Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:52 Mo 16.04.2012 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | a) [mm] \wurzel{n*(n+1)}
[/mm]
b) [mm] \wurzel{n*(n+1)}-n [/mm] |
Hallo matheraum,
Ich muss eben genannte Folgen auf konvergenz / divergenz prüfen.
Bei der a) habe ich die einfache Aussage gemacht, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^2+n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n*(n+1) = [mm] \infty [/mm] also auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n*(n+1)} [/mm] = [mm] \infty \Rightarrow \wurzel{n*(n+1)} [/mm] bestimmt divergent!
Genügt das so ?
Bei der b) stehe ich leider auf dem Schlauch.
Ich weis, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n*(n+1)}-n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Aber wie komme ich da drauf ? Mein erster Teil divergiert ja.
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Hallo,
[mm] \wurzel{n^2+n}-n=\bruch{\left(\wurzel{n^2+n}-n\right)*\left(\wurzel{n^2+n}+n\right)}{\wurzel{n^2+n}+n}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mo 16.04.2012 | | Autor: | bammbamm |
> Hallo,
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> [mm]\wurzel{n^2+n}-n=\bruch{\left(\wurzel{n^2+n}-n\right)*\left(\wurzel{n^2+n}+n\right)}{\wurzel{n^2+n}+n}[/mm]
>
>
>
> Gruß, Diophant
Hallo,
Nun stehe ich bei [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^2+n}+n}. [/mm] Der Nenner müsste ja aber schneller wachsen als mein Zähler und demnach würde das ganze gegen 0 gehen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> >
> [mm]\wurzel{n^2+n}-n=\bruch{\left(\wurzel{n^2+n}-n\right)*\left(\wurzel{n^2+n}+n\right)}{\wurzel{n^2+n}+n}[/mm]
> >
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Hallo,
>
> Nun stehe ich bei [mm]\bruch{n}{\wurzel{n^2+n}+n}.[/mm] Der Nenner
> müsste ja aber schneller wachsen als mein Zähler und
> demnach würde das ganze gegen 0 gehen ?
Klammere in Zähler und Nenner n aus.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Mo 16.04.2012 | | Autor: | bammbamm |
Sorry, ich sehs gerade wirklich nicht.
[mm] n*\bruch{1}{\wurzel{n*(n+1)}+n}
[/mm]
Das würde m.M.n. gegen 0 gehen ?
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Hallo,
> Sorry, ich sehs gerade wirklich nicht.
>
> [mm]n*\bruch{1}{\wurzel{n*(n+1)}+n}[/mm]
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> Das würde m.M.n. gegen 0 gehen ?
Das ist nicht richtig. Ich habe bei meinem obigen Tipp den Wurzelinhalt absichtlich ausmultipliziert angegeben. Denn: welchen Faktor müsste man den aus der Wurzel herausziehen, damit er als n draußen ankommt? Wenn du das nämlich hinbekommst, kannst du mit n kürzen, wobei es sicherlich von der Argumentation her sauberer ist, vorher im Nenner noch n auszuklammern, wie FRED dir ja auch schon geraten hat. Und dann siehst du den Grenzwert auch unmittelbar ein.
Gruß, Diophant
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Hallo bammbamm,
> a) [mm]\wurzel{n*(n+1)}[/mm]
> b) [mm]\wurzel{n*(n+1)}-n[/mm]
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> Hallo matheraum,
>
> Ich muss eben genannte Folgen auf konvergenz / divergenz
> prüfen.
>
> Bei der a) habe ich die einfache Aussage gemacht, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2+n[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n*(n+1) = [mm]\infty[/mm] also auch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n*(n+1)}[/mm] = [mm]\infty \Rightarrow \wurzel{n*(n+1)}[/mm]
> bestimmt divergent!
> Genügt das so ?
>
Jo, alternativ: [mm]\sqrt{n(n+1)}\ge\sqrt{n^2}=n\longrightarrow \infty[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Gruß
schachuzipus
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