Konvergenz von Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo..
Bsp.:
Konvergiert die Folge [mm] a_{n} [/mm] ? Wenn ja gegen welchen Grenzwert?
[mm] a_{n} [/mm] := [mm] (-1/n)^{n} [/mm] + [mm] \bruch{((n*(n+1))/2) }{i * n^{2}} [/mm] in [mm] \IC
[/mm]
Wie soll ich bestimmen ob sie konvergieren??
Ansonsten wenn sie konvergiert täte ich sagen:
[mm] (-1/n)^{n} [/mm] + [mm] \bruch{1 + n/n^2}{2i}
[/mm]
[mm] n/n^2 [/mm] geht gegen 0 also konvergiert [mm] \bruch{1 + n/n^2}{2i}
[/mm]
gegen 1/2i
Gegen was konvergiert [mm] -1/n^{n} [/mm] ?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:38 So 20.11.2005 | | Autor: | djmatey |
> Hallo..
>
Hallo!
> Bsp.:
> Konvergiert die Folge [mm]a_{n}[/mm] ? Wenn ja gegen welchen
> Grenzwert?
> [mm]a_{n}[/mm] := [mm](-1/n)^{n}[/mm] + [mm]\bruch{((n*(n+1))/2) }{i * n^{2}}[/mm]
> in [mm]\IC[/mm]
>
> Wie soll ich bestimmen ob sie konvergieren??
>
> Ansonsten wenn sie konvergiert täte ich sagen:
>
> [mm](-1/n)^{n}[/mm] + [mm]\bruch{1 + n/n^2}{2i}[/mm]
>
> [mm]n/n^2[/mm] geht gegen 0 also konvergiert [mm]\bruch{1 + n/n^2}{2i}[/mm]
>
> gegen 1/2i
Das stimmt!
>
> Gegen was konvergiert [mm]-1/n^{n}[/mm] ?
>
Genau genommen müßtest Du hier betrachten, wogegen [mm] \bruch{(-1)^{n}}{ n^{n}} [/mm] konvergiert! Der Nenner wird beliebig groß, der Zähler oszilliert zwischen -1 und 1, d.h. diese Folge springt abwechselnd zum negativen und zum positiven Teil der reellen Achse und nähert sich dabei der 0 an. Die Folge konvergiert also gegen 0 und die Ausgangsfolge somit gegen [mm] \bruch{1}{2i}, [/mm] wie Du ja schon richtig berechnet hast!
Beste Grüße
djmatey
> mfg,
> Hannes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 20.11.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo....
Das [mm] (-1)^{n}/n^{n} [/mm] gegen 0 konvergiert ist mir jetzt nach deiner
schönen Beschreibung klar. Nur wie kann ich das mathematisch machen?
Wenn [mm] (1)^{n}/n^{n} [/mm] wäre ist die Sache klar....mit dem Einschachtelngssatz:
Also:
0 <= [mm] \bruch{ (1)^{n}}{n^{n}} [/mm] <= 1/n
Wie kann ichs mit [mm] (-1)^{n}/n^{n} [/mm] zeigen?
Anderes Bsp.:
Wenn ich folgende Folge habe:
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] \bruch{2n^{3} + n - 5)}{2n*(n-1)*(n+1)} [/mm]
Dann weiß ich schon im vorhinein dass sie nicht konvergiert da [mm] (-1)^{n} [/mm] nicht konvergiert oder?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hannes!
> Das [mm](-1)^{n}/n^{n}[/mm] gegen 0 konvergiert ist mir jetzt nach
> deiner schönen Beschreibung klar.
Zerlege diese Folge doch in zwei Teilfolgen mit geraden und ungeraden Nummern:
[mm] a_n=\left(\bruch{-1}{n}\right)^n=\begin{cases} \bruch{1}{n^n} & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{-1}{n^n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Und nun die entsprechenden Grenzwerte betrachten, die in unserem Falle identisch sind und damit dem Gesamtgrenzwert entsprechen.
> Anderes Bsp.:
> [mm]b_{n}[/mm] = [mm](-1)^{n}[/mm] * [mm]\bruch{2n^{3} + n - 5)}{2n*(n-1)*(n+1)}[/mm]
>
> Dann weiß ich schon im vorhinein dass sie nicht konvergiert
> da [mm](-1)^{n}[/mm] nicht konvergiert oder?
Zur "Sicherheit" kannst Du das wie oben in die beiden Teilfolgen zerlegen.
Aber Du hast Recht: da der Ausdruck hinter dem Faktor [mm] $(-1)^n$ [/mm] gegen einen Wert ungleich Null konvergiert, ist auch die gesamte Folge nicht konvergent.
Gruß
Loddar
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