www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz von Folge zeigen
Konvergenz von Folge zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz von Folge zeigen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 So 12.12.2004
Autor: michael7

Hallo,

gibt es einen einfachen Weg zu zeigen, dass

[mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm]?

Ich finde keinen Ansatz, der irgendwie halbwegs erfolgsversprechend aussieht.

Bin fuer jeden Tipp dankbar!

Michael

        
Bezug
Konvergenz von Folge zeigen: Ansatz / Umformung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 So 12.12.2004
Autor: Loddar

Hallo Michael,

ich nehme an, Du suchst den Grenzwert [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} a_n$. [/mm]

Schreib' Deine Folge doch mal folgendermaßen um:

[mm] $a_n [/mm] = [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] = [mm] n^{\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] e^{\bruch{1}{n}*ln(n)}$ [/mm]


Genügt das als Ansatz bzw. kommst Du nun alleine klar?

Grüße Loddar

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Folge zeigen: Rueckfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 So 12.12.2004
Autor: michael7

Hallo Loddar,

> ich nehme an, Du suchst den Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm].

ja, genau.
  

> Schreib' Deine Folge doch mal folgendermaßen um:
>  
> [mm]a_n = \wurzel[n]{n} = n^{\bruch{1}{n}} = e^{\bruch{1}{n}*ln(n)}[/mm]
>
> Genügt das als Ansatz bzw. kommst Du nun alleine klar?

Der Exponent ist nun ein Bruch [mm]b := \frac{ln(n)}{n}[/mm], der gegen 0 konvergiert. Von daher muss [mm]e^b[/mm] gegen 1 konvergieren. Richtig?
Falls ja, wie kann ich dann aber zeigen, dass [mm]b[/mm] auch wirklich gegen 0 geht, also [mm]n[/mm] viel schneller waechst als [mm]ln(n)[/mm]?

Danke, Michael

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Folge zeigen: Regel nach de l'Hospital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 So 12.12.2004
Autor: Loddar

Hallo Michael,

> Der Exponent ist nun ein Bruch [mm]b := \frac{ln(n)}{n}[/mm], der
> gegen 0 konvergiert. Von daher muss [mm]e^b[/mm] gegen 1
> konvergieren. Richtig?

Genau!!

>  Falls ja, wie kann ich dann aber zeigen, dass [mm]b[/mm] auch
> wirklich gegen 0 geht, also [mm]n[/mm] viel schneller waechst als
> [mm]ln(n)[/mm]?

Wenn Du Dir nun den Ausdruck [mm] $\bruch{ln(n)}{n}$ [/mm] ansiehst für [mm] $n\rightarrow\infty$, [/mm] entsteht doch ein Ausdruck: [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$. [/mm]

In diesem Fall darfst Du doch die Regel nach de l'Hospital anwenden, die da lautet (ich hoffe, diese Regel ist Dir bekannt bzw. Du "darfst" sie verwenden):
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(n)}{g(n)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f'(n)}{g'(n)}$. [/mm]


Nun alle Klarheiten beseitigt und die weiteren Schritte klar??

LG Loddar

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von Folge zeigen: Rueckfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 So 12.12.2004
Autor: michael7

Hallo Loddar,

> Wenn Du Dir nun den Ausdruck [mm]\bruch{ln(n)}{n}[/mm] ansiehst für
> [mm]n\rightarrow\infty[/mm], entsteht doch ein Ausdruck:
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm].
>  
> In diesem Fall darfst Du doch die Regel nach de l'Hospital
> anwenden, die da lautet (ich hoffe, diese Regel ist Dir
> bekannt bzw. Du "darfst" sie verwenden):
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(n)}{g(n)} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f'(n)}{g'(n)}[/mm].

oh, nett. Dann waere die Sache natuerlich klar. Leider hatten wir die Regel in der Vorlesung noch nicht, da wir auch noch keine Differentialrechnung hatten. Gibt es noch einen anderen ("direkten") Weg?

Michael

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Folge zeigen: keine Ahnung für direkten Weg
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:12 So 12.12.2004
Autor: Loddar

Das hatte ich ja fast befürchtet, daß die Regel nach de l'Hospital (vorerst) nicht angewandt werden darf.

Aber spontan fällt mir kein "direkter" Weg ein ... [keineahnung]

LG Loddar

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Folge zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 So 12.12.2004
Autor: Nilez

Hallo!

Hab mir folgendes zusammengereimt:

[mm] n=(1+(\wurzel[n]{n}- 1))^{n} [/mm] = (Binomischer Lehrsatz)

[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}* (\wurzel[n]{n}- 1)^{k}* 1^{n-k} [/mm]

[mm] \ge\vektor{n \\ 2}*(\wurzel[n]{n}- 1)^{2} [/mm]

... also einfach für k=2 eingesetzt (das muss für eine Abschätzung nach unten einfach passen)  

=  [mm] \bruch{n(n-1)}{2}*(\wurzel[n]{n}- 1)^{2} [/mm]

[mm] \Rightarrow n\ge \bruch{n(n-1)}{2}*(\wurzel[n]{n}- 1)^{2} [/mm]

(n wird gekürzt...)

[mm] \bruch{2}{n-1} \ge(\wurzel[n]{n}- 1)^{2} \ge0 [/mm]

...Einschließungskriterium, wobei die Abschätzung nach oben gegen 0 geht.

[mm] \Rightarrow (\wurzel[n]{n}-1)^{2} \to0 [/mm]

[mm] \Rightarrow (\wurzel[n]{n}-1) \to0 [/mm]

[mm] \Rightarrow \wurzel[n]{n} \to1 [/mm]

Hilft dir das was?

Liebe Grüße,
Nilez



Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz von Folge zeigen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:45 Mi 15.12.2004
Autor: michael7

Hallo Nilez,

etwas spaete Antwort...

> =  [mm]\bruch{n(n+1)}{2}*(\wurzel[n]{n}- 1)^{2} [/mm]

Muesste das nicht [mm]\frac{n(n-1)}{2}*\ldots[/mm] heissen?

> Hilft dir das was?

ja, vielen Dank!

Michael

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de