Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Di 26.04.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo ihr fleißigen Leute...
Ich habe leider mal eine Frage zu folgender Folge:
[mm] \vec a_k=(\bruch{1}{k} \cdot sin(\bruch{1}{k}),\bruch{(-1)^k}{k^2})
[/mm]
Es geht darum diese Folge auf Konvergenz zu untersuchen und gegebenenfalls den Grenzwert anzugeben...
Damit die Folge konvergent ist, müssen beide Folgen konvergent sein.
Sofern eine Komponente nicht konvergent ist, ist die Folge ebenfalls nicht konvergent.
Für die erste Komponente gilt:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k} \cdot sin(\bruch{1}{k})=0
[/mm]
Begründung. Für k [mm] \to \infty [/mm] erhalte ich ja im Prinzip: [mm] 0\cdot [/mm] sin(0)
Die erste Komponente wäre somit konvergent
Für die zweite Komponente gilt:
[mm] \bruch{(-1)^k}{k^2})=\begin{cases} -(\bruch{1^k}{k^2}), & \mbox{fuer } k \mbox{ ungerade} \\ \bruch{1^k}{k^2}, & \mbox{fuer } k \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
Die zweite Komponente wäre somit nicht konvergent ist somit ist die Folge ebenfalls nicht konvergent.
Wäre das so richtig herangegangen???
mfg thadod
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Moin,
> Hallo ihr fleißigen Leute...
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> Ich habe leider mal eine Frage zu folgender Folge:
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> [mm]\vec a_k=(\bruch{1}{k} \cdot sin(\bruch{1}{k}),\bruch{(-1)^k}{k^2})[/mm]
>
> Es geht darum diese Folge auf Konvergenz zu untersuchen und
> gegebenenfalls den Grenzwert anzugeben...
>
> Damit die Folge konvergent ist, müssen beide Folgen
> konvergent sein.
> Sofern eine Komponente nicht konvergent ist, ist die Folge
> ebenfalls nicht konvergent.
>
> Für die erste Komponente gilt:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k} \cdot sin(\bruch{1}{k})=0[/mm]
>
> Begründung. Für k [mm]\to \infty[/mm] erhalte ich ja im Prinzip:
> [mm]0\cdot[/mm] sin(0)
>
> Die erste Komponente wäre somit konvergent
>
> Für die zweite Komponente gilt:
> [mm]\bruch{(-1)^k}{k^2})=\begin{cases} -(\bruch{1}{k^2}), & \mbox{fuer } k \mbox{ ungerade} \\ \bruch{1}{k^2}, & \mbox{fuer } k \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>
> Die zweite Komponente wäre somit nicht konvergent ist
> somit ist die Folge ebenfalls nicht konvergent.
Sicher? Beide Teilfolgen der zweiten Komponente gehen doch stark gegen 0 für k gegen unendlich. Damit wäre die Folge konvergent.
>
> Wäre das so richtig herangegangen???
>
> mfg thadod
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Di 26.04.2011 | | Autor: | thadod |
Ja macht Sinn^^ Danke vielmals für deine Antwort... mfg thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mi 27.04.2011 | | Autor: | thadod |
Okay... Dann hätte ich ja somit für [mm] \vec a_k=(\bruch{1}{k} \cdot sin(\bruch{1}{k}),\bruch{(-1)^k}{k^2})
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1}{k} \cdot sin(\bruch{1}{k}),\bruch{(-1)^k}{k^2})=(0,0)
[/mm]
Müssen jetzt eigentlich, damit die Folge als konvergent gilt, beide Komponenten den selben Grenzwert besitzen, also gegen den selben Wert konvergieren oder reicht es, wenn beide gegen irgendeinen beliebigen Wert konvergieren???
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Hallo thadod,
> Okay... Dann hätte ich ja somit für [mm]\vec a_k=(\bruch{1}{k} \cdot sin(\bruch{1}{k}),\bruch{(-1)^k}{k^2})[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1}{k} \cdot sin(\bruch{1}{k}),\bruch{(-1)^k}{k^2})=(0,0)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das stimmt, aber du bist wohl im thread verrutscht 
>
> Müssen jetzt eigentlich, damit die Folge als konvergent
> gilt, beide Komponenten den selben Grenzwert besitzen, also
> gegen den selben Wert konvergieren oder reicht es, wenn
> beide gegen irgendeinen beliebigen Wert konvergieren???
Letzteres, eine Folge im [mm]\IR^n[/mm] ist konvergent, wenn jede ihrer Komponentenfolgen konvergent ist.
Bsp.: die konstante Folge [mm](1,2,3,1)_{n\in\IN}[/mm] konvergiert gegen [mm](1,2,3,1)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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