Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1. Untersuche die Folgen auf Konvergenz.
a) [mm] a_n:=\bruch{1}{n^2}+\bruch{2}{n^2}+...+\bruch{n}{n^2}
[/mm]
b) [mm] a_n:=\produkt_{k=2}^{n}(1+\bruch{1}{k})
[/mm]
c) [mm] a_n:= \wurzel{n^2+3n}-n
[/mm]
2. Bestimme den häufungspunkt der Folge [mm] a_n:= i^n+\bruch{1}{n^2} [/mm] |
a) Ich habe nun das Problem: Ich kenne nun so viele Konvergenzkriterien, aber welche wende ich an? ist das egal?
Leibnitzkriterium
Cauchykriterium
Majorantenkriterium
Wurzelkriterium
Quotientenkriterium
Also erstmal zu b)
Die Menge ist auf jedenfall unendlich, endliche Mengen haben keinen Häufungspunkt.
Ich muss unterschieden zwischen n gerade und n ungerade: Muss ich den Häufungspunkt als Grenzwert einer Teilfolge bestimmen?
Über ein paar Hinweise wäre ich dankbar!
Grüße
Mathegirl
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Hallo!
> 1. Untersuche die Folgen auf Konvergenz.
>
> a) [mm]a_n:=\bruch{1}{n^2}+\bruch{2}{n^2}+...+\bruch{n}{n^2}[/mm]
>
> b) [mm]a_n:=\produkt_{k=2}^{n}(1+\bruch{1}{k})[/mm]
>
> c) [mm]a_n:= \wurzel{n^2+3n}-n[/mm]
>
>
> 2. Bestimme den häufungspunkt der Folge [mm]a_n:= i^n+\bruch{1}{n^2}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> a) Ich habe nun das Problem: Ich kenne nun so viele
> Konvergenzkriterien, aber welche wende ich an? ist das
> egal?
>
> Leibnitzkriterium
> Cauchykriterium
> Majorantenkriterium
> Wurzelkriterium
> Quotientenkriterium
Für die Lösung der Aufgabe brauchst du keine Konvergenzkriterien! Außer a) sind doch alles nur Folgen, keine Reihen. Und die Konvergenzkriterien gelten doch nur für Reihen.
Bei a)
Du kannst schreiben: $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}*\sum_{k=1}^{n}k$.
(Überleg dir das!) Für die Summe gibt es einen geschlossenen Ausdruck, er lautet $\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n*(n+1)}{2}$.
Bei b)
Schreibe den Term im Produkt anders. Es ist $\left(1+\frac{1}{k}\right) = \frac{k+1}{k}$. Schreibe dir nun ein paar der Faktoren dieses Produkts in dieser Form (zum Beispiel die ersten 5) auf ein Blatt Papier. Was fällt dir auf?
Bei c)
Ich weiß nicht, was ihr schon alles verwenden dürft, aber es dürfte dich weiterbringen, dass gilt:
$a_{n} =\sqrt{n^{2}+3n}-n = \frac{\sqrt{n^{2}+3n}+n}{\sqrt{n^{2}+3n}+n}*\Big(\sqrt{n^{2}+3n}-n\right)$
(nun dritte binomische Formel, und eventuell den entstehenden Bruch mit n kürzen!)
> Also erstmal zu b)
> Die Menge ist auf jedenfall unendlich, endliche Mengen
> haben keinen Häufungspunkt.
>
> Ich muss unterschieden zwischen n gerade und n ungerade:
> Muss ich den Häufungspunkt als Grenzwert einer Teilfolge
> bestimmen?
Ist das i in der Folge eine komplexe Zahl, also $i = \sqrt{-1}$ ? Wenn ja, kannst du ja erstmal, wie von dir vorgeschlagen, eine Fallunterscheidung für i = 4k, i = 4k + 1, i = 4k + 2, i = 4k + 3 machen und jeweils die Teilfolgen betrachten.
Da zu jedem Häufungspunkt a der Folge $(a_{n})$ eine Teilfolge (a_{n_{k}}) existiert sodass $\lim_{k\to\infty}a_{n_{k}} = a$, heißt das, wenn du eine Teilfolge findest, die gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert, ist es entweder auch der Grenzwert der Folge (a_{n}) oder zumindest ein Häufungspunkt (das ist meine Auslegung).
Grüße,
Stefan
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okay, das habe ich jetzt mal versucht.
a) der Zähler ist immer um eins größer als der nenner. also müsste der Grenzwert 1 sein. Mein Problem ist immer, die Konvergenz fachlich zu zeigen. mehrere glieder einsetzen und daraus Rückschlüsse ziehen, das mache ich eigentlich immer zu Beginn. Daraus erkenne ich auch sofort den Grenzwert. Aber das ist ja nicht fachlich und definitionsgemäß!!
b) ist der Grenzwert [mm] \bruch{3}{4} [/mm] . denn [mm] \bruch{n(n+3-n)}{n(n+3+1)} [/mm] = [mm] \bruch{3}{n+4} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
c) ich weiß nicht genau, ob i hier eine komplexe Zahl sein soll, aber sinnvoll wäre es. Warum muss ich bis i=4k+3 betrachten? Eine Teilfolge wäre ja sicher auch schon [mm] \bruch{1}{2^n} [/mm] oder? Deren grenzwert beträgt 0. Aber wie genau soll ich dann zeigen,dass die ganze Folge auch gegen 0 geht? Verstehe tu ich das ja, aber an der Ausdrucksweise hängt es.
Mathegirl
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Hallo mathegirl,
> a) der Zähler ist immer um eins größer als der nenner.
> also müsste der Grenzwert 1 sein. Mein Problem ist immer,
> die Konvergenz fachlich zu zeigen. mehrere glieder
> einsetzen und daraus Rückschlüsse ziehen, das mache ich
> eigentlich immer zu Beginn. Daraus erkenne ich auch sofort
> den Grenzwert. Aber das ist ja nicht fachlich und
> definitionsgemäß!!
Deine Begründung für den Grenzwert ist leider nicht richtig (und der GW ist auch falsch...). Du kannst ihn folgendermaßen "fachlich richtig" ausrechnen:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\left(a_{n}\right) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n*(n+1)}{2*n^{2}}\right)$
[/mm]
Das sollte dir klar sein, das habe ich dir ja oben gezeigt. Nun machen wir so weiter:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n*(n+1)}{2*n^{2}}\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}*\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{2}+n}{n^{2}}\right)$
[/mm]
(Hier wurde ein Grenzwertsatz angewendet, nämlich dass man Konstante Faktoren aus dem Limes herausziehen kann!)
[mm] $\frac{1}{2}*\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{2}+n}{n^{2}}\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}*\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)$
[/mm]
Nun wenden wir den Grenzwertsatz an, dass die Summe zweier konvergenter Folgen gegen die Summe der einzelnen Grenzwerte konvergiert:
[mm] \frac{1}{2}*\left(\lim_{n\to\infty}(1) + \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\right)\right)$
[/mm]
Und nun noch der letzte Schritt 
> b) ist der Grenzwert [mm]\bruch{3}{4}[/mm] . denn
> [mm]\bruch{n(n+3-n)}{n(n+3+1)}[/mm] = [mm]\bruch{3}{n+4}[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
Ich kann leider nicht nachvollziehen, was du hier gemacht hast.
Schau, wenn ich die Folge [mm] a_{n} [/mm] so schreibe:
[mm] $a_{n} [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n}\left(1 + \frac{1}{k}\right) [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n}\left(\frac{k+1}{k}\right)$,
[/mm]
und sich jetzt zum Beispiel mal konkret [mm] a_{5} [/mm] ansieht, dann sieht man, dass
[mm] $a_{5} [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{5}\left(\frac{k+1}{k}\right) [/mm] = [mm] \frac{2}{1}*\frac{3}{2}*\frac{4}{3}*\frac{5}{4}*\frac{6}{5} [/mm] = [mm] \frac{6}{1} [/mm] = 6$,
weil sich alles rauskürzt. Wie sieht also die Formel für allgemeines n aus? Der Grenzwert ist dann logischerweise: ...
> c) ich weiß nicht genau, ob i hier eine komplexe Zahl sein
> soll, aber sinnvoll wäre es. Warum muss ich bis i=4k+3
> betrachten? Eine Teilfolge wäre ja sicher auch schon
> [mm]\bruch{1}{2^n}[/mm] oder?
Du meinst statt c) eigentlich 2., oder?
Ja, wenn man sicher weiß, dass es nur einen Häufungspunkt gibt (was die Aufgabenstellung zugegebenermaßen suggeriert), dann reicht es, sich eine spezielle Teilfolge herauszupicken. So wie du es schreibst, ist es allerdings falsch, denn [mm] \bruch{1}{2^n} [/mm] ist keine Teilfolge von [mm] (a_{n}), [/mm] sondern [mm] $(a_{\bruch{1}{2^n}})$ [/mm] ist die Teilfolge, die du meinst.
Das Problem ist allerdings, dass wenn das wirklich i ist in der Aufgabenstellung, dann gibt es vier verschiedene Häufungspunkte, weil [mm] i^{k} [/mm] vier verschiedene Werte annehmen kann: 1,-1,i und -i.
> Aber wie
> genau soll ich dann zeigen,dass die ganze Folge auch gegen
> 0 geht? Verstehe tu ich das ja, aber an der Ausdrucksweise
> hängt es.
Keine Teilfolge von [mm] a_{n} [/mm] geht gegen 0, du hast dich geirrt.
Ich zeige dir jetzt mal, warum die Teilfolge [mm] a_{4k} [/mm] gegen 1 geht:
[mm] $a_{4k} [/mm] = [mm] i^{4k} [/mm] + [mm] \frac{1}{(4k)^{2}} [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{(4k)^{2}} \to [/mm] 1 + 0 = 1$,
für [mm] $k\to \infty$. [/mm] (es ist für alle [mm] k\in\IN: i^{4k} [/mm] = 1).
So, nun kannst du das für die restlichen 3 Teilfolgen zeigen.
Grüße,
Stefan
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Vielen Dank Stefan.
Ich sollte mich lieber in Ruhe morgen an die Aufgaben setzen, heute ist die Luft glaub ich raus.
[mm] \frac{1}{2}*\left(\lim_{n\to\infty}(1) + \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\right)\right) [/mm]
so..der letzte schritt müsste dann sein: [mm] \bruch{1}{2}(1+0)=\bruch{1}{2} [/mm]
hmm...das hätte man eigentlich gleich sehen können, wenn man den Bruch betrachtet *schäm*
Bei 2. müsste die Formel für n sein [mm] \produkt_{k=2}^{n}\bruch{n+1}{n}
[/mm]
Danke, das du es mir erklärst, aber ich werde sicher morgen den größten teil weitermachen. Kannst du vielleicht Donnerstag abend nochmal über meine Ergebnisse schauen zu Aufgabe mit Konvergenz? Vielleicht einiges korrigieren? Ich bin immer froh, wenn mir jemand noch etwas erklären kann..denn Bücher helfen mir da nicht weiter!! :)
Mathegirl
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Hallo!
> [mm]\frac{1}{2}*\left(\lim_{n\to\infty}(1) + \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\right)\right)[/mm]
>
> so..der letzte schritt müsste dann sein:
> [mm]\bruch{1}{2}(1+0)=\bruch{1}{2}[/mm]
> hmm...das hätte man eigentlich gleich sehen können, wenn
> man den Bruch betrachtet *schäm*
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei 2. müsste die Formel für n sein
> [mm]\produkt_{k=2}^{n}\bruch{n+1}{n}[/mm]
Naja - nein.
Wir haben doch vorhin schon gesehen, dass [mm] a_{5} [/mm] = 6 war. Wenn man sich Produkt noch ein wenig weiter ansieht, wir man erkennen, dass [mm] $a_{n} [/mm] = n+1$ ist. Diese Folge divergiert.
> Danke, das du es mir erklärst, aber ich werde sicher
> morgen den größten teil weitermachen. Kannst du
> vielleicht Donnerstag abend nochmal über meine Ergebnisse
> schauen zu Aufgabe mit Konvergenz? Vielleicht einiges
> korrigieren? Ich bin immer froh, wenn mir jemand noch etwas
> erklären kann..denn Bücher helfen mir da nicht weiter!!
Die Mitglieder des MatheRaums werden dir sicher gern weiterhelfen, das muss nicht unbedingt ich sein .
Grüße,
Stefan
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b) ist der Grenzwert [mm] \bruch{3}{4} [/mm] . denn
[mm] \bruch{n(n+3-n)}{n(n+3+1)}= \bruch{3}{n+4}= \bruch{3}{4}
[/mm]
warum stimmt das nicht?
habe ich die erweiterung mit der Wurzel falsch berechnet?
Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fencheltee |
>
>
> b) ist der Grenzwert [mm]\bruch{3}{4}[/mm] . denn
> [mm]\bruch{n(n+3-n)}{n(n+3+1)}= \bruch{3}{n+4}= \bruch{3}{4}[/mm]
b) oder c)?
>
> warum stimmt das nicht?
> habe ich die erweiterung mit der Wurzel falsch berechnet?
>
>
> Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
das war das mit der Wurzel, also c....
Grüße
Mathegirl
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> b) ist der Grenzwert [mm]\bruch{3}{4}[/mm] . denn
> [mm]\bruch{n(n+3-n)}{n(n+3+1)}= \bruch{3}{n+4}= \bruch{3}{4}[/mm]
wenn der grenzwert [mm] n->\infty [/mm] gehn soll, dann wär der gw 0 (siehe dein vorletzter schritt)
>
> warum stimmt das nicht?
> habe ich die erweiterung mit der Wurzel falsch berechnet?
sehen wir wenn du vorrechnest!
>
>
> Mathegirl
gruß tee
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wie komme ich denn auf den Grenzwert von [mm] \bruch{3}{2}?? [/mm] ich komme nur auf [mm] \bruch{3}{4}..verstehe [/mm] das nicht. Meinen letzten Schritt habe ich im vorherigen beitrag ja aufgezeigt.
Mathegirl
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> wie komme ich denn auf den Grenzwert von [mm]\bruch{3}{2}??[/mm] ich
> komme nur auf [mm]\bruch{3}{4}..verstehe[/mm] das nicht. Meinen
> letzten Schritt habe ich im vorherigen beitrag ja
> aufgezeigt.
Hallo,
nach etwas Suchen abe ich das gefunden:
>>> $ [mm] \bruch{n(n+3-n)}{n(n+3+1)}= \bruch{3}{n+4}= \bruch{3}{4} [/mm] $
Meinst Du das?
Wenn, dann wäre der Grenzwert für [mm] n\to \infty [/mm] hier ja sowieso =0, und nicht [mm] \bruch{3}{4}.
[/mm]
Das hatte fencheltee schon angemerkt, glaube ich.
Es geht doch um Aufgabe c), oder?
Es ist
$ [mm] a_n:= \wurzel{n^2+3n}-n $=\bruch{n^2+3n-n^2}{\wurzel{n^2+3n}+n}=\bruch{3n}{\wurzel{n^2+3n}+n}.
[/mm]
Du hast im Nenner die Wurzel wohl irgendwie verschwinden lassen, was natürlich nicht sein darf.
Gruß v. Angela
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bis hierhin
$ [mm] a_n:= \wurzel{n^2+3n}-n [/mm] $$ [mm] =\bruch{n^2+3n-n^2}{\wurzel{n^2+3n}+n}=\bruch{3n}{\wurzel{n^2+3n}+n}. [/mm] $
ist mir das alles klar, aber jetzt muss ich mal ganz blöd fragen: wie komme ich jetzt auf die 3/2?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Do 19.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andariella!
Klammere im Nenner $n_$ aus und kürze anschließend.
Dann kannst Du die Grenzwertbetrachtung machen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Do 19.11.2009 | | Autor: | Andariella |
ok danke, weg mit dem brett vorm kopf... :D
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also müsste für i=4k+1 gelten:
[mm] a_{4k+1}= i^{4k+1}+\bruch{1}{(4k+1)²}
[/mm]
[mm] a_{4k+1}= i^{4k}*i^1 +\bruch{1}{(16k^2+8k+1)}
[/mm]
[mm] a_{4k+1}=i^{4k}*(-1) +\bruch{1}{(16k^2+8k+1)}
[/mm]
= 1 Grenzwert oder Häufungspunkt?? (beides??)
und wie komme ich auf [mm] i^2 [/mm] und [mm] i^3??ich [/mm] hab sowas schonmal mit dem moivre verfahren gemacht, aber das kann ich hier ja nicht anwenden.
und warum i= 4k+2 und 4k+3?? das kann ich nicht so ganz nachvollziehen..
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:24 Di 17.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Es war [mm] $a_n [/mm] = [mm] i^n+\bruch{1}{n^2}$
[/mm]
Es ist
[mm] $i^4= [/mm] 1, [mm] i^{4k+1}=i, i^{4k+2}=-1$ [/mm] und $ [mm] i^{4k+3}=-i$
[/mm]
Damit:
[mm] $a_{4k}= [/mm] 1+ [mm] \bruch{1}{(4k)^2} \to [/mm] 1$ $ (k [mm] \to \infty)$
[/mm]
[mm] $a_{4k+1}= [/mm] i+ [mm] \bruch{1}{(4k+1)^2} \to [/mm] i$ $ (k [mm] \to \infty)$
[/mm]
[mm] $a_{4k+2}= [/mm] -1+ [mm] \bruch{1}{(4k+2)^2} \to [/mm] -1$ $ (k [mm] \to \infty)$
[/mm]
[mm] $a_{4k+3}= [/mm] -i+ [mm] \bruch{1}{(4k+3)^2} \to [/mm] -i$ $ (k [mm] \to \infty)$
[/mm]
Somit hat [mm] (a_n) [/mm] genau die Häufungspunkte $1, -1, i, -i$
FRED
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okay....vielen dank! dann habe ich das wohl ganz falsch berechnet. ich hatte bei 4k+3 und 4k+2 0 raus. ich hab das vorher glaub ich ganz falsch verstanden mit den Häufungspunkten.
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Di 17.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich fasse es für Dich mal zusammen:
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine beschränkte Folge in [mm] \IR.
[/mm]
1. Eine Zahl [mm] \alpha [/mm] ist Häufungspunkt von [mm] (a_n) \gdw (a_n) [/mm] enthält eine konvergente Teilfolge, deren Limes = [mm] \alpha [/mm] ist.
2. Der Satz von Bolzano-Weierstraß besagt: [mm] (a_n) [/mm] besitzt Häufungspunkte
3. Da [mm] (a_n) [/mm] beschränkt ist, ist auch die Menge [mm] H((a_n)) [/mm] := { [mm] \alpha: \alpha [/mm] ist Häufungspunkt von [mm] (a_n) [/mm] } beschränkt, weiter existieren [mm] maxH((a_n)) [/mm] und [mm] minH((a_n))
[/mm]
4. Es gilt:
lim sup [mm] a_n [/mm] = [mm] maxH((a_n)) [/mm] und lim inf [mm] a_n [/mm] = [mm] minH((a_n)) [/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Knuff |
> ...
> Ich kann leider nicht nachvollziehen, was du hier gemacht
> hast.
> Schau, wenn ich die Folge [mm]a_{n}[/mm] so schreibe:
>
> [mm]a_{n} = \produkt_{k=1}^{n}\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \produkt_{k=1}^{n}\left(\frac{k+1}{k}\right)[/mm],
>
> und sich jetzt zum Beispiel mal konkret [mm]a_{5}[/mm] ansieht, dann
> sieht man, dass
>
> [mm]a_{5} = \produkt_{k=1}^{5}\left(\frac{k+1}{k}\right) = \frac{2}{1}*\frac{3}{2}*\frac{4}{3}*\frac{5}{4}*\frac{6}{5} = \frac{6}{1} = 6[/mm],
>
> weil sich alles rauskürzt. Wie sieht also die Formel für
> allgemeines n aus? Der Grenzwert ist dann logischerweise:
hi stefan!
k ist doch 2 und nicht 1..oder muss man k = 1 setzen, wenn man (1 + [mm] \bruch{1}{k}) [/mm] zu [mm] \bruch{k+1}{k}
[/mm]
umformt?
Grüße, Knuff
> ...
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> > ...
> > Ich kann leider nicht nachvollziehen, was du hier
> gemacht
> > hast.
> > Schau, wenn ich die Folge [mm]a_{n}[/mm] so schreibe:
> >
> > [mm]a_{n} = \produkt_{k=1}^{n}\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \produkt_{k=1}^{n}\left(\frac{k+1}{k}\right)[/mm],
>
> >
> > und sich jetzt zum Beispiel mal konkret [mm]a_{5}[/mm] ansieht, dann
> > sieht man, dass
> >
> > [mm]a_{5} = \produkt_{k=1}^{5}\left(\frac{k+1}{k}\right) = \frac{2}{1}*\frac{3}{2}*\frac{4}{3}*\frac{5}{4}*\frac{6}{5} = \frac{6}{1} = 6[/mm],
>
> >
> > weil sich alles rauskürzt. Wie sieht also die Formel für
> > allgemeines n aus? Der Grenzwert ist dann logischerweise:
>
> hi stefan!
> k ist doch 2 und nicht 1..oder muss man k = 1 setzen, wenn
> man (1 + [mm]\bruch{1}{k})[/mm] zu [mm]\bruch{k+1}{k}[/mm]
> umformt?
Es ist (1 + [mm]\bruch{1}{k})[/mm] =[mm]\bruch{k+1}{k}[/mm] für jedes k !!
FRED
>
> Grüße, Knuff
> > ...
> >
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Mi 18.11.2009 | | Autor: | reverend |
> Es ist (1 + [mm]\bruch{1}{k})[/mm] =[mm]\bruch{k+1}{k}[/mm] für jedes k !!
>
> FRED
Echt, jedes?
Bei e, [mm] \pi, [/mm] i, -343 und vor allem 588041 würde ich Dir natürlich zustimmen, obwohl k hier wohl nur einen dieser Werte annehmen soll.
Grüße
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist (1 + [mm]\bruch{1}{k})[/mm] =[mm]\bruch{k+1}{k}[/mm] für jedes k
> !!
> >
> > FRED
>
> Echt, jedes?
>
> Bei e, [mm]\pi,[/mm] i, -343 und vor allem 588041 würde ich Dir
> natürlich zustimmen, obwohl k hier wohl nur einen dieser
> Werte annehmen soll.
>
> Grüße
> rev
Hi rev,
Du bist heute mal wieder gut drauf. 4711 hast Du vergessen
Gruß Fred
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Mi 18.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hi Fred,
> 4711 hast Du vergessen
...und du die Null. 
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred,
>
> > 4711 hast Du vergessen
>
> ...und du die Null.
Ja, ich bin schon eine große Null in Mathematik
FRED
>
> rev
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Knuff |
ja gut, aber in der aufgabe beginnt k doch erst ab 2:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \produkt_{k=2}^{n}\left(1 + \frac{1}{k}\right) [/mm]
muss es dann nicht auch heißen:
[mm] \produkt_{k=2}^{n}\left(\frac{k+1}{k}\right)??
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> ja gut, aber in der aufgabe beginnt k doch erst ab 2:
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\produkt_{k=2}^{n}\left(1 + \frac{1}{k}\right)[/mm]
>
> muss es dann nicht auch heißen:
> [mm]\produkt_{k=2}^{n}\left(\frac{k+1}{k}\right)??[/mm]
Du hast recht. Ich hab nicht genau hingesehen
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Di 17.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Falls Dich die exakten Grenzwerte interessieren:
(a): [mm] $\infty$
[/mm]
(b): [mm] $\frac{3}{2}$
[/mm]
(c): [mm] $\frac{1}{2}$
[/mm]
Und die Häufungspunkte sind
(d): [mm] $i,i^2,i^3,i^4$
[/mm]
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wieso soll bei a) der grenzwert [mm] \infty [/mm] sein? das verstehe ich nicht..
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{n*(n+1)}{2*n^2}= [/mm]
[mm] \bruch{1}{2}* \limes{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{\bruch{1}{n})}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*( \limes{n\rightarrow\infty{1}} [/mm] + [mm] \limes{n\rightarrow\infty{\bruch{1}{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
b) da weiß ich noch immer nicht genau wie ich das zeige und [mm] \bruch{1}{2} [/mm] kommen soll:
[mm] \produkt_{k=2}^{n}(1+\bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] \produkt_{k=2}^{n}(\bruch{k+1}{k})
[/mm]
[mm] a_n=n+1 [/mm] tu mich echt schwer das zu zeigen!
c) ist mir klar [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
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> wieso soll bei a) der grenzwert [mm]\infty[/mm] sein? das verstehe
> ich nicht..
Hallo,
da gibt's ja auch nichts zu verstehen.
ich glaube, es sind Denny die a), b), c) durcheinandergepurzelt.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{n*(n+1)}{2*n^2}=[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}* \limes{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{\bruch{1}{n})}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2}*( \limes{n\rightarrow\infty{1}}[/mm] +
> [mm]\limes{n\rightarrow\infty{\bruch{1}{n}}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Hier purzelt#s auch, aber [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist schon richtig.
>
> b) da weiß ich noch immer nicht genau wie ich das zeige
> und [mm]\bruch{1}{2}[/mm] kommen soll:
>
> [mm]\produkt_{k=2}^{n}(1+\bruch{1}{k})[/mm] =
> [mm]\produkt_{k=2}^{n}(\bruch{k+1}{k})[/mm]
Schreib das Produkt doch mal aus: was ist denn z.B. [mm]\produkt_{k=2}^{7}(\bruch{k+1}{k})[/mm] ?
Dann schreib [mm]\produkt_{k=2}^{n}(\bruch{k+1}{k})[/mm] aus, also als Produkt mit Pünktchen in der Mitte.
Dann siehst Du's.
>
> [mm]a_n=n+1[/mm] tu mich echt schwer das zu zeigen!
Das kann man hier auch nicht zeigen. Aber sowas ähnliches. Wie gesagt, wenn Du das Produkt ausschreibst, siehst Du es. Mach mal!
Ömm - nur mal zur Sicherheit: was das Produktzeichen bedeutet, weißt Du, oder?
Gruß v. Angela
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> c) ist mir klar [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
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ja wa sdas Produkt bedeutet weiß ich....
[mm] \produkt_{k=2}^{n}(\bruch{k+1}{k}) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}*\bruch{4}{3}*\bruch{5}{4}* ....*\bruch{n+1}{n}
[/mm]
aber daran sehe ich nichts...bzw ich kann die konvergenz nicht zeigen, denn dad das schon reicht glaube ich nicht...
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> ja wa sdas Produkt bedeutet weiß ich....
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> [mm]\produkt_{k=2}^{n}(\bruch{k+1}{k})[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{2}*\bruch{4}{3}*\bruch{5}{4}* ....*\bruch{n+1}{n}[/mm]
>
> aber daran sehe ich nichts...
hallo,
aber das, was dasteht, ist doch ganz entzückend: jetzt kürz mal.
Gruß v. Angela
bzw ich kann die konvergenz
> nicht zeigen, denn dad das schon reicht glaube ich nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Do 19.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo mathegirl,
ich bin auch entzückt.
Vielleicht schreibst Du das vorletzte Glied auch noch dazwischen, dann kann eigentlich nichts mehr schiefgehen.
reverend
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kürzen??? also [mm] 1+\bruch{1}{n}
[/mm]
und davon dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1+\bruch{1}{n} [/mm] = 1
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Argggggh.
Hallo Mathegirl.
Du hast die Lösung im Prinzip da stehen.
Streiche jede Zahl, die doppelt vorkommt, genauer: einmal oben, einmal unten. Sofern man sich innerhalb eines Produkts bewegt, ist das erlaubt und heißt "Kürzen". Über den mathematischen Sinn dahinter können wir gern ein ander Mal reden. So langsam verstehe ich nicht mehr, wo das Problem noch sein könnte.
Beispiel:
[mm] \bruch{\red{a}}{2}*\bruch{\blue{b}}{\red{a}}*\bruch{\green{c}}{\blue{b}}*\bruch{d}{\green{c}}*\bruch{@}{d}=
[/mm]
na? (guckstu unten)
[mm] ...=\bruch{@}{2}
[/mm]
So, und was heißt das jetzt für Deine Aufgabe?
lg
reverend (ein mittlerweile Ungeduldiger. Liegt nicht nur an Dir!)
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sorry, das ich mich blöd [mm] anstelle.....\bruch{n}{2} [/mm] grenzwert also 0,5....wenn nicht gebe ich es jetzt endgültig auf...bin echt zu blöd zu mathe glaub ich..
aber danke für eure mühe!
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> sorry, das ich mich blöd [mm]anstelle.....\bruch{n}{2}[/mm]
Hallo,
nee. da kommt [mm] \bruch{n+1}{2} [/mm] raus.
> grenzwert also 0,5....
Hä? Wenn n nun immer größer wird? Mannomann. Das ist ja wohl [mm] \infty.
[/mm]
> wenn nicht gebe ich es jetzt
> endgültig auf...bin echt zu blöd zu mathe glaub ich..
Das habe ich in den letzten Tagen schon mehrfach von Dir gelesen, und ich frage mich (natürlich nur im Stillen), warum Du das mitteilst und welche Reaktion Du erwartest.
Gruß v. Angela
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