Konvergenz und Wert der Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:35 Di 11.12.2007 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | | Man zeige, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*\bruch{1}{n*2^n} [/mm] konvergent ist und berechne den Wert der Reihe mit einem Fehler, der kleiner ist als [mm] 0,5*10^{-3} [/mm] ist. |
Hallo!
Habe bei der obigen Aufgabe überhaupt keinen Durchblick, was ich genau machen muss, erstmal Konvergenz beweisen, aber wie gehe ich da vor?
Hatte erst gedacht, dass die Folge alterniert, wegen dem [mm] (-1)^n, [/mm] allerdings wird der Zähler ja nun immer größer und der Bruch daher immer kleiner wodurch, dass ganze eine Nullfolge sein sollte, ich weiß aber nicht, wie ich das mathematisch beweisen soll.
Den Teil mit der Fehlerberechnung, da haben wir den Tipp bekommen, dass das ganze mit Leibniz zu rechnen ist, da verstehe ich allerdings das Vorgehen nicht und finde nur Seiten, wo das ganze "mathematisch erklärt" wird und da komme ich nicht mehr mit.
Kann da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Di 11.12.2007 | | Autor: | bonczi |
Hallo,
du kannst mit dem leibnizkriterium die konvergenz der folge beweisen. wenn [mm] \bruch{1}{n2^{n}} [/mm] eine nullfolge ist, konvergiert die reihe, ansonsten ist sie divergent.
jedoch hab ich von einer fehlerberechnung noch nie gehört... bin aber auch erst im 1.semester.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:14 Di 11.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo und danke für deine Hilfe!
> Hallo,
> du kannst mit dem leibnizkriterium die konvergenz der
> folge beweisen. wenn [mm]\bruch{1}{n2^{n}}[/mm] eine nullfolge ist,
> konvergiert die reihe, ansonsten ist sie divergent.
Kann ich das so machen?
[mm]\bruch{1}{n2^{n}}[/mm][mm] ={\bruch{1}{n}}*\bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
Da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] für [mm] n->\infty [/mm] gegen Null geht, geht der ganze Therm gegen Null und wir haben eine Nullfolge. Reich das so?
Und wie mache ich nun den zweiten Aufgabenteil?
Vielen Dank!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Di 11.12.2007 | | Autor: | bonczi |
da n-> [mm] \infty [/mm] sieht man sofort, dass der nenner des therms gegen unendlich geht und immer größer wird. daher geht dein therm auch gegen 0, denke mal das sieht jeder, denn [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] geht auch gegen 0. du sagst dann, da der term eine nullfolge ist konvergiert die reihe nach leibniz. aber bei der fehlerberechnung kann ich dir leider nich helfen... keine ahnung davon...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Di 11.12.2007 | | Autor: | ONeill |
> da n-> [mm]\infty[/mm] sieht man sofort, dass der nenner des therms
> gegen unendlich geht und immer größer wird. daher geht dein
> therm auch gegen 0, denke mal das sieht jeder, denn
> [mm]\bruch{1}{2^{n}}[/mm] geht auch gegen 0. du sagst dann, da der
> term eine nullfolge ist konvergiert die reihe nach leibniz.
> aber bei der fehlerberechnung kann ich dir leider nich
> helfen... keine ahnung davon...
Vielen Dank, dafür!
Gruß ONeill
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 13.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo ihr beiden! Schönen Dank für die Antworten.
Gruß ONeill
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:26 Di 11.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es genügt nicht, dass [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist. [mm] a_n [/mm] muss auch streng monoton fallen. Erst dann kann man das Leipniz-Kriterium anwenden.
LG
Kroni
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 20:07 Di 11.12.2007 | | Autor: | bonczi |
stimmt, hab ich auch gerade in meinem skript nachgelesen. sie muss auch monoton fallend sein. jedoch haben unsere übungsleiter immer nur geprüft, ob es eine nullfolge ist und daraus gefolgert, dass die reihe konvergiert. mh...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Do 13.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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