Konvergenz von Folge zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Trollgut |
| Aufgabe | Gegeben Ist die Folge [mm] a_0=1 [/mm] und [mm] a_n= \bruch{1}{1+a_{n-1}}. [/mm] Zeige:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] konvergiert. |
Hallo,
finde bei dieser Aufgabe keinen Ansatz. Ich soll wirklich nur zeigen, dass die Folge konvergiert (Ich habe schon gezeigt, dass sie wenn sie konvergiert gegen einen bestimmten Wert konvergieren muss [mm] (\bruch{\sqrt{5}-1}{2}). [/mm] Das Problem ist, dass die Folge nicht monoton ist (Habe sie in WolframAlpha eingegeben: http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%280%29%3D1%2Ca%28n%29%3D1%2F%281%2Ba%28n-1%29). Das heißt der übliche Trick mit der beschränktheit + Monotonie funktioniert nicht. Oder vielleicht doch und die Folge ist erst ab einem best. n monoton? Ich bräuchte deshalb bitte einen kleinen Tipp.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Trollgut,
> Gegeben Ist die Folge [mm]a_0=1[/mm] und [mm]a_n= \bruch{1}{1+a_{n-1}}.[/mm]
> Zeige:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] konvergiert.
> Hallo,
>
> finde bei dieser Aufgabe keinen Ansatz. Ich soll wirklich
> nur zeigen, dass die Folge konvergiert (Ich habe schon
> gezeigt, dass sie wenn sie konvergiert gegen einen
> bestimmten Wert konvergieren muss [mm](\bruch{\sqrt{5}-1}{2}).[/mm]
> Das Problem ist, dass die Folge nicht monoton ist (Habe sie
> in WolframAlpha eingegeben:
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%280%29%3D1%2Ca%28n%29%3D1%2F%281%2Ba%28n-1%29).
> Das heißt der übliche Trick mit der beschränktheit +
> Monotonie funktioniert nicht. Oder vielleicht doch und die
> Folge ist erst ab einem best. n monoton? Ich bräuchte
> deshalb bitte einen kleinen Tipp.
Die beiden Teilfolgen [mm] $(a_{2k})$ [/mm] und [mm] $(a_{2k+1})$ [/mm] sind monoton.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Trollgut |
ok, vielen Dank. Das heißt also, dass wenn ich zeigen kann, dass alle Teilfolgen von [mm] a_n [/mm] konvergieren, ich dann gezeigt hätte, dass auch [mm] a_n [/mm] selbst konvergiert?
Dann müsste ich aber noch zeigen, dass die Teilfolgen den Selben Grenzwert haben, oder?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> ok, vielen Dank. Das heißt also, dass wenn ich zeigen
> kann, dass alle Teilfolgen von [mm]a_n[/mm] konvergieren, ich dann
> gezeigt hätte, dass auch [mm]a_n[/mm] selbst konvergiert?
>
> Dann müsste ich aber noch zeigen, dass die Teilfolgen den
> Selben Grenzwert haben, oder?
Genau!
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 So 25.11.2012 | | Autor: | Trollgut |
Hallo,
Danke jetzt weiß ich wie ich die Aufgabe angehen muss.
Sitze nun aber schon ziemlich lange an dem Beweis, dass die Folge a_2k durch [mm] \bruch{\sqrt{5}-1}{2} [/mm] nach unten beschränkt ist. Wenn sie das wäre, dann könnte ich auch zeigen, dass die Teilfolge monoton fällt.
Habe das Ganze mit Induktion rauf und runter gerechnet, komme aber auf keinen grünen Zweig. Hat hier vielleicht jemand einen Tipp für mich wie ich das Ganze zeigen kann. Vielleicht ja auch ohne Induktion?
Grüße
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Hallo Trollgut,
ja, ohne Induktion.
Zeige [mm] (a_{2k}>\phi-1)\Rightarrow a_{2k+2}>\phi-1
[/mm]
Hierbei ist hilfreich zu wissen, dass [mm] \phi-1=\bruch{1}{\phi} [/mm] ist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 So 25.11.2012 | | Autor: | Trollgut |
Muss ich also direkt die Implikation [mm] (a_{2k}>\phi-1)\Rightarrow a_{2k+2}>\phi-1 [/mm] zeigen, oder nur den Teil [mm] (a_{2k}>\phi-1)? [/mm] Zweiteres hatte ich schon erschöpfend versucht ohne drauf zu kommen.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 So 25.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Muss ich also direkt die Implikation
> [mm](a_{2k}>\phi-1)\Rightarrow a_{2k+2}>\phi-1[/mm] zeigen, oder nur
> den Teil [mm](a_{2k}>\phi-1)?[/mm] Zweiteres hatte ich schon
> erschöpfend versucht ohne drauf zu kommen.
Ersteres. Das heißt, Du zeigst [mm] $a_{2k}>\phi-1$ [/mm] durch Induktion nach $k$.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 So 25.11.2012 | | Autor: | Trollgut |
Hallo,
Super, danke! Habe es jetzt hinbekommen.
Der Beweis, dass die Folge [mm] a_{2k+1} [/mm] monoton steigt, läuft so wie ich das gerade sehe eigentlich analog. Kann ich in so einem Fall den Beweis aussparen und das durch irgendeine Floskel kenntlich machen oder muss ich den vollständigen Beweis quasi noch einmal durchführen?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 So 25.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
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> Super, danke! Habe es jetzt hinbekommen.
>
> Der Beweis, dass die Folge [mm]a_{2k+1}[/mm] monoton steigt, läuft
> so wie ich das gerade sehe eigentlich analog. Kann ich in
> so einem Fall den Beweis aussparen und das durch irgendeine
> Floskel kenntlich machen oder muss ich den vollständigen
> Beweis quasi noch einmal durchführen?
Das ist wirklich Geschmacksache. Dozenten und Autoren dürfen das, Studenten nicht.
Ich finde es reizvoll, den zweiten Fall auf den ersten zurückzuführen, ohne ihn "analog" zu beweisen. Ob das hier möglich und sinnvoll ist, weiß ich nicht.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 So 25.11.2012 | | Autor: | Trollgut |
OK. Werde mich mal daran versuchen. Auf jeden Fall vielen Dank! Du hast mir jetzt schon erstaunlich oft geholfen.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:36 Mo 26.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Trollgut,
> OK. Werde mich mal daran versuchen. Auf jeden Fall vielen
> Dank! Du hast mir jetzt schon erstaunlich oft geholfen.
Das liegt vermutlich an zweierlei: erstens hilft Wolfgang erstaunlich oft, und zweitens kann er das auch. 
Viel Erfolg weiterhin!
reverend
PS: Ich habs gar nicht versucht, die beiden Fälle miteinander zu verbinden, so dass ich zur Sache gerade gar nichts sagen kann.
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