Konvergenz uneigentlicher Int < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Mo 04.05.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | Stellen Sie fest, welcher der folgenden uneigentlichen Integrale konvergieren:
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{cos(x) dx}$
[/mm]
und
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x dx}{\wurzel{1+x^2}}}$ [/mm] |
Die Definition sagt, falls der Grenzwert
[mm] $\limes_{R\rightarrow\infty} \integral_{0}^{R}{f(x)}$
[/mm]
existiert, so ist das Integral konvergent.
Für den ersten Fall würde ich sagen, dass es konvergent ist, da [mm] $\integral_{0}^{R}{cos(x) dx} [/mm] = [mm] sin(x)\vmat{ R \\ 0 } [/mm] = sin(R) - sin(0) = sin(R)$
Zwar bewegt sich der sinus auf und ab, aber trotzdem scheint es einen Grenzwert zu geben. Oder ist es gerade deswegen nicht so?
Das zweite ähnlich:
[mm] $\integral_{0}^{R}{\bruch{x dx}{\wurzel{1+x^2}}} [/mm] = [mm] \wurzel{1+x^2}\vmat{ R \\ 0 } [/mm] = [mm] \wurzel{1+R^2} [/mm] - [mm] \wurzel{1+0^2} [/mm] = [mm] \wurzel{1+R^2} [/mm] - 1$
Scheinbar konvergent. Aber auch hier frage ich mich was mit R=1 ist. An dieser Stelle würde die Funktion Probleme bereiten. Wie sieht es da aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zodiac!
> Zwar bewegt sich der sinus auf und ab, aber trotzdem
> scheint es einen Grenzwert zu geben. Oder ist es gerade
> deswegen nicht so?
Zweiteres ist der Fall: es gibt also keinen Grenzwert.
> Das zweite ähnlich:
> [mm]\integral_{0}^{R}{\bruch{x dx}{\wurzel{1+x^2}}} = \wurzel{1+x^2}\vmat{ R \\ 0 } = \wurzel{1+R^2} - \wurzel{1+0^2} = \wurzel{1+R^2} - 1[/mm]
>
> Scheinbar konvergent.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Warum? Was passiert für [mm] $\limes_{R\rightarrow\infty}\wurzel{1+R^2}$ [/mm] ?
> Aber auch hier frage ich mich was mit R=1 ist.
Warum?
> An dieser Stelle würde die Funktion Probleme
> bereiten. Wie sieht es da aus?
Wieso sollte es dort Probleme geben?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Mo 04.05.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
> Warum? Was passiert für
> [mm]\limes_{R\rightarrow\infty}\wurzel{1+R^2}[/mm] ?
Ach Gott.
Divergent!
[mm]\limes_{R\rightarrow\infty}\wurzel{1+R^2} \ge \limes_{R\rightarrow\infty}\wurzel{R^2} = \limes_{R\rightarrow\infty}R = \infty[/mm]
> Wieso sollte es dort Probleme geben?
Das mit R=1 hat sich erledigt. War ein Gedankenfurz von mir.
Ist dies schon der Vollständige Beweis für die Konvergenz (bzw. das es keine Konvergenz gibt) ?
Vielen Dank,
Zod
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
