Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) Sei a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} (a_{n} \in \IR) [/mm] und [mm] a_{n}> [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Dann gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{a_{n}} [/mm] = [mm] \wurzel{a}
[/mm]
2)Entscheide ob die folge konvergiert, wenn ja gib einen Grenzwert an:
( [mm] \bruch{sin(n)}{2+ \wurzel[3]{n^{5}}}).
[/mm]
3)
Zeige oder widerlege folgende Behauptung:
Für alle x [mm] \in B_{1}(0) \subset \IR [/mm] gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} x^{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x}.
[/mm]
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Hallo,
zu 1) hab ich mir folgendes überlegt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = a
Dann kann ich auf beiden Seiten die Wurzel ziehen:
[mm] \wurzel{\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}} [/mm] = [mm] \wurzel{a}
[/mm]
und da ich weiss, dass [mm] a_{n} [/mm] bereits konvergiert, kann ich die Grenzwertsätze benutzen und daraus folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{ a_{n}} [/mm] = [mm] \wurzel{a}.
[/mm]
Ich weiss nicht genau ob das so geht, aber müsste doch eigentlich, oder?
zu 2) Hier weiss ich leider nicht, wie ich rangehen soll, wäre über einen Hinweis sehr erfreut.
zu3) die geometrische Reihe konvergiert doch nur für [mm] |x^{i}| [/mm] < 1,
damit ist diese Behauptung doch falsch, oder?
Hoffe mir kann jemand helfen.
MFG
nathenatiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Teufel |
2.) Ich glaube, hier reicht es nur zu überlegen, welche Zahlen im Nenner rauskommen könnten. Im Zähler schwenkt es ja nur zwischen -1 und 1.
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Hallo,
mein problem bei 2) ist, wie ich den Grenzwert Formal bestimme,
dass die Folge gegen 0 geht, ist mir klar. Aber wie mache ich das?, z.B. mit hilfe von Grenzwertsätzen?oder mit Hilfe einer Testfolge?
mfg
Nathenatiker
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Sa 17.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo nathenatiker
> 1) Sei a = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} (a_{n} \in \IR)[/mm]
> und [mm]a_{n}>[/mm] 0 für alle n [mm]\in \IN.[/mm] Dann gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{a_{n}}[/mm] = [mm]\wurzel{a}[/mm]
> 2)Entscheide ob die folge konvergiert, wenn ja gib einen
> Grenzwert an:
> ( [mm]\bruch{sin(n)}{2+ \wurzel[3]{n^{5}}}).[/mm]
> 3)
> Zeige oder widerlege folgende Behauptung:
> Für alle x [mm]\in B_{1}(0) \subset \IR[/mm] gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n} x^{i}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-x}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> zu 1) hab ich mir folgendes überlegt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = a
> Dann kann ich auf beiden Seiten die Wurzel ziehen:
> [mm]\wurzel{\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}}[/mm] = [mm]\wurzel{a}[/mm]
Hast du einen GW satz ,der sagt dass das gilt? dann musst du ihn zitieren, und zeigen, dass die vorraussetzngen des Satzes erfüllt sind.
Ich denke du solltest hier mit der [mm] N-\varepsilon [/mm] Def. arbeiten und aus dem bekannten N für an eines für [mm] \wurzelan [/mm] angeben.
> und da ich weiss, dass [mm]a_{n}[/mm] bereits konvergiert, kann ich
> die Grenzwertsätze benutzen und daraus folgt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{ a_{n}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{a}.[/mm]
> Ich weiss nicht genau ob das so geht, aber müsste doch
> eigentlich, oder?
>
> zu 2) Hier weiss ich leider nicht, wie ich rangehen soll,
> wäre über einen Hinweis sehr erfreut.
Folge der Beträge ist Nullfolge zeigen, dann hast du Konvergenz. Für GW wieder N angeben.
> zu3) die geometrische Reihe konvergiert doch nur für
> [mm]|x^{i}|[/mm] < 1,
> damit ist diese Behauptung doch falsch, oder?
Ich weiss nicht, was bei euch B1(0) bedeutet, könnte es eine Umgebung von 0 mit Radius 1 sein? Auch hier denk ich zuerst an N, [mm] \varepsilon.
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo,
zu Aufgabe 1), hab das jetzt so gemacht:
Sei [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] und | [mm] \wurzel{a_{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{a}| [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}.
[/mm]
dann gilt [mm] |a_{n} [/mm] + [mm] \wurzel{a_{n}} [/mm] -(a + [mm] \wurzel{a})| \le |a_{n} [/mm] - a| + [mm] <\wurzel{a_{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{a}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] .
Kann man das so machen? bin mir nicht ganz sicher, weil ich irgendwie noch Probleme mit [mm] \varepsilon [/mm] - Beweisen habe.
Aufgabe2) den Tipp habe ich leider nicht verstanden, kann mir den noch mal jemand erläutern?
MFG
Nathenatiker
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 So 18.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo nathenatiker
> Hallo,
>
> zu Aufgabe 1), hab das jetzt so gemacht:
> Sei [mm]|a_{n}[/mm] - a| < [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] und |
> [mm]\wurzel{a_{n}}[/mm] - [mm]\wurzel{a}|[/mm] < [mm]\bruch{\varepsilon}{2}.[/mm]
> dann gilt [mm]|a_{n}[/mm] + [mm]\wurzel{a_{n}}[/mm] -(a + [mm]\wurzel{a})| \le |a_{n}[/mm]
> - a| + [mm]<\wurzel{a_{n}}[/mm] - [mm]\wurzel{a}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] .
Nein sicher nicht!
Wieso etwa kannst du das [mm]\wurzel{a_{n}}[/mm] - [mm]\wurzel{a}|[/mm] < [mm]\bruch{\varepsilon}{2}.[/mm] annehmen? das willst du doch zeigen!
Du hast als Vors: zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein N, so dass für ALLE n>N gilt, [mm] |an-a|<\varepsilon. [/mm] natürlich gibts dann auch ein N für [mm] \varepsilon/2 [/mm] oder [mm] \varepsilon/4. [/mm] oder [mm] \varepsilon^{2}
[/mm]
DARAUS musst du jetzt ein N finden ,so dass [mm]<\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a}| <\varepsilon[/mm]
Du kannst z. Bsp anfangen mit $ [mm] |\wurzel{an}^2-\wurzel{a}^2|<\varepsilon^2 [/mm] für n>N0
Gruss leduart
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ok, danke, habs jetzt,
wäre nett wenn mir noch mal jemand den tipp zu Aufgabe 2 erklären könnte.
vielen dank,
mfg
nathenatiker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Di 20.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du GW 0 zeigen willst musst du doch nur haben : |an| Nullfolge
dann kannst du den Bruch vergrößern, wenn er immer noch Nulfolge ist, d,h, du kannst ein [mm] N(\varepsilon) [/mm] finden dann bist du fertig.
Und den Bruch abschätzen, d.h. vergrößern immer so: Zähler vergrößern und oder Nenner verkleinern, das probier mal selber.
Was B1(0) ist hast du noch nicht gesagt! überleg deine Aussage zu 3 nochmal
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Di 20.06.2006 | | Autor: | Sandeu |
Also, die Vorraussetzung ist | [mm] a_{n}-a [/mm] |< [mm] \varepsilon
[/mm]
und daraus soll ich zeigen, dass
| [mm] \wurzel{ a_{n}}- \wurzel{a} |<\varepsilon
[/mm]
wie??? ich habe nicht mal ansatzweise ein Idee... irgendwo stehe ich auf dem Schlauch... aber wo?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Di 20.06.2006 | | Autor: | Wapiya |
Nimm Dir einfach mal einige Zahlen (kleiner und größer 1) bilde die Quadrate, und dann vergl. den Betrag der Differenz von
a) deinen ursprünglichen Zahlen und
b) den Quadraten derselben.
Gruß
Wapiya
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