Konvergenz v. Funktionenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Do 26.05.2011 | | Autor: | uac |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktionenfolge [mm] $f_n [/mm] : [0,2] [mm] \to \IR [/mm] ; n [mm] \in \IN,$
[/mm]
[mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} nx \mbox{ für } x \in [0 , 1/n] \\ 2-nx \mbox{ für } x \in ]1/n , 2/n[ \\ 0 \mbox{ für } x \in [2/n , 2] \end{cases}
[/mm]
Skizzieren Sie die Funktion [mm] $f_n(x)$ [/mm] für ein beliebiges $n > 1$. Untersuchen Sie [mm] $f_n$ [/mm] auf
gleichmäßige Konvergenz, das heißt, betrachten Sie die Supremumsnorm und untersuchen
Sie, ob [mm] $f_n$ [/mm] in dieser Norm konvergiert. Geben Sie gegebenenfalls die Grenzfuktion
an. Beweisen Sie in jedem Fall Ihre Antwort. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
bevor ich auf gleichm. Konvergenz untersuchen kann, muss ich doch die punktweise Konv. anschauen, oder?
Allerdings scheint es ja keine Grenzfunktion zu geben, da $nx$ und $2-nx$ beide für $n [mm] \to \infty$ [/mm] divergieren.
Oder ist die Grenzfunktion die Nullfunktion, da die Intervalle $[0, 1/n]$ und $]1/n, 2/n[$ beide unendlich klein, bzw. der Nullpunkt werden?
Aber dann wäre ja an der Stelle $x = 0$ [mm] $f_n(x)$ [/mm] immer noch 1.
Eine andere Überlegung ist ja, das Supremum bei $x = 1/n$, [mm] $f_n(1/n) [/mm] = 1$ anzuschauen.. aber wenn ich noch keine Grenzfunktion habe, kann ich ja auch nicht prüfen, ob der Abstand von [mm] $f_n(x)$ [/mm] und $f(x)$ in der Supremumsnorm gegen 0 geht..
Danke im Voraus für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Do 26.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Klar dürfte sein:
(1) [mm] f_n(0) [/mm] =0 für jedes n.
Sei x [mm] \in [/mm] (0,2]. Dann ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: 2/N<x. Somit ist 2/n<x für jedes n mit n [mm] \ge [/mm] N. Also ist
(2) [mm] f_n(x)=0 [/mm] für jedes n [mm] \ge [/mm] N
Aus (1) und (2) folgt, dass [mm] (f_n) [/mm] punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Do 26.05.2011 | | Autor: | uac |
Hi, das mit groß N und klein n ist einleuchtend. Doch warum folgt daraus dann (2)?
Und wie würde es mit der Supremumsnorm weitergehen, folgendermaßen?:
lim sup [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| = [mm] |f_n(1/n) [/mm] - 0| = |1| [mm] \not= [/mm] 0$
Also konvergiert [mm] $f_n$ [/mm] nicht gleichmäßig, stimmt das? (Man müsste natürlich noch zeigen, dass bei $1/n$ das Supremum ist..)
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Huhu,
> Hi, das mit groß N und klein n ist einleuchtend. Doch
> warum folgt daraus dann (2)?
ist dir das denn wenigstens anschaulich klar?
Es gilt doch für alle [mm] $x\in [/mm] (0,2]$, dass sie ab einem [mm] $N\in \IN$ [/mm] in [mm] $\left[\bruch{2}{N},2\right]$ [/mm] liegen und ab da an auch für alle folgenden [mm] $n\ge [/mm] N$
d.h. ab diesem N gilt [mm] $f_n(x)=0\; \forall\, n\ge [/mm] N$
Und was ist der Grenzwert einer konstanten Folge?
> Und wie würde es mit der Supremumsnorm weitergehen,
> folgendermaßen?:
>
> lim sup [mm]|f_n(x) - f(x)| = \left|f_n(1/n) - 0\right| = |1| \not= 0[/mm]
>
> Also konvergiert [mm]f_n[/mm] nicht gleichmäßig, stimmt das? (Man
> müsste natürlich noch zeigen, dass bei [mm]1/n[/mm] das Supremum
> ist..)
Ja, du kannst hier aber auch ausnutzen, dass gilt:
[mm] $\sup |f_n(x) [/mm] - 0| [mm] \ge |f_n\left(\bruch{1}{n}\right)| [/mm] = 1$
Und damit folgt insbesondere, dass der Grenzwert nie Null werden kann.
So brauchst du nichtmal direkt zeigen, dass bei [mm] \bruch{1}{n} [/mm] das Supremum angenommen wird, du weißt aber, dass das Supremum auf jedenfall grösser sein muss.
MFG;
Gono.
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