Konvergenz von Integralen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{x+arctan(x)}{\wurzel{27x^{7}+3x^{3}*log(2x)+|sin(2x)|}} dx}
[/mm]
Bestimmen sie ob das Integral konvergiert und warum! |
Hallo,
Ich komm mit der Aufgabenstellung nicht klar. Wie bestimmt man die Konvergenz von Integralen? So wie bei Reihen? Wenn das so wäre würde ich mir halt jeden einzelnen Teil vom Integral anschauen und sehen wohin der bei [mm] \infty [/mm] geht. Der Sinus zwischen -1 und 1, wegen dem Betrag dann halt gegen 1, der arctan gegen 90, der Log gegen [mm] \infty [/mm] dann sieht man schon dass das gesamte Integral gegen [mm] \infty [/mm] geht, oder macht man das bei Integralen anders?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wieselwiesel!
Man geht hier ähnlich / analog vor wie bei Reihen.
Versuche eine konvergente Majorante bzw. eine divergente Minorante zu finden, um dann auf die Konvergenz / Divergenz des gegebenen Integrals zu schließen.
Gruß
Loddar
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Danke für die Antwort!
Also würde meine Majorante so ausschauen
[mm] \bruch{x+90}{\wurzel{27x^7+3x^3 log(x)}}
[/mm]
oder? irgendwie muss doch der log noch weg, aber der geht ja gegen unendlich, wie bring ich das in die Majorante?
Macht man da dann mit dem Quotientenkriterium weiter?
Ich bin nicht wirklich gut in Reihen auf Konvergenz überprüfen und mir nicht sicher wie ich die Majorante abschätze...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort!
>
> Also würde meine Majorante so ausschauen
>
> [mm]\bruch{x+90}{\wurzel{27x^7+3x^3 log(x)}}[/mm]
Wie kommst Du auf 90 ? Für x [mm] \ge [/mm] 2 ist 0< arctan(x) [mm] \le [/mm] 2 [mm] \le [/mm] 4x
Damit bekommst Du die Majorante
[mm]\bruch{5x}{\wurzel{27x^7}[/mm]
Für welche p>0 ist
[mm] \integral_{2}^{\infty}{1/x^p dx} [/mm] konvergent ?
>
> oder? irgendwie muss doch der log noch weg, aber der geht
> ja gegen unendlich, wie bring ich das in die Majorante?
>
> Macht man da dann mit dem Quotientenkriterium weiter?
Nein. Majorantenkriterium, warum verschaffst Du Dir denn sonst eine Majorante !!?
FRED
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> Ich bin nicht wirklich gut in Reihen auf Konvergenz
> überprüfen und mir nicht sicher wie ich die Majorante
> abschätze...
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Oh, ok arctan geht gegen 2, das hätt ich auch durch eintippen in den TI herausfinden können, weiss nicht wie ich da auf 90 gekommen bin. Danke für den Hinweis.
Also die Majorante muss größer sein und konvergieren, da könnte man doch alles mögliche annehmen, oder? weil zB 2x auch schon größer ist als arctan(x) wenn x \ge 2, oder?
$ \integral_{2}^{\infty}{1/x^p dx} $ Ist doch eine harmonische Reihe und die konvergiert für alle p \ge 1
und wie komme ich von $ \bruch{5x}{\wurzel{27x^7} $ auf $ \integral_{2}^{\infty}{1/x^p dx} $ ?
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Hallo Wieselwiesel,
> Oh, ok arctan geht gegen 2, das hätt ich auch durch
> eintippen in den TI herausfinden können, weiss nicht wie
> ich da auf 90 gekommen bin. Danke für den Hinweis.
>
> Also die Majorante muss größer sein und konvergieren, da
> könnte man doch alles mögliche annehmen, oder? weil zB 2x
> auch schon größer ist als arctan(x) wenn x [mm]\ge[/mm] 2, oder?
>
> [mm]\integral_{2}^{\infty}{1/x^p dx}[/mm] Ist doch eine harmonische
> Reihe und die konvergiert für alle p [mm]\ge[/mm] 1
Na, für [mm]p=1[/mm] hast du [mm]\int\limits_{2}^{\infty}{\frac{1}{x} \ dx}[/mm] und das ist divergent!
Die Reihen des Typs [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}[/mm] sind für [mm]p\red{>} 1[/mm] konvergent und für [mm]p\le 1[/mm] divergent.
Die harmonische Reihe ist also die "Grenzreihe" zwischen den konvergenten und divergenten Reihen dieses Typs.
Was sagt nun das Integralkriterium bzgl. deiner Aufgabe?
Hast du nun Konverenz oder Divergenz?
>
> und wie komme ich von [mm]\bruch{5x}{\wurzel{27x^7}[/mm] auf
[mm]=\frac{5}{\sqrt{27}}\cdot{}\frac{x}{x^{\frac{7}{2}}}=\frac{5}{\sqrt{27}}\cdot{}\frac{1}{x^{(...)}}[/mm]
> [mm]\integral_{2}^{\infty}{1/x^p dx}[/mm] ?
Mit Vorfaktor [mm]\frac{5}{\sqrt{27}}\neq 0[/mm], der nix an der Konvergenz/Divergenz ändert.
Was ist hier p?
Gruß
schachuzipus
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Danke für die Antwort!
Ja klar p muss größer als 1 sein und nicht größer gleich. Mein Fehler.
In meinem Fall ist p= [mm] \bruch{5}{2} [/mm] also konvergiert das Integral.
Aber was ich noch immer nicht ganz verstehe, ist wie man die Majorante bestimmt, ja sie muss größer sein als die zu untersuchende Reihe und konvergieren, aber das könnten man doch relativ willkürlich bestimmen, oder?
Ahja und arctan geht gegen [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] keine ahnung was ich da vermurkst habe...
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Hallo nochmal,
> Danke für die Antwort!
> Ja klar p muss größer als 1 sein und nicht größer
> gleich. Mein Fehler.
> In meinem Fall ist p= [mm]\bruch{5}{2}[/mm] also konvergiert das
> Integral. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber was ich noch immer nicht ganz verstehe, ist wie man
> die Majorante bestimmt, ja sie muss größer sein als die
> zu untersuchende Reihe und konvergieren, aber das könnten
> man doch relativ willkürlich bestimmen, oder?
Ziemlich ...
Du musst nur in die richtige Richtung abschätzen und zusehen, dass du von der Majorante leicht zeigen kannst (oder weißt), dass sie konvergiert.
Da du das Integral von [mm]2[/mm] bis [mm]\infty[/mm] betrachtest, ist also [mm]x\ge 2[/mm]
Zähler und Nenner sind positiv, einen positiven Bruch kannst du vergrößern, indem du den Zähler vergrößerst und/oder den Nenner verkleinerst.
Im Nenner das [mm]3x^3\cdot{}\ln(2x)>0[/mm] und der [mm]|\sin(2x)|[/mm] größergleich Null. Du kannst den Nenner also verkleinern, indem du das Zeugs einfach weglässt.
Den Zähler könntest du auch durch [mm]x+\frac{\pi}{2}[/mm] nach oben abschätzen.
Oder wie hier gröber durch [mm]5x[/mm] (meinetwegen auch durch [mm]100000000\cdot{}x[/mm])...
Man will ja eine möglichst einfache Majorante haben.
Die Konvergenz ist ja dann nach der anderen Antwort klar...
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> Ahja und arctan geht gegen [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] keine ahnung was
> ich da vermurkst habe...
Gruß
schachuzipus
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Vielen vielen vielen Dank für diese Erklärung! Das war die beste Erklärung die ich bis jetzt gehört habe, sonst hat das irgendwie keiner so richtig verständlich rüberbringen können.
DANKE!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Oh, ok arctan geht gegen 2,
Nein, das tut er nicht !
> das hätt ich auch durch
> eintippen in den TI herausfinden können,
Bemühe Deinen TI doch mal !
FRED
> weiss nicht wie
> ich da auf 90 gekommen bin. Danke für den Hinweis.
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> Also die Majorante muss größer sein und konvergieren, da
> könnte man doch alles mögliche annehmen, oder? weil zB 2x
> auch schon größer ist als arctan(x) wenn x [mm]\ge[/mm] 2, oder?
>
> [mm]\integral_{2}^{\infty}{1/x^p dx}[/mm] Ist doch eine harmonische
> Reihe und die konvergiert für alle p [mm]\ge[/mm] 1
>
> und wie komme ich von [mm]\bruch{5x}{\wurzel{27x^7}[/mm] auf
> [mm]\integral_{2}^{\infty}{1/x^p dx}[/mm] ?
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