Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Di 20.11.2007 | | Autor: | kasia |
| Aufgabe | Welche der Folgen [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] reeler Zahlen ist konvergent? Bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert und beweisen Sie Ihre Behauptungen.
a) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (-1)^n*n^2 [/mm]
b) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{3*n^2+n+7}{n^2+1}
[/mm]
c) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] q^n [/mm] für 0<q<1 (Benutzen Sie die Bernoullische Ungleichung) |
Hallo!
Ich habe einige Fragen zur Lösung der oben genannten Aufgabe...
zu a)
zu zeigen ist doch, dass [mm] |a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon, [/mm] wobei a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n
[/mm]
Meine Frage: Müsste a nicht für [mm] n\to\infty [/mm] auch gegen [mm] \infty [/mm] streben? Wie kann man denn dann [mm] |a_n-a| [/mm] angeben?
zu b)
dort habe ich a mit 3 abgeschätzt und erhalte:
[mm] |\bruch{3*n^2+n+7}{n^2+1}-3| [/mm] = [mm] |\bruch{1+\bruch{4}{n}}{n+\bruch{1}{n}}| =|\bruch{1}{n}|\le |\bruch{1}{N}| [/mm] (da n>N) < [mm] \varepsilon [/mm] für N > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
Ist dies so richtig?
Wenn ja, muss ich dann überhaupt noch den Grenzwert berechnen, da ich diesen doch schon mit a=3 angegeben habe?
zu c)
da soll ich ja die Bernoullische Ungleichung verwenden. wenn ich nun [mm] (1+x)^n \ge [/mm] 1+nx anwende, erhalte ich doch
[mm] (1+q)^n \ge [/mm] 1+nq
[mm] \Rightarrow q^n \ge [/mm] nq
[mm] \Rightarrow q^{n-1}\ge [/mm] n
Wie kann mir das denn weiterhelfen?
da 0<q<1 sieht man ja, dass [mm] a_n \to [/mm] 0, aber wie zeige ich das denn?
Hoffe, dass mir jemand helfen kann!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Di 20.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo kasia!
Gibt es denn für [mm] $a_n [/mm] \ := \ [mm] (-1)^n*n^2$ [/mm] einen eindeutigen Grenzwert $a_$ ? Hast Du Dir mal die ersten Glieder ermittelt und aufgeschrieben - was fällt auf?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Di 20.11.2007 | | Autor: | kasia |
es kann ja kein eindeutiges ja geben, da [mm] (-1)^n [/mm] für gerade n positiv, und für ungerade n negativ ist. Wenn ich das angebe, ist die Aufgabe dann schon fertig? bzw reicht das dann tatsächlich schon und man braucht [mm] |a_n-a| [/mm] garnicht mehr?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Di 20.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo kasia!
Der Nachweis mittels [mm] $\left|a_n-a\right|<\varepsilon$ [/mm] wird natürlich nur geführt für einen existierenden Grenzwert.
Da diese Reihe ja alterierend ist sowie über alle Grenzen wächst, existiert kein solcher Grenzwert und weitere Nachweise sind entbehrlich.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Di 20.11.2007 | | Autor: | kasia |
vielen dank für die schnelle antwort und die erklärung!
hast du dir auch b) bzw c) angeguckt? kannst du mir sagen, ob meine überlegungen denn stimmen?
nocheinmal danke und lg!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Di 20.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.a) du sollst ja erst entscheiden, OB die Folge konvergent ist! und diese ist es garantiert nicht, sie ist weder nach oben, noch nach unten beschränkt!
b)
> b) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{3*n^2+n+7}{n^2+1}[/mm]
>
> c) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]q^n[/mm] für 0<q<1 (Benutzen Sie die Bernoullische
> Ungleichung)
> Hallo!
>
> Ich habe einige Fragen zur Lösung der oben genannten
> Aufgabe...
>
> zu b)
>
> dort habe ich a mit 3 abgeschätzt und erhalte:
>
> [mm]|\bruch{3*n^2+n+7}{n^2+1}-3|[/mm] =
> [mm]|\bruch{1+\bruch{4}{n}}{n+\bruch{1}{n}}| =|\bruch{1}{n}|\le |\bruch{1}{N}|[/mm]
da kannst du kein = schreiben!
[mm][mm] |\bruch{1+\bruch{4}{n}}{n+\bruch{1}{n}}| <|\bruch{1+\bruch{4}{n}}{n}|sondern [/mm] nur die 1/n im Nenner weglassen. du kannst ja dann einfach N was größer wählen.
> (da n>N) < [mm]\varepsilon[/mm] für N > [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
>
> Ist dies so richtig?
fast.
> Wenn ja, muss ich dann überhaupt noch den Grenzwert
> berechnen, da ich diesen doch schon mit a=3 angegeben habe?
Nein, en GW hast du so gezeigt.
>
> zu c)
>
> da soll ich ja die Bernoullische Ungleichung verwenden.
> wenn ich nun [mm](1+x)^n \ge[/mm] 1+nx anwende, erhalte ich doch
> [mm](1+q)^n \ge[/mm] 1+nq
die ächste Zeile folgt nicht! setz mal q=1/2 dann siehst dus!
> [mm]\Rightarrow q^n \ge[/mm] nq
falsch!
> [mm]\Rightarrow q^{n-1}\ge[/mm] n
ich habs nicht überlegt, viellecht wenn du den Kehrwert von Bernoulli wählst?
dann dreht sich das Ungleich um!
> Wie kann mir das denn weiterhelfen?
> da 0<q<1 sieht man ja, dass [mm]a_n \to[/mm] 0, aber wie zeige ich
> das denn?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Di 20.11.2007 | | Autor: | kasia |
ersteinmal DANKE!
> zu c)
>
> da soll ich ja die Bernoullische Ungleichung verwenden.
> wenn ich nun [mm](1+x)^n \ge[/mm] 1+nx anwende, erhalte ich doch
> [mm](1+q)^n \ge[/mm] 1+nq
die ächste Zeile folgt nicht! setz mal q=1/2 dann siehst dus!
> [mm]\Rightarrow q^n \ge[/mm] nq
falsch!
ja, da hast du vollkommen recht...das würde nur gelten, wenn n [mm] \in \IN, [/mm] da dann [mm] 1^n [/mm] immer = 1 wäre und die 1 dann auf beiden seiten subtrahiert werden könnte....
> [mm]\Rightarrow q^{n-1}\ge[/mm] n
ich habs nicht überlegt, viellecht wenn du den Kehrwert von Bernoulli wählst?
dann dreht sich das Ungleich um!
das habe ich gerade ausprobiert, habe aber nichts sinnvolles herausbekommen...
stattdessen habe ich noch etwas anderes probiert:
aus [mm] (1+q)^n \ge [/mm] 1+nq
[mm] \Rightarrow [/mm] q [mm] \le \bruch{(1+q)^n-1}{n}= \bruch{1^n}{n}+ \bruch{q^n}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \bruch{1^n}{n} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n} [/mm] sind offensichtlich Nullfolgen und können doch vernachlässigt werden
da 0<q<1 ist, strebt [mm] q^n [/mm] für n [mm] \to\infty [/mm] gegen 0, während der Nenner gegen [mm] \infty [/mm] strebt. insgesamt wäre
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{q^n}{n} [/mm] = 0
darf man das so zeigen? ich hab keine ahnung, ob das überhaupt ein richtiger beweis ist...
> Wie kann mir das denn weiterhelfen?
> da 0<q<1 sieht man ja, dass [mm]a_n \to[/mm] 0, aber wie zeige ich
> das denn?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Di 20.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo kasia
Du kannst NIE [mm] (1+q)^n [/mm] als [mm] 1^n+q^n [/mm] schreiben! das war auch dein Fehler beim letzten Mal!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Di 20.11.2007 | | Autor: | kasia |
ohhhh....DAS ist einer der schlimmsten fehler, die man so machen kann...
damit ist der beweis bei
[mm] q\le \bruch{(1+q)^n-1}{n} [/mm] stehen geblieben...
das lässt sich ja zumindest schreiben als [mm] \bruch{(1+q)^n}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
der zähler kann ja dann höchstens [mm] 2^n [/mm] betragen, wobei ich mir dann noch überlegen muss wie sich das dann zu n im nenner verhält, wenn n [mm] \to \infty
[/mm]
mal sehen, ob ich damit weiterkomme...
Aber DANKE für deine Hilfe!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Di 20.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm für das x in der Bernoulliungl [mm] \bruch{1}{q}-1 [/mm] dann kommst du hin.
Gruss leduart
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