Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
okay gut.
Ich habe mich mal an einem Beispiel versucht:
für
[mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n-1}
[/mm]
dann stelle ich den Term [mm] |a_n [/mm] - a | [mm] \le \epsilon
[/mm]
also | [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n-1} [/mm] - a |
[mm] \wurzel{(\wurzel{n} - \wurzel{n-1} - a)^2}
[/mm]
[mm] =\wurzel{1-x}
[/mm]
aber jetzt ist das n ja komplett raus :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maya!
Bitte neue Aufgaben auch in neuen / eigenständigen Threads stellen.
Um hier das [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] anwenden zu können, musst Du ja erst einen konkreten Wert (einen Verdacht  ) haben, um ihn dann bei [mm] $|a_n-a|<\varepsilon$ [/mm] einsetzen zu können.
Für diese konkrete Aufgabe solltest Du den Term mit [mm] $\left( \ \wurzel{n} \ \red{+} \ \wurzel{n-1} \ \right)$ [/mm] erweitern.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
tut mir leid das wusste ich nicht. aber danke das du dies nun für mich übernommen hast 
meinst du mit erweitern dies hier:
| [mm] (\wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n-1} [/mm] - a) * [mm] \frac{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}}{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}}| [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Fr 29.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Mach dir zunächst die Definition klar!
Eine reellwerte Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_n\in\IR [/mm] konvergiert gegen einen Wert [mm] a\in\IR, [/mm] falls für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] derart existiert, sodass [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Ich habe nun mitbekommen, dass dir diese Definition schon mit anderen Worten erklärt worden ist, aber du musst verstehen, dass du hier zunächst ein bisschen "Vorarbeit" machen musst, damit der Beweis "schön" aussieht. Das machen so die Mathematiker
Betrachten wir doch mal die als Beispiel Folge [mm] (b_n)_{n\in\IN}=(\frac{1}{n})_{n\in\IN}. [/mm] Wenn du dir nun ein paar Folgenglieder aufschreibst, dann kannst du mit Sicherheit den Grenzwert vermuten. Die Brüche werden für immer größere $n$ immer kleiner und damit erhälst du die Vermutung, dass die Folge gegen Null konvergiert.
Sei also [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig vorgegeben, dann gilt:
[mm] |b_n-b|=|b_n-0| [/mm] (weil gerade die Variable $b$,nach der Definition, der Grenzwert sein soll) und weiter:
[mm] |b_n-0|=|b_n|=|\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}
[/mm]
Wir müssen nun zeigen, dass [mm] \frac{1}{n}<\epsilon [/mm] gilt. In der Definition steht, dass zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] existiert. Dieses $N$ ist anzugeben!
Wir wählen also $N$ derart, so dass [mm] \frac{1}{N}<\epsilon [/mm] gilt, also umgeformt: [mm] N>\frac{1}{\epsilon}. [/mm] Dann gilt für alle [mm] $n\ge [/mm] N$:
[mm] |b_n-b|=|b_n-0|=|b_n|=|\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}=\frac{1}{N}<\epsilon
[/mm]
Übrigens geht die Argumentation dazu auch mit dem Archimedischem Axiom.
Auf jeden Fall schreibst du erst JETZT dein Beweis "sauber" auf, in etwa so:
Nach dem Satz von Archimedes existiert ein [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] N>\frac{1}{\epsilon}. [/mm] Dann gilt für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ auch [mm] n\ge N>\frac{1}{\epsilon} [/mm] und somit [mm] |b_n-b|<\epsilon.
[/mm]
Du siehst nun an dem Beispiel, dass du zunächst dein $N$ bestimmen musst und danach den Beweis "sauber" aufschreiben musst!
> | [mm](\wurzel{n}[/mm] - [mm]\wurzel{n-1}[/mm] - a) * [mm]\frac{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}}{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}}|[/mm]
> ?
Hier brauchst du auch erst einen Verdacht!
Erweitere zunächst wie folgt:
[mm] (\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})*(\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}})
[/mm]
Tipp: Dritte binomische Formel! [mm] (a+b)*(a-b)=a^2-b^2 [/mm] für alle [mm] a,b\in\IR
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
für n gegen unendlich geht der Term gegen 0 oder?
also dann folgt ja:
| [mm] a_n [/mm] - 0 | = | [mm] a_n [/mm] | [mm] \le \epsilon [/mm]
oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
okay dann muss ich zeigen das:
| [mm] \frac{1}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}} [/mm] | [mm] \le \epsilon
[/mm]
oder?
dann forme ich um zu:
[mm] \frac{1}{2* \epsilon^{2}} [/mm] +1 [mm] \le [/mm] n
reicht das als Beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Fr 29.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
> okay dann muss ich zeigen das:
> | [mm]\frac{1}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}}[/mm] | [mm]\le \epsilon[/mm]
>
> oder?
Du musst nun zeigen, dass es ein [mm] $N$\in\IN [/mm] derart gibt, sodass für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ gilt: [mm] \frac{1}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}}<\epsilon
[/mm]
> dann forme ich um zu:
>
> [mm]\frac{1}{2* \epsilon^{2}}[/mm] +1 [mm]\le[/mm] n
Wie kommst du dadrauf?
[mm] \frac{1}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}}<\epsilon\gdw\frac{1}{\epsilon}<\sqrt{n}+\sqrt{n-1}
[/mm]
Wie hast du weiter gerechnet? - Ich erahne schlimmes..
Sicherheitshalber: [mm] (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\not=(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2 [/mm] für alle [mm] a,b\in\IR_{\ge0}
[/mm]
Denk lieber nochmal nach! Du kannst doch den Term erstmal weiter "vergrößern", in dem du den Nenner kleiner machst..
> reicht das als Beweis?
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
ich habe ja:
[mm] \frac{1}{\epsilon} \le \wurzel{n} [/mm] + [mm] \wurzel{n+1}
[/mm]
dann quadirere ich alles und erhalte
[mm] \frac{1}{\epsilon^{2}} \le [/mm] n + n + 1
dann erhalte ich
[mm] \frac{1}{\epsilon^{2}}-1 \le [/mm] 2n
und teile dann durch 2
0,5 * [mm] (\frac{1}{\epsilon^{2}}-1 [/mm] ) [mm] \le [/mm] n
was ist daran falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maya!
Wie DieAcht schon befürchtet hat: Du ignorierst hier sehr gekonnt die Gültigkeit der binomischen Formeln, die sich eigentlich schnon durchgesetzt haben.
Es gilt im Allgemeinen: [mm] $(a+b)^2 [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] a^2+b^2$ [/mm] !
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
aber wie kann ich dann an der Stelle
[mm] \frac{1}{\epsilon^{2}} \le [/mm] n + (n+1)
weiterrechnen?
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Hallo Maya,
> aber wie kann ich dann an der Stelle
> [mm]\frac{1}{\epsilon^{2}} \le[/mm] n + (n+1)
> weiterrechnen?
Gar nicht. Das ist doch gerade die falsche Umformung. Einen Schritt davor wars noch richtig:
[mm] \bruch{1}{\varepsilon}\le\wurzel{n}+\wurzel{n+1}
[/mm]
Das ist ungemütlich.
Wenn man die rechte Seite quadriert, behält man immer noch eine Wurzel: [mm] (\wurzel{n}+\wurzel{n+1})^2=n+2\wurzel{n(n+1)}+n+1.
[/mm]
DieAcht hatte darum vorgeschlagen, erst einmal ein bisschen abzuschätzen und so die Rechnung zu vereinfachen. Das geht so:
[mm] \bruch{1}{\varepsilon}\le\wurzel{n}+\wurzel{n+1}\blue{<\wurzel{n+1}+\wurzel{n+1}=2\wurzel{n+1}}
[/mm]
...und damit sicher [mm] \bruch{1}{2\varepsilon}<\wurzel{n+1}
[/mm]
Da brauchst Du gar nicht mehr zu quadrieren, sondern kannst direkt nach [mm] \varepsilon [/mm] umformen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
okay vielen Dank für deine Hilfe.wirklich. nur wieso soll ich es nach [mm] \epsilon [/mm] umformen? mir wurde immer gesagt, dass ich die Ungleichung nach n umformen soll. Weil von Epsilon bin ich ja ausgegangen
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Hallo Maya,
> okay vielen Dank für deine Hilfe.wirklich. nur wieso soll
> ich es nach [mm]\epsilon[/mm] umformen? mir wurde immer gesagt, dass
> ich die Ungleichung nach n umformen soll. Weil von Epsilon
> bin ich ja ausgegangen
Sorry, da hast Du natürlich Recht. Ich war unaufmerksam.
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
aber wie formt man die rechte Seite ohne quadrieren so um das nur noch n bleibt?
[mm] \wurzel{n+1}
[/mm]
da muss ich doch quadrieren oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Sa 30.11.2013 | | Autor: | abakus |
> aber wie formt man die rechte Seite ohne quadrieren so um
> das nur noch n bleibt?
>
> [mm]\wurzel{n+1}[/mm]
> da muss ich doch quadrieren oder?
Auf alle Fälle. Hier hast du aber nicht mehr das Problem, dass nach dem Quadrieren immer noch Wurzeln bleiben.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
okay, dann erhalt ich ja
[mm] \frac{1}{4*\epsilon1{2}} [/mm] - 1 = n
reicht das als Beweis dafür, dass der Grenzwert sich an 0 annähert?
also immer wenn ich den Term | [mm] a_n [/mm] - a | [mm] \le \epsilon [/mm]
nach n umformen kann stimmt der Grenzwert? Wie sieht dies aus wenn kein Grenzwert existiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
> okay, dann erhalt ich ja
> [mm]\frac{1}{4*\epsilon1{2}}[/mm] - 1 = n
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Verschrieben und Ungleichung nicht beachtet!
> reicht das als Beweis dafür, dass der Grenzwert sich an 0
> annähert?
> also immer wenn ich den Term | [mm]a_n[/mm] - a | [mm]\le \epsilon[/mm]
> nach n umformen kann stimmt der Grenzwert?
Wähle dein [mm] N=N(\epsilon) [/mm] derart, dass für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ die Behauptung gilt!
> Wie sieht dies aus wenn kein Grenzwert existiert?
Dann überprüfe zunächst die notwendige Bedingung (Beschränktheit).
Allgemein gibt es viele Sätze, der wohl berühmteste:
Jede nach oben beschränkte monoton wachsende Folge konvergiert.
Zeige zum Beispiel, dass [mm] b_n=(n)_{n\in\IN} [/mm] bestimmt divergiert.
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
>
> Zeige zum Beispiel, dass [mm]b_n=(n)_{n\in\IN}[/mm] bestimmt
> divergiert.
Also ich würde sagen, dass die Folge divergiert, da für n-> unendlich der Term auch gegen unendlich geht..
und die Folge ist nicht nach oben beschränkt
aber andererseits sind die natürlichen Zahlen abzählbar und endlich. also müssten diese doch eigentlich nach oben beschränkt sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
>
> >
> > Zeige zum Beispiel, dass [mm]b_n=(n)_{n\in\IN}[/mm] bestimmt
> > divergiert.
> Also ich würde sagen, dass die Folge divergiert, da für
> n-> unendlich der Term auch gegen unendlich geht..
> und die Folge ist nicht nach oben beschränkt
>
> aber andererseits sind die natürlichen Zahlen abzählbar
> und endlich. also müssten diese doch eigentlich nach oben
> beschränkt sein oder?
Schreibe dir die Definition doch um!
Falls es zu jedem [mm] M\in\IR [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] derart gibt, sodass für [mm] b_n>M [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ gilt. Dann schreiben wir [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(b_n)=\infty. [/mm]
Analog für "uneigentliche Konvergenz/bestimmte Divergenz" gegen [mm] -\infty.
[/mm]
In unserem Fall:
Die Folgenglieder werden beliebig groß und zu jedem [mm] M\in\IR [/mm] alle Folgenglieder ab [mm] a_M [/mm] größer als M sind.
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
Auch hier:
Wie kann ich wenn ich nach n umgeformt habe, beweisen, dass dies auch für N gilt bzw wie kann ich durch diese Umformung begründen das die Folge konvergiert? Mir fehlt es gerade an einer Formulierung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Zu zeigen: [mm] a_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1} [/mm] ist eine Nullfolge.
Beweis: Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig vorgegeben. Setze [mm] N>\ldots, [/mm] dann gilt für alle [mm] $n\ge [/mm] N$:
[mm] |a_n-0|=\ldots=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}<\ldots<\ldots=\epsilon
[/mm]
Ausfüllen!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
> Zu zeigen: [mm]a_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}[/mm] ist eine Nullfolge.
>
Beweis: Sei [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig vorgegeben. Setze [mm]N> [mm] \frac{1}{4*\epsilon^2} [/mm] -1
dann gilt für alle [mm]n\ge N[/mm]:
[mm] |a_n-0|=\frac{n-n+1}{\wurzel{n}-\wurzel{n-1}}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}<\epsilon
[/mm]
[mm] \gdw \frac{1}{4* \epsilon^{2}} [/mm] -1 < n
und danach?
>
> Ausfüllen!
>
> DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Ich habe dir ein Beispiel vorgerechnet.
https://vorhilfe.de/read?t=994329
Guck es dir nochmal an!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
habe ich. mit Hilfe dieses Beispiel habe ich je die Punkte ausgefüllt. Stimmt das denn soweit? und du hast das dort mit dem Archmidischen Axiom auf N bezogen..hier habe ich ja erstmal nur n
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Bei meiner Rechnung ist aber kein "Genau, dann" Zeichen.
Du sollst direkt darauf kommen mit deinem $N$.
[mm] |a_n|=\ldots<\ldots<(*)=\ldots=\epsilon
[/mm]
[mm] (\cdot) [/mm] hier setzt du, wenn du willst, $N$ ein und vergewisserst dich, dass wirklich [mm] \epsilon [/mm] rauskommt!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
okay. ich habe mir das ist Ruhe angeguckt und komme jetzt auf:
[mm] |a_n| [/mm] = | [mm] \wurzel{n}-\wurzel{n-1}| \le |\wurzel{n}|+|\wurzel{n-1}| [/mm] = [mm] \wurzel{n} [/mm] + [mm] \wurzel{n-1} \le \wurzel{n-1} [/mm] + [mm] \wurzel{n-1} [/mm] = 2* [mm] \wurzel{n-1} \le [/mm] 2* [mm] \wurzel{N-1} \le \epsilon [/mm]
ich verstehe allerdings nicht wie ich hier N einbringe..
ich weiß ja:
n [mm] \le \frac{\epsilon^{2}}{4} [/mm] dann weiß ich auch das N [mm] \le \frac{\epsilon^{2}}{4}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
danke für deine schnelle Hilfe!
also 2* [mm] \wurzel{n} \le [/mm] 2* [mm] \wurzel{N} \le \epsilon [/mm]
das kann ich umformen zu n [mm] \le \frac{\epsilon^{2}}{4} [/mm]
daher gilt auch N [mm] \le frac{\epsilon^{2}}{4}
[/mm]
jetzt setzte ich das oben ein..
2* [mm] \wurzel{N} \le [/mm] 2* [mm] \wurzel{ frac{\epsilon^{2}}{4}} [/mm] aber wie forme ich nun weiter um?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> danke für deine schnelle Hilfe!
> also 2* [mm]\wurzel{n} \le[/mm] 2* [mm]\wurzel{N} \le \epsilon[/mm]
Was machst du denn hier? Du sollst erst dein [mm] N\in\IN [/mm] angeben und danach kannst du "Sicherheitshalber" $N$ einsetzen, damit du siehst, ob wirklich das gewünschte, d.h. [mm] \epsilon, [/mm] rauskommt!
Du verwechselst wieder die Nebenrechnung und den Beweis!
> das kann ich umformen zu n [mm]\le \frac{\epsilon^{2}}{4}[/mm]
> daher gilt auch N [mm]\le frac{\epsilon^{2}}{4}[/mm]
> jetzt setzte
> ich das oben ein..
> 2* [mm]\wurzel{N} \le[/mm] 2* [mm]\wurzel{ frac{\epsilon^{2}}{4}}[/mm] aber
> wie forme ich nun weiter um?
Das kann ich nicht lesen. Vielleicht verstehst du es so:
Nebenrechnung:
[mm] |a_n|=\ldots<2\sqrt{n}<\epsilon\gdw n<\frac{\epsilon^2}{4}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Das hast du auch!
Beweis:
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig vorgeben. Setze [mm] N>\frac{\epsilon^2}{4}, [/mm] dann gilt für alle [mm] $n\ge [/mm] N$:
[mm] |a_n|=\ldots<2\sqrt{n}\le 2\sqrt{N}< 2\sqrt{\frac{\epsilon^2}{4}}=\epsilon
[/mm]
Ich habe es dir wieder ausführlich hingeschrieben, normalerweiße würde der Beweis einfach so aussehen:
Beweis:
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig vorgeben. Setze [mm] N>\frac{\epsilon^2}{4}, [/mm] dann gilt für alle [mm] $n\ge [/mm] N$:
[mm] |a_n|=\ldots<2\sqrt{n}<\epsilon
[/mm]
Weil es hier im Grunde klar ist!
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
danke
das was du nicht lesen konntest war genau das, was du hier als ausführlichen Beweis aufgeschrieben hast. hab ich verstanden. Vielen Dank für deine Mühe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Super, das freut mich!
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Ich schreib dir mal den Beweis von [mm] a_n=(\frac{1}{n})_{n\in\IN} [/mm] ohne das archimedische Axiom auf.
Zu zeigen: [mm] a_n=(\frac{1}{n})_{n\in\IN} [/mm] ist eine Nullfolge.
Beweis: Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig vorgeben. Mit [mm] N>\frac{1}{\epsilon} [/mm] gilt für alle [mm] $n\ge [/mm] N$:
[mm] |a_n-0|=|a_n|=|\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\frac{1}{\frac{1}{\epsilon}}=\epsilon
[/mm]
Jetzt guck nochmal!
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:27 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> ich habe ja:
> [mm]\frac{1}{\epsilon} \le \wurzel{n}[/mm] + [mm]\wurzel{n+1}[/mm]
Ab hier ist schon ein Fehler, der nicht beachtet worden ist und sich über die ganze Diskussion fortgesetzt hat.
Wir wollten zeigen, dass die Folge [mm] a_n:=(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge ist.
[mm] |a_n-0|=|a_n|=|\sqrt{n}-\sqrt{n-1}|=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}<\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n-1}}=\frac{1}{2\sqrt{n-1}}
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] \frac{1}{2\sqrt{n-1}}<\epsilon\gdw n>\frac{1}{4\epsilon^2}+1
[/mm]
Jetzt bist du dran, schreib den Beweis ausführlich auf!
edit: Übrigens ist die Erweiterung am Anfang nicht so sinnvoll, da du direkt die Dreiecksungleichung benutzen kannst.
[mm] |a_n-0|=|a_n|=|\sqrt{n}-\sqrt{n-1}|\le|\sqrt{n}|+|\sqrt{n-1}|=\sqrt{n}+\sqrt{n-1}<\sqrt{n}+\sqrt{n}=2\sqrt{n}
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] 2\sqrt{n}<\epsilon\gdw\ldots [/mm] hier kannst du weiter üben!
> dann quadirere ich alles und erhalte
> [mm]\frac{1}{\epsilon^{2}} \le[/mm] n + n + 1
> dann erhalte ich
> [mm]\frac{1}{\epsilon^{2}}-1 \le[/mm] 2n
> und teile dann durch 2
> 0,5 * [mm](\frac{1}{\epsilon^{2}}-1[/mm] ) [mm]\le[/mm] n
>
> was ist daran falsch?
Gruß
DieAcht
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