Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
Hey ihr Lieben 
Fürs Wochenende haben ich mir wieder einige Beispielaufgaben vorgenommen. Diesmal geht es um Folgen und Reihen. Das gröbste habe ich verstanden und mir selber angeeignet. Allerdings verstehe ich das mit dem Grenzwert nicht ganz.
Die Definition lautet ausgeschrieben ja:
Zu jedem Abstand [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es ein Index "N", sodass für alle Indizies [mm] n\ge [/mm] N , der Abstand von Betrag [mm] a_n [/mm] zu a kleiner ist als [mm] \epsilon..
[/mm]
Aber was ist in diesem Falle Epsilon? Ist das der Abstand zwischen den einzelnen Folgengliedern?
Dann eine Beispielaufgabe:
[mm] a_n :=n^2 [/mm] * ( [mm] \frac{1}{n}-\frac{1}{n+a})
[/mm]
wie kann ich nu schauen ob die Folge konvergent ist? und was ist Epsilon? und wie bekomme ich a heraus?und wenn die Folge konvergent ist, was ist dann der Grenzwert?
Ich würde mich über schnelle Hilfe freuen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Maya,
> Hey ihr Lieben
> Fürs Wochenende haben ich mir wieder einige
> Beispielaufgaben vorgenommen. Diesmal geht es um Folgen und
> Reihen. Das gröbste habe ich verstanden und mir selber
> angeeignet. Allerdings verstehe ich das mit dem Grenzwert
> nicht ganz.
> Die Definition lautet ausgeschrieben ja:
vielleicht mal vorweg: Zunächst mal muss man ja den Begriff "konvergent"
definieren. [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] heißt konvergent, wenn gilt: Es existiert eine "Zahl"
[mm] $a\,$ [/mm] derart, dass gilt...
> Zu jedem Abstand [mm]\epsilon[/mm] > 0
Nein, das ist eher eine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $a\,$! [/mm] Mit dieser Umgebung
meint man, dass jedes Element dieser Umgebung einen Abstand zu [mm] $a\,$
[/mm]
hat, der echt kleiner [mm] $\epsilon$ [/mm] ist!
Das heißt: [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ist kein "Abstand", sondern gibt dir an, wie groß der maximale
Abstand zu [mm] $a\,$ [/mm] sein darf. [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ "schränkt" die Umgebung von [mm] $a\,$ [/mm] ein auf Elemente,
die maximal [mm] $\epsilon\,$ [/mm] von [mm] $a\,$ [/mm] entfernt sein dürfen.
Im [mm] $\IR^2$ [/mm] wäre das, wenn wir bei "der üblichen anschaulichen Metrik"
bleiben, sowas wie
die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt [mm] $a\,$ [/mm] und Radius [mm] $\epsilon\,.$
[/mm]
In [mm] $\IR^1$ [/mm] als "Zahlenstrahl" markierst Du Dir einfach
das offene Intervall [mm] $(a-\epsilon,\;a+\epsilon)\,,$ [/mm]
es hat also die Länge [mm] $2\epsilon$ [/mm] und Mittelpunkt [mm] $a\,.$
[/mm]
> gibt es ein Index "N",
> sodass für alle Indizies [mm]n\ge[/mm] N , der Abstand von Betrag
> [mm]a_n[/mm] zu a kleiner ist als [mm]\epsilon..[/mm]
> Aber was ist in diesem Falle Epsilon? Ist das der Abstand
> zwischen den einzelnen Folgengliedern?
Nein. Wenn [mm] $a_n \to [/mm] a$ gilt, so bedeutet das folgendes, und nehmen wir
der Einfachheit wegen erst mal an, dass alle [mm] $a_n$ [/mm] reellwertig und damit $a [mm] \in \IR$
[/mm]
ist:
Ich bin jetzt der Grenzwert, das [mm] $a\,.$ [/mm] Ich trage eine Brille, die Sichtweite
[mm] $\epsilon [/mm] > 0$ hat (ich sehe also immer wenigstens etwas). Wenn ich nach rechts
gucke, kann ich [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ weit sehen und ich kann "gleichzeitig" auch alles erfassen,
was [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ links von mir passiert (ja, ich weiß, das ist etwas
unnatürlich - nimm' halt an, ich hätte zwei Überwachungskameras). Was
muss nun gelten?
Egal, wie klein ich [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ mache (egal, wie klein meine von mir überwachte
erfasste Umgebung wird), ich darf maximal endlich viele Folgenglieder der Folge
[mm] $(a_n)_n$ [/mm] nicht mitüberwachen/-erfassen.
Des bedeutet konkret: Wenn ich [mm] $\epsilon=1/2$ [/mm] habe, und ich dann weiß, dass
ich nur höchstens 500 Folgenglieder der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nicht erfasse ,
dann ist das schonmal gut. Wenn ich [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ verkleinere, bspw. zu [mm] $\epsilon=1/4$, [/mm] und weiß,
dass die 500 Folgenglieder von eben tatsächlich genau 500 waren (das
müssen nicht die ersten 500 und es müssen auch nicht 500
aufeinanderfolgende sein, i.a. können die ziemlich "zerstreut liegen"), dann
werde ich jetzt, wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen mich konvergiert, sicher nicht
weniger Folgenglieder nicht erfassen, es werden aber immer noch
höchstens endlich viele sein, was weiß ich: Vielleicht höchstens 1000.
(Es kann auch bei den genau 500 bleiben!)
Wenn nun aber der Fall eintritt, dass ich bei der Verkleinerung des [mm] $\epsilon [/mm] > 0$
irgendwann doch mal unendlich viele Folgenglieder nicht mehr mitüberwachen
kann: Für [mm] $\epsilon=10^{-6}$ [/mm] liegt bspw. jedes 3e Folgenglied nicht mehr in
dem Überwachungsbereich, na dann merke ich: Ohje, ich bin gar nicht der
Grenzwert.
Gehe bei dieser Vorstellung aber davon aus, dass Du immer die gesamte
Umgebung erfasst - es gibt also im Gegensatz zur physikalischen Realität
keine Störfaktoren, und auch keine Übertragungsdauer, d.h. Du siehst
sofort(!) "die Umgebung".
> Dann eine Beispielaufgabe:
> [mm]a_n :=n^2[/mm] * ( [mm]\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a})[/mm]
Das [mm] $a\,$ [/mm] ist hier eine schlechte Wahl für den Parameter.
> wie kann ich nu schauen ob die Folge konvergent ist? und
> was ist Epsilon? und wie bekomme ich a heraus?und wenn die
> Folge konvergent ist, was ist dann der Grenzwert?
Das musst Du hier nicht mit dem [mm] $\epsilon, N_\epsilon$-Kriterium [/mm] machen. Kannst
Du aber. Wie man es auch macht, folgende Umformung ist erstmal sinnvoll
(ich schreibe mal [mm] $x\,$ [/mm] statt [mm] $a\,$):
[/mm]
[mm] $a_n=n^2*\frac{x}{n^2+nx}=\frac{x}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{nx}{n^2}}=\frac{x}{1+\frac{x}{n}}\,.$
[/mm]
Tipp:
Dadurch liegt es nahe, sich mal
[mm] $|a_n-x|$
[/mm]
anzugucken!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
okay danke das ist wirklich sehr anschaulich erklärt. Bezogen auf die Aufgabe und [mm] a_n [/mm] - n würde ich nun den von dir umgeformten Term für [mm] a_n [/mm] einsetzen und erhalte dann gleichzeitig:
[mm] \frac{x}{1+(\frac{x}{n})} [/mm] - x
das kann man umformen zu
[mm] \frac{x}{1+(\frac{x}{n})} [/mm] = x
x = x + [mm] \frac{x^2}{n}
[/mm]
0= [mm] \frac{x^2}{n}
[/mm]
stimmt das so? und was bringt mir eine Umformung?ist sie überhaupt erforderlich? und wer sagt mir wie groß Epsilon in meinem Fall ist?
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Hallo,
> okay danke das ist wirklich sehr anschaulich erklärt.
> Bezogen auf die Aufgabe und [mm]a_n[/mm] - n würde ich nun den von
> dir umgeformten Term für [mm]a_n[/mm] einsetzen und erhalte dann
> gleichzeitig:
> [mm]\frac{x}{1+(\frac{x}{n})}[/mm] - x
> das kann man umformen zu
> [mm]\frac{x}{1+(\frac{x}{n})}[/mm] = x
???
Es ist doch die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{x}{1+x/n}$ [/mm] gegeben, was vermuten lässt, dass [mm] $a_n\to [/mm] x$ für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Also musst du dir [mm] $|a_n-Grenzwert|=\left|\frac{x}{1+x/n}-x\right|$ [/mm] angucken!
Also mit den Betragstrichen drum herum.
Nun sollst du für bel. vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N=N(\varepsilon)$ [/mm] angeben, so dass dieser Betrag für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\ge [/mm] N$ gefälligst [mm] $<\varepsilon$ [/mm] ist.
Um dieses (bzw. ein) $N$ abzugreifen, schätze den Betrag [mm] $\left|a_n-x\right|$ [/mm] in einer Nebenrechnung ab.
Mache erstmal gleichnamig ..
> x = x + [mm]\frac{x^2}{n}[/mm]
> 0= [mm]\frac{x^2}{n}[/mm]
> stimmt das so? und was bringt mir eine Umformung?ist sie
> überhaupt erforderlich? und wer sagt mir wie groß Epsilon
> in meinem Fall ist?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
> Um dieses (bzw. ein) [mm]N[/mm] abzugreifen, schätze den Betrag
> [mm]\left|a_n-x\right|[/mm] in einer Nebenrechnung ab.
Wie schätze ich diesen denn ab? indem ich ihn gegen unendlich also n gegen unendlich laufen lassen?
>
> Mache erstmal gleichnamig ..
und was meinst du mit gleichnamig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
erstmal: [mm] $a_n-x$ [/mm] ist nicht das gleiche wie [mm] $a_n-x=0\,.$ [/mm] Sowas hattest Du bei
Deiner ersten Rückfrage quasi implizit behauptet.
> > Um dieses (bzw. ein) [mm]N[/mm] abzugreifen, schätze den Betrag
> > [mm]\left|a_n-x\right|[/mm] in einer Nebenrechnung ab.
>
> Wie schätze ich diesen denn ab? indem ich ihn gegen
> unendlich also n gegen unendlich laufen lassen?
Das kommt später!
> > Mache erstmal gleichnamig ..
> und was meinst du mit gleichnamig?
Nennergleich. Pass' auf:
[mm] $a_n=\frac{x}{1+\frac{x}{n}}\,.$
[/mm]
Der Nenner ist [mm] $1+\frac{x}{n}\,.$
[/mm]
Weiter ist
[mm] $x=\frac{x}{1}\,.$
[/mm]
Der Nenner hier ist [mm] $1\,.$
[/mm]
Wenn Du nun
[mm] $a_n-x$
[/mm]
ausrechnest:
[mm] $a_n-x=\frac{x}{1+\frac{1}{n}}-\frac{x}{1}=...$
[/mm]
Wie bekommst Du das nun "alles mit einem einzigen Bruchstrich hin"?
Zahlenbeispiel, was Du aus der Schule kennst:
Wenn Du
[mm] $\frac{3}{10}-\frac{7}{15}$
[/mm]
in "einen" Bruch schreiben sollst: Wie gehst Du dann vor?
(P.S. Es wird hier dabei nicht verlangt, dass Du den kleinsten gemeinsamen
Nenner findest - es reicht auch irgendein gemeinsamer Nenner!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
> Nennergleich. Pass' auf:
>
> [mm]a_n=\frac{x}{1+\frac{x}{n}}\,.[/mm]
>
> Der Nenner ist [mm]1+\frac{x}{n}\,.[/mm]
>
> Weiter ist
>
> [mm]x=\frac{x}{1}\,.[/mm]
>
> Der Nenner hier ist [mm]1\,.[/mm]
>
> Wenn Du nun
>
> [mm]a_n-x[/mm]
>
> ausrechnest:
>
> [mm]a_n-x=\frac{x}{1+\frac{1}{n}}-\frac{x}{1}=...[/mm]
>
> Wie bekommst Du das nun "alles mit einem einzigen
> Bruchstrich hin"?
>
indem ich den zweiten Teil des Terms mit [mm] \frac{1+\frac{x}{n}}{1+\frac{x}{n}} [/mm] multipiziere (also Nenner als auch Zähler)
dann erhalte ich
[mm] \frac{x}{1+\frac{x}{n}}- \frac{x+\frac{x^2}{n}}{1+\frac{x}{n}}
[/mm]
= [mm] x-x^2 [/mm] - [mm] \frac{x}{n}
[/mm]
Forme ich dies dann mit p/q Formel um?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > Nennergleich. Pass' auf:
> >
> > [mm]a_n=\frac{x}{1+\frac{x}{n}}\,.[/mm]
> >
> > Der Nenner ist [mm]1+\frac{x}{n}\,.[/mm]
> >
> > Weiter ist
> >
> > [mm]x=\frac{x}{1}\,.[/mm]
> >
> > Der Nenner hier ist [mm]1\,.[/mm]
> >
> > Wenn Du nun
> >
> > [mm]a_n-x[/mm]
> >
> > ausrechnest:
> >
> > [mm]a_n-x=\frac{x}{1+\frac{1}{n}}-\frac{x}{1}=...[/mm]
> >
> > Wie bekommst Du das nun "alles mit einem einzigen
> > Bruchstrich hin"?
> >
> indem ich den zweiten Teil des Terms mit
> [mm]\frac{1+\frac{x}{n}}{1+\frac{x}{n}}[/mm] multipiziere (also
> Nenner als auch Zähler)
> dann erhalte ich
> [mm]\frac{x}{1+\frac{x}{n}}- \frac{x+\frac{x^2}{n}}{1+\frac{x}{n}}[/mm]
>
> = [mm]\red{x-x^2- \frac{x}{n}}[/mm]
aua.
[mm] $\frac{x}{1+\frac{x}{n}}- \frac{x+\frac{x^2}{n}}{1+\frac{x}{n}}=\frac{x-(x+x^2/n)}{1+\frac{x}{n}}=\frac{x-x-x^2/n}{1+\frac{x}{n}}=\frac{\;-\;x^2/n}{1+\frac{x}{n}}\,.$
[/mm]
Da steht nun also
[mm] $a_n-x\,.$
[/mm]
Was ist dann
[mm] $|a_n-x|$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
>
> Da steht nun also
>
> [mm]a_n-x\,.[/mm]
>
> Was ist dann
>
> [mm]|a_n-x|[/mm]?
entschuldige wenn ich auf dem Irrweg bin aber ich würde es so umschreiben:
[mm] \wurzel{(\frac{x^2/n}{1+\frac{x}{n}})^2}
[/mm]
stimmt dies?
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Hallo nochmal,
> > Da steht nun also
> >
> > [mm]a_n-x\,.[/mm]
> >
> > Was ist dann
> >
> > [mm]|a_n-x|[/mm]?
>
> entschuldige wenn ich auf dem Irrweg bin aber ich würde es
> so umschreiben:
> [mm]\wurzel{(\frac{x^2/n}{1+\frac{x}{n}})^2}[/mm]
> stimmt dies?
Wieso Wurzel und Quadrat?
Der Term in der Klammer ist richtig.
Es ist [mm]\left|\frac{x}{1+x/n}-x\right|=\left|\frac{x}{1+x/n}-\frac{x\cdot{}\red{\left(1+x/n\right)}}{\red{1+x/n}}\right|=\left|\frac{x-x-x^2/n}{1+x/n}\right|=\frac{x^2}{\left|n\cdot{}\left(1+x/n\right)\right|}=\frac{x^2}{\left|n+x\right|}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
vielen vielen Dank. Ich bemühe mich auch das nachzuvollziehen. Jetzt weiß ich also was | [mm] a_n [/mm] - a | ist. Was bringt mir dies nun bezüglich des grenzwertes?
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Hallo Maya,
> vielen vielen Dank. Ich bemühe mich auch das
> nachzuvollziehen. Jetzt weiß ich also was | [mm]a_n[/mm] - a | ist.
Nein, sondern was [mm] |a_n-x| [/mm] ist.
> Was bringt mir dies nun bezüglich des grenzwertes?
Es geht doch ums [mm] $\varepsilon$-Kriterium. [/mm]
Als nächstes sollst Du zeigen, dass für ein beliebig kleines [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein N bestimmt werden kann, so dass für alle $n>N$ gilt: [mm] |a_n-x|<\varepsilon.
[/mm]
Das wird oft auch mit [mm] \ge [/mm] und [mm] \le [/mm] definiert, macht aber in der Vorgehensweise keinen Unterschied.
Dazu nimmst Du jetzt kein "festes" [mm] \varepsilon, [/mm] sondern lässt es allgemein und bestimmst sozusagen die Funktion [mm] N(\varepsilon), [/mm] denn es ist ja zu erwarten, dass für verschiedene Werte von [mm] \varepsilon [/mm] auch verschiedene Werte von $N$ gelten.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
okay das verstehe ich. und wie mache ich das? vielleicht indem ich die Nullstellen von [mm]|a_n-x|[/mm] berechne? Denn n ist an dieser Stelle ja nur der Index
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> okay das verstehe ich. und wie mache ich das? vielleicht
> indem ich die Nullstellen von [mm]|a_n-x|[/mm] berechne? Denn n ist
> an dieser Stelle ja nur der Index
>
Hallo,
Du schaust erstmal, ob Du
[mm] |a_n-x|<\varepsilon
[/mm]
nach n auflösen kannst.
Wenn das nicht klappt, versucht man geschickt abzuschätzen. Das N, welches man nimmt, wird von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
aber wie löst man denn nach n auf wenn n der Index ist?
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Also bitte.
Langsam wird's aber albern
> aber wie löst man denn nach n auf wenn n der Index ist?
Wieso sollte n ein Index sein?
Wir hatten doch schon den Term [mm] $a_n-x$ [/mm] zusammengefasst.
Was war das noch? Da kam ein n vor, und das steht nicht als Index da, sondern im Nenner ...
Mensch Mensch Mensch ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
okay also aus
[mm] \frac{x^2}{n+x} \ge \epsilon
[/mm]
[mm] x^2 \ge \epsilon [/mm] * (n+x)
[mm] \frac{x^2}{\epsilon}\ge [/mm] n+x
[mm] \frac{x^2}{\epsilon} [/mm] - x [mm] \ge [/mm] n
stimmt das so?
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> okay also aus
> [mm]\frac{x^2}{n+x} \ge \epsilon[/mm]
> [mm]x^2 \ge \epsilon[/mm] * (n+x)
> [mm]\frac{x^2}{\epsilon}\ge[/mm] n+x
> [mm]\frac{x^2}{\epsilon}[/mm] - x [mm]\ge[/mm] n
> stimmt das so?
Hallo,
die Umformung: ja.
Aber die Ungleichheitszeichen müssen doch andersrum! das soll doch kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] sein.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
Entschuldigung ich habe mich verschrieben und konnte es dann nicht mehr bearbeiten :-(
okay. jetzt habe ich diese Umformung aber der Grenzwert steht doch immer noch nicht oder? Soll ich nun n gegen unendlich laufen lassen?
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> Entschuldigung ich habe mich verschrieben und konnte es
> dann nicht mehr bearbeiten :-(
> okay. jetzt habe ich diese Umformung aber der Grenzwert
> steht doch immer noch nicht oder?
Hallo,
doch, der steht.
Du hast doch jetzt gezeigt:
wenn Du eine beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] nimmst, dann ist für alle n, die größer als die berechnete Zahl sind, der Abstand zwischen [mm] a_n [/mm] und x kleiner als [mm] \varepsilon.
[/mm]
LG Angela
Soll ich nun n gegen
> unendlich laufen lassen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
>
> Hallo,
>
> doch, der steht.
>
> Du hast doch jetzt gezeigt:
>
> wenn Du eine beliebiges [mm]\varepsilon[/mm] nimmst, dann ist für
> alle n, die größer als die berechnete Zahl sind, der
> Abstand zwischen [mm]a_n[/mm] und x kleiner als [mm]\varepsilon.[/mm]
>
ich hoffe ihr verzweifelt nicht an mir aber:
Wodurch habe ich das denn gezeigt? dadurch das ich umformen konnte? und was ist dann der Grenzwert? etwa der Term der sich aus [mm] |a_n [/mm] -x | ergeben hat?
LG
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> >
> > Hallo,
> >
> > doch, der steht.
> >
> > Du hast doch jetzt gezeigt:
> >
> > wenn Du eine beliebiges [mm]\varepsilon[/mm] nimmst, dann ist für
> > alle n, die größer als die berechnete Zahl sind, der
> > Abstand zwischen [mm]a_n[/mm] und x kleiner als [mm]\varepsilon.[/mm]
> >
>
> ich hoffe ihr verzweifelt nicht an mir aber:
> Wodurch habe ich das denn gezeigt? dadurch das ich
> umformen konnte? und was ist dann der Grenzwert? etwa der
> Term der sich aus [mm]|a_n[/mm] -x | ergeben hat?
Hallo,
nein, der Grenzwert ist x.
Schau Dir die Definition von [mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen x an.
Da steht:
[mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen x, genau dann wenn
man für jedes beliebige [mm] \varepsilon [/mm] einen passenden Schwellenwert N findet, so daß für alle n, die nach diesem Schwellenwert kommen, gilt, daß die Folgenglieder [mm] a_n [/mm] dichter als [mm] \varepsilon [/mm] an x dranliegen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
also ist der Grenzwert nicht mehr und nicht weniger als x? steckt dahinter keine genauere Definition?
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> also ist der Grenzwert nicht mehr und nicht weniger als x?
Hallo,
der Grenzwert ist x.
> steckt dahinter keine genauere Definition?
Was meinst Du mit "genauere Definition"?
Die genaue Definition ist die mit
"für alle [mm] \varespsilon>0 [/mm] usw.".
Halt das, was ich in Worten wiedergegeben habe.
Du solltest es mit der Def. genau vergleichen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
ich habe mir jetzt den Beweis verdeutlicht, allerdings ist mir nicht ganz klar wie ich sauber aufschreibe, dass ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert..
kann man schreiben:
wegen
[mm] \frac{x^2}{\epsilon} [/mm] - x [mm] \le [/mm] n existiert auch ein N [mm] \in \IN [/mm] für das | [mm] a_n [/mm] - a | [mm] \le \epsilon [/mm] ist
kann man das so sagen? oder wie drücke ich das aus?
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> ich habe mir jetzt den Beweis verdeutlicht, allerdings ist
> mir nicht ganz klar wie ich sauber aufschreibe, dass ein N
> [mm]\in \IN[/mm] existiert..
> kann man schreiben:
> wegen
> [mm]\frac{x^2}{\epsilon}[/mm] - x [mm]\le[/mm] n existiert auch ein N [mm]\in \IN[/mm]
> für das | [mm]a_n[/mm] - a | [mm]\le \epsilon[/mm] ist
> kann man das so sagen? oder wie drücke ich das aus?
Hallo,
am besten schreibst Du mal den kompletten Beweis auf.
Für a>0 sei [mm] (a_n) [/mm] eine reelle Folge mit [mm] a_n :=n^2 [/mm] * ( [mm] \frac{1}{n}-\frac{1}{n+a}) [/mm] .
Behauptung: [mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen a.
Beweis:
Es sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] und [mm] N\in \IN [/mm] mit N>... .
Für alle n>N gilt
[mm] |a_n-a|= [/mm] ... ... ... ... ... ... ... ... [mm] <\varepsilon [/mm] .
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
das habe ich schon auf meinem Block verschriftlicht
ich komme dann bis zu [mm] \frac{a^2}{\epsilon} [/mm] -x [mm] \le [/mm] n
dann weiß ich nicht mehr wie ich weiter formuliere :-(
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> das habe ich schon auf meinem Block verschriftlicht
Hallo,
schön.
Ich kann Dir nur weiterhelfen, wenn ich das "Verschriftlichte" sehe.
Aber vielleicht können andere das ja ohne vor Augen zu haben, was Du tust.
Ist mir auch recht.
> ich komme dann bis zu [mm]\frac{a^2}{\epsilon}[/mm] -x [mm]\le[/mm] n
Diese Gleichung macht mir etwas Angst...
> dann weiß ich nicht mehr wie ich weiter formuliere :-(
Nur ein Hinweis: dafür, wie Du den Schwellenwert N gefunden hast, interessiert sich niemand. Das ist Schmierzettelarbeit.
Am Ende kommt es darauf an, daß der Beweis funktioniert.
Er sieht dann etwas "zauberisch" aus. Wie beim Prof. halt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
hier hast du das Verschriftlichte:
http://www.matheforum.net/read?i=994304
und der Term stimmt doch..ich habe mit a lediglich x ersetzt...
jetzt habe ich nach n umgeformt und den Grenzwert = x kenne ich ja auch.. doch nachdem ich nach n umgeformt habe, wie argumentiere ich dann mit der Konvergenz?
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Hallo,
ich empfahl Dir, den Beweis dafür daß a oder meinetwegen x der GW ist, mal komplett aufzuschreiben.
Das von Dir Verlinkte ist das, was ich zuvor mit "Schmierzettelrechnung" meinte.
Es dient doch lediglich dazu, einen Schwellenwert zu finden.
Es gibt ganz wichtige Dinge, die man auf einem Schmierzettel tut - aber sie gehören nicht immer in den Beweis.
Für den Beweis hatte ich Dir ja einen Rohling hingestellt.
LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:04 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Maya,
Zu zeigen: Die Folge [mm] a_n:=(n^2\cdot(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a}))_{n\in\IN} [/mm] konvergiert gegen [mm] a\in\IR.
[/mm]
Beweis: Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig vorgegeben. Wir definieren [mm] N=N(\epsilon)\in\IN [/mm] mit [mm] N>\frac{a^2}{\epsilon}-a. [/mm] Dann gilt für alle [mm] $n\ge [/mm] N$:
[mm] |a_n-a|= |n^2\cdot(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a})-a|=\ldots=\frac{a^2}{n+a}\le\frac{a^2}{N+a}<\frac{a^2}{(\frac{a^2}{\epsilon}-a)+a}=\epsilon.
[/mm]
Ich habe mit Absicht, die letzten Schritte ausführlicher hingeschrieben und hoffe, dass bei dir endlich ein Licht aufgeht! Auch wenn es nur ein kleines ist und du noch Fragen hast, kannst du diese natürlich stellen, aber schreibe bitte nicht immer drauf los, sondern denke gegebenenfalls erst noch einmal darüber nach!
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:46 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Angela
> > ich komme dann bis zu [mm]\frac{a^2}{\epsilon}[/mm] -x [mm]\le[/mm] n
>
> Diese Gleichung macht mir etwas Angst...
Hier musste ich, was heißt musste ich, ich lache noch immer!
> LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:08 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> das habe ich schon auf meinem Block verschriftlicht
> ich komme dann bis zu [mm]\frac{a^2}{\epsilon}[/mm] -x [mm]\le[/mm] n
> dann weiß ich nicht mehr wie ich weiter formuliere :-(
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Bleib bei einer Variable!
DieAcht
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Hallo,
wieso wird aus $|n+x|$ einfach $n+x$?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
ist die Umformung dann falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maya!
Die "Umformung" $|n+x| \ = \ n+x$ ist nicht unbedingt falsch, aber sie bedarf einer Erklärung / Begründung, warum das so annehmen darf.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
vielleicht weil n wegen n [mm] \in \IN [/mm] immer positiv ist und x als der Grenzwert auch positiv ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maya!
> vielleicht weil n wegen n [mm]\in \IN[/mm] immer positiv ist und x
> als der Grenzwert auch positiv ist?
Im Ansatz fast gut ... aber nur fast.
$x_$ ist zwar ein fester Wert, muss ja nicht zwangsläufig auch positiv sein.
Aber zu jedem (festen) $x_$ gibt es irgendwann ein [mm] $n\ge [/mm] N$ , für das gilt $N+x \ > \ 0$ .
Gruß
Loddar
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