Konvergenz von Folge/Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 So 06.12.2015 | | Autor: | Manu271 |
| Aufgabe | Seien [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] Folgen in [mm] \IR [/mm] mit [mm] \limes_{n \to \infty}x_n [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}y_n [/mm] = 0 und [mm] y_n [/mm] sei streng monoton.
Angenommen [mm] \limes_{n \to \infty}(x_{n+1}-x_n)/(y_{n+1}-y_n) [/mm] konvergiert, zeigen Sie das auch [mm] \limes_{n \to \infty}x_n/y_n [/mm] konvergiert und die Grenzwerte übereinstimmen. Gilt auch die umgekehrte Implikation? |
Hallo,
eigentlich weiß ich gar nicht genau, was ich zu obiger Aufgabe sagen soll.
Leider habe ich überhaupt keinen Ansatz und keine Ideen, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Es würde mir sehr helfen wenn ihr mir sagen könntet was ich machen kann/muss um hier auf eine Lösung zu kommen.
Das einzige, dass ich weiß, ist: Da [mm] y_n [/mm] streng monoton fällt (da [mm] y_n [/mm] konvergiert, muss [mm] y_n [/mm] fallen) gilt: [mm] y_{n+1}
Aber bisher hilft mir das nicht weiter.
Bestimmt könnt mir mir weiterhelfen :)
LG,
Manu271
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 So 06.12.2015 | | Autor: | Manu271 |
Ich habe mich etwas mehr mit der Aufgabe beschäftigt, und ich frage mich:
Wie kann $ [mm] \limes_{n \to \infty}x_n/y_n [/mm] $ existieren, wenn $ [mm] \limes_{n \to \infty}y_n=0 [/mm] $ ist?
LG,
Manu271
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> Ich habe mich etwas mehr mit der Aufgabe beschäftigt, und
> ich frage mich:
>
> Wie kann [mm]\limes_{n \to \infty}x_n/y_n[/mm] existieren, wenn
> [mm]\limes_{n \to \infty}y_n=0[/mm] ist?
Hallo,
z.B. so:
[mm] x_n:=\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] y_n:=\bruch{5}{n}
[/mm]
LG Angela
>
>
> LG,
> Manu271
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 So 06.12.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo
Erstmal nehme mir den Fall [mm] (y_n)_{n\in \mathbb{N}} [/mm] streng monoton fallend vor.
So ist [mm] y_{n+1} [/mm] < [mm] y_n [/mm] und [mm] y_n>0 \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N}
[/mm]
Konvergiere [mm] \frac{x_{n+1}-x_n)}{(y_{n+1}-y_n)} \rightarrow [/mm] a (n [mm] \rightarrow \infty)
[/mm]
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig aber fix, so [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \mathbb{N}: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N:
(a- [mm] \epsilon) [/mm] < [mm] \frac{x_{n+1} - x_n}{y_{n+1}-y_n} [/mm] < (a+ [mm] \epsilon)
[/mm]
Nun verwende ich, dass [mm] y_{n+1} [/mm] - [mm] y_n [/mm] < 0 ist also sich die Ungleichung umdreht wenn ich damit multipliziere.
[mm] \iff (a-\epsilon) (y_{n+1} [/mm] - [mm] y_n) [/mm] > [mm] x_{n+1} [/mm] - [mm] x_n [/mm] > (a+ [mm] \epsilon) (y_{n+1} [/mm] - [mm] y_n)
[/mm]
Sei nun K > n, K [mm] \in \mathbb{N}:
[/mm]
[mm] (a-\epsilon) \sum_{i=n}^K (y_{i+1} [/mm] - [mm] y_i) [/mm] > [mm] \sum_{i=n}^K (x_{i+1} [/mm] - [mm] x_i) [/mm] > [mm] (a+\epsilon) \sum_{i=n}^K (y_{i+1}- y_{i})
[/mm]
Nun bist du dran:
Nächste Schritt: Teleskopreihe
Übernächste Schritt: Lass n fix und K gegen unendlich gehen
Du solltest am Ende erhalten:
[mm] \iff (a-\epsilon) [/mm] < [mm] \frac{x_n}{y_n}< (a+\epsilon) [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Mo 07.12.2015 | | Autor: | Manu271 |
Vielen Dank für deine Antwort :)
Damit kann ich sicher arbeiten.
LG,
Manu271
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