider finde ich jetzt keine passende Aufgabe, vielleicht versteht mich ja jemand und hat auch noch eine passende Aufgabe.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Mi 07.09.2011 | | Autor: | DM08 |
Gib uns doch eine Beispielaufgabe und zeige wie weit du kommst.
MfG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Stift |
Okay, also hab jetzt mal auf die schnelle diese Aufgabe gefunden.
[mm] a_{n}= \bruch{ln(n)}{5 ln(n)+ arctan(n)}
[/mm]
Man soll die Folge auf Konvergenz überprüfen und ggf. den Grenzwert berechnen.
Bei so einer Aufgabe wüsste ich nicht wie ich anfangen soll, da ich den Grenzwert vorher ja nicht weiß.
Gruß
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Hallo Stift!
Auch hier bietet es sich an, auszuklammern ... und zwar [mm] $\ln(n)$ [/mm] .
Dies lässt sich dann kürzen.
Dazu benötigt man das Wissen, dass der [mm] $\arctan(n)$ [/mm] beschränkt ist, da gilt: [mm] $\left| \ \arctan(n) \ \right| [/mm] \ < \ [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1{,}57$
Manchmal muss man auch einfach etwas probieren, um ein Gefühl für die Folge zu bekommen oder auch einen Verdacht des Grenzwertes.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Stift |
Danke dir, das hab ich übersehen.
Also nehmen wir mal an, dass ich eine Aufgabe hätte wo man nicht ausklammern könnte ( habe leider keine) und den Grenzwert nicht "sieht". Könnte ich um die Konvergenz nachzuweisen, mit Cauchy arbeiten, also zeigen, dass eine Folge eine Cauchyfolge ist und da jede C.folge konvergent ist, konvergiert die Folge. Würde das gehen??
Gruß
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Moin Stift,
> Danke dir, das hab ich übersehen.
> Also nehmen wir mal an, dass ich eine Aufgabe hätte wo
> man nicht ausklammern könnte ( habe leider keine) und den
> Grenzwert nicht "sieht". Könnte ich um die Konvergenz
> nachzuweisen, mit Cauchy arbeiten, also zeigen, dass eine
> Folge eine Cauchyfolge ist und da jede C.folge konvergent
> ist, konvergiert die Folge. Würde das gehen??
Jede Cauchyfolge in [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC, [/mm] allgemeiner in vollständigen Räumen, konvergiert. In diesen Fällen kannst du diese Methode also probieren.
Um nur festzustellen, dass eine Folge konvergiert, gibt es auch andere hinreichende Kriterien. Zum Beispiel Monotonie + Beschränktheit.
Meistens hängt es stark von der Folge ab, wie man vorgeht.
Überlege zum Beispiel einmal, wie Du mit dieser Folge umgehen würdest:
[mm] a_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}.
[/mm]
Es handelt sich offenbar um eine Nullfolge. Gelingt dir ein Nachweis?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Stift |
Hallo, danke dir. Also bei der Folge würde ich das so machen:
Also [mm] \wurzel{n}-\wurzel{n-1} [/mm] mit [mm] \wurzel{n}+\wurzel{n-1} [/mm] erweitern, so dass [mm] \bruch{(\wurzel{n}-\wurzel{n-1})*(\wurzel{n}+\wurzel{n-1})}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{n-n-1}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-1}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}}
[/mm]
Kann ich jetzt mit 1/n abschätzen und sagen, dass die Folge gegen Null konvergiert??
Gruß
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Hallo Stift!
Bis auf den kleinen Vorzeichenfehler im Zähler kann man das so sagen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Stift |
Danke dir für deine Hilfe. Ich verstehe leider noch nicht wie ich absolute Konvergenz zeigen kann. Ich weiß, dass ich aus absoluter Konvergenz auch die "einfache" Konvergenz folgern kann, andersrum aber nicht.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Fr 16.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
absolute Konvergenz heisst doch einfach du zeigst , dass [mm] |a_n| [/mm] konvergiert auf den üblichen Wegen .
Aber das ist für Folgen selten sinnvoll, der Begriff wird eher bei reihen verwedet, wo man zwischen [mm]\summe_{i=1}^{n} a_i\textrm{ und }\summe_{i=1}^{n} |a__i|[/mm] unterscheidet. meinst du das?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Stift |
Hallo,
ja das meine ich. Also heißt dass jetzt, dass ich meine Reihe in Betrag stecken muss und dass mit dem Wurzelkriterium oder den anderen dies überprüfen muss?
Danke für die Antwort.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> ja das meine ich. Also heißt dass jetzt, dass ich meine
> Reihe in Betrag stecken muss und dass mit dem
> Wurzelkriterium oder den anderen dies überprüfen muss?
> Danke für die Antwort.
nein. Um zu prüfen,ob eine Reihe [mm] $\sum_k a_k$ [/mm] absolut konvergiert, ist zu prüfen, ob [mm] $\sum_k |a_k|$ [/mm] konvergiert. Das ist nicht das gleiche wie [mm] $|\sum_k a_k|\,,$ [/mm] denn:
Die Reihe [mm] $|\sum_k a_k|\,,$ [/mm] genauer also die Folge der zugehörigen Teilsummen, konvergiert genau dann, wenn [mm] $\sum_k a_k$ [/mm] konvergiert. Das wäre also nichts neues. [mm] ($\star$)
[/mm]
Es gilt aber nach der "verallgemeinerten Dreiecksungleichung"
[mm] $$|\sum_k a_k| \le \sum_k |a_k|\,,$$
[/mm]
und letztstehende Reihe (rechterhand!) ist auf Konvergenz zu prüfen, wenn man eine Reihe auf absolute Konvergenz überprüfen will.
Wie das geht, dazu gibt's entsprechende Kriterien. Das Wurzelkriterium z.B. ist in der Tat ein Kiterium, das, sofern es eine Konvergenzaussage bzgl. einer Reihe liefert, eigentlich eine stärkere Aussage liefert, nämlich, dass die Reihe auch absolut konvergiert. Bei der absoluten Konvergenz prüft man nicht, ob der "Betrag der Reihe" $< [mm] \infty$ [/mm] ist, sondern man prüft, ob die Reihe, die entsteht, wenn man von jedem Summanden den Betrag nimmt, konvergiert.
Ein Standardbeispiel für eine bedingt konvergente Reihe, d.h. eine Reihe, die konvergiert, aber nicht absolut konvergiert, ist das folgende:
Die Reihe
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n*(1/n)$$
[/mm]
ist nach Leibniz konvergent (beachte $1/n [mm] \to [/mm] 0$).
Die Reihe ist aber nicht absolut kgt., da
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty |(-1)^n *(1/n)|=\sum_{n=1}^\infty [/mm] 1/n$$
divergiert (und zwar bestimmt gegen [mm] $+\infty$).
[/mm]
[mm] ($\star$)
[/mm]
Beachte:
Die Frage nach der Konvergenz einer Reihe [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ [/mm] bedeutet per Def. erstmal die Frage, ob die Folge [mm] $(S_{n+n_0})_{n=0}^\infty$ [/mm] mit
[mm] $$S_{n+n_0}:=\sum_{k=n_0}^{n+n_0} a_k$$
[/mm]
konvergiert. Daher wäre die Frage nach der Konvergenz der Reihe [mm] $|\sum_{k=n_0}^\infty a_k|$ [/mm] nichts anderes als die Frage nach der Konvergenz der Folge [mm] $(|S_{n+n_0}|)_{n=0}^\infty\,.$ [/mm] Eine Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] (oder [mm] $\IC$) [/mm] konvergiert aber genau dann, wenn [mm] $(|b_n|)_n$ [/mm] konvergiert.
Was anderes ist es, wenn man die Reihe [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ [/mm] und die Reihe [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty |a_k|$ [/mm] auf Konvergenz untersucht. Die Konvergenz der letztstehenden Reihe impliziert die der ersten, aber i.a. gilt das umgekehrte nicht.
Die Teilsummen [mm] $(T_{n+n_0})_{n=0}^\infty$ [/mm] von [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty |a_k|$ [/mm] sehen auch so aus:
[mm] $$T_n:=\sum_{k=n_0}^{n+n_0} |a_k|$$
[/mm]
und nach der verallgemeinerten Dreiecksungleichung für endliche Summen gilt dann
[mm] $$T_n \ge |S_n|\,.$$
[/mm]
Daraus erkennt man dann den Sachverhalt, dass die Konvergenz von [mm] $(T_{n+n_0})_{n=0}^\infty$ [/mm] (also die Folge der Teilsummen von [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty |a_k|$) [/mm] die Konvergenz von [mm] $(|S_{n+n_0}|)_{n=0}^\infty$ [/mm] impliziert. Und letztstehende Konvergenz wiederum impliziert die Konvergenz von [mm] $(S_{n+n_0})_{n=0}^\infty\,,$ [/mm] also die Konvergenz der Teilsummen [mm] $(S_{n+n_0})_{n=0}^\infty\,,$ [/mm] also die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty a_k\,.$
[/mm]
Grüße,
Marcel
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