Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Di 04.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Untersuchen sie, ob die folgenden Folgen in IR konvergieren
(a) [mm] a_{n}=\bruch{n^2-1}{n+1}
[/mm]
(b) [mm] b_{n}=(-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] |
Hallo,
ich komme bei der a irgendwie nicht weiter
wenn ich n ausklammere habe ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\bruch{1}{n^2}}{\bruch{1}{n} +\bruch{1}{n^2}}
[/mm]
alles außer die 1 strebt gegen 0, aber durch 0 kann man ja nicht teilen. Ich dachte außerdem, dass wenn die Potenz im Zähler größer ist, dass die Folge divergent ist. Stimmt das?
An die b) bin ich mit der Definition rangegangen.
Es gibt ein [mm] n_{0} \in [/mm] IN, so dass [mm] n_{0}> \bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}}. [/mm] Damit gilt [mm] \bruch{1}{n_{0}}< \varepsilon [/mm] und es ist für alle [mm] n\ge n_{0}
[/mm]
[mm] |(-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}}-0|=|\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}}|=|\bruch{(1)^n}{\wurzel{n}}|=\bruch{(1)}{\wurzel{n}}<\varepsilon
[/mm]
stimmt das so?
Ich bedanke mich im voraus
Lg Melisa
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Di 04.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen sie, ob die folgenden Folgen in IR
> konvergieren
>
> (a) [mm]a_{n}=\bruch{n^2-1}{n+1}[/mm]
>
> (b) [mm]b_{n}=(-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
> Hallo,
>
> ich komme bei der a irgendwie nicht weiter
>
>
> wenn ich n ausklammere habe ich
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\bruch{1}{n^2}}{\bruch{1}{n} +\bruch{1}{n^2}}[/mm]
>
> alles außer die 1 strebt gegen 0, aber durch 0 kann man ja
> nicht teilen. Ich dachte außerdem, dass wenn die Potenz im
> Zähler größer ist, dass die Folge divergent ist. Stimmt
> das?
Ja. Du weißt sicher: konvergente Folgen sind beschränkt. Die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist aber nicht beschränkt. Versuche mal zu zeigen:
[mm] $a_n \ge [/mm] n/2$ für n [mm] \ge [/mm] 2
>
> An die b) bin ich mit der Definition rangegangen.
>
> Es gibt ein [mm]n_{0} \in[/mm] IN, so dass [mm]n_{0}> \bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}}.[/mm]
> Damit gilt [mm]\bruch{1}{n_{0}}< \varepsilon[/mm] und es ist für
> alle [mm]n\ge n_{0}[/mm]
>
> [mm]|(-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}}-0|=|\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}}|=|\bruch{(1)^n}{\wurzel{n}}|=\bruch{(1)}{\wurzel{n}}<\varepsilon[/mm]
>
> stimmt das so?
Ja
FRED
> Ich bedanke mich im voraus
>
> Lg Melisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Di 04.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
>
> Ja. Du weißt sicher: konvergente Folgen sind beschränkt.
> Die Folge [mm](a_n)[/mm] ist aber nicht beschränkt. Versuche mal zu
> zeigen:
>
> [mm]a_n \ge n/2[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2
> >
Meinst du das so:
Behauptung: Es ist [mm] a_{n}>\bruch{n}{2} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 2
und das dann mit Induktion also
IA: n=2 was klar ist
IS: [mm] \bruch{(n+1)^2-1}{(n+2)}>\bruch{(n+1)}{2}
[/mm]
Grüße Melisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Di 04.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
Warum so kompliziert? Es gilt doch:
[mm] $$a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^2-1}{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)*(n-1)}{n+1} [/mm] \ = \ n-1$$
Und diese Folge ist doch mehr als offensichtlich divergent.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
