Konvergenz von Reihen. Hilfe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{oo} \bruch{1}{3n^2+n^3}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{oo} \bruch{n^n}{n!}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{oo} \bruch{n^3+n2^n}{3^n}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{oo} [/mm] (a+ [mm] \bruch{1}{n})^n
[/mm]
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| Aufgabe 2 | Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchyschen Konvergenzkriteriums, dass eine Folge
(an)n mit der Eigenschaft
[mm] |a_{n+1}-a_n<=q*|a_n-a_{n-1}| [/mm] 0<q<1
konvergent ist
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Hallo, ich brauche Hilfe bei ein paar Mathe aufgaben, weil ich von allein nicht weiterkomm.Es geht um die Konvergenz von Reihen. Die ganzen Kriterien haben wir zwar aufgeschrieben, aber mir ist schleierhaft wie ich die anwenden muss. Für ein paar Tipps beziehungsweise anregungen wär ich sehr dankbar weil ich echt keine Ahnung hab.
Schon mal im Vorraus vielen dank. Andere Aufgaben hab ich schon gelöst in dem ich sie auf eine harmonische Reihe zurückgeführt hab oder rausgefunden hab das die folge nicht gegen 0 konvergiert. Aber bei den beispielen oben scheint nichts zu greifen. Mir ist aber auch nicht ganz klar wie ich das couchy kriterium anwenden könnte, weil wir kein richtiges Beispiel aufgeschrieben haben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 So 23.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
> [mm]\summe_{n=1}^{oo} \bruch{1}{3n^2+n^3}[/mm]
Tipp:
Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten. Die meiner Ansicht am naheliegendste:
Benutze [mm] $\frac{1}{3n^2+n^3}=\frac{1}{n^2}\frac{1}{3+n} \le \frac{1}{n^2}\,.$ [/mm] Rest folgt mit dem Majorantenkriterium.
> [mm]\summe_{n=1}^{oo} \bruch{n^n}{n!}[/mm]
Tipp: Quotientenkriterium, beachte dabei [mm] $\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\,.$ [/mm] Ferner benötigst Du sicher, dass die Folge [mm] $((1+1/n)^{n})_{n \in \IN}$ [/mm] gegen einen gewissen Wert konvergiert, von dem Du sicher weißt, dass er [mm] $>\,1$ [/mm] ist.
> [mm]\summe_{n=1}^{oo} \bruch{n^3+n2^n}{3^n}[/mm]
Betrachte mal die Reihen [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{3^n}$ [/mm] und [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{n2^n}{3^n}\,.$ [/mm] Mit dem Wurzelkriterium (und wegen [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$) [/mm] erkennt man die Konvergenz der beiden Reihen. Also?
> [mm]\summe_{n=1}^{oo}[/mm] (a+ [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm]
Tipp:
Wurzelkriterium. Beachte bitte, dass Du danach Fallunterscheidungen treffen solltest [mm] ($|a|=1\,,$ [/mm] $|a| > [mm] 1\,,$ [/mm] $0 [mm] \le [/mm] |a| <1$).
> Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchyschen Konvergenzkriteriums,
> dass eine Folge
> (an)n mit der Eigenschaft
> [mm]|a_{n+1}-a_n\red{|}<=q*|a_n-a_{n-1}|[/mm] 0<q<1
> konvergent ist
Sei $0 [mm] \,<\, [/mm] q [mm] \,<\, [/mm] 1$ fest. Weiter sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] fest. Ich schreibe Dir mal , wie man z.B. den Abstand [mm] $|a_{12}-a_8|$ [/mm] mithilfe von [mm] $d:=|a_2-a_1|$ [/mm] abschätzen kann:
[mm] $$|a_{12}-a_8| \le |a_{12}-a_{11}|+|a_{11}-a_{10}|+|a_{10}-a_9|+|a_9-a_8|$$
[/mm]
Nun gilt aber:
[mm] $$|a_9-a_8| \le q|a_8-a_7| \le q^2|a_7-a_6| \le [/mm] ... [mm] \le q^7|a_2-a_1|=q^{9-2}*d\,.$$
[/mm]
Analog:
[mm] $$|a_{10}-a_9| \le q^{10-2}d\,,$$
[/mm]
[mm] $$|a_{11}-a_{10}| \le q^{11-2}*d$$
[/mm]
[mm] $$|a_{12}-a_{11}| \le q^{12-2}*d$$
[/mm]
Also:
[mm] $$|a_{12}-a_8| \le |a_{12}-a_{11}|+|a_{11}-a_{10}|+|a_{10}-a_9|+|a_9-a_8| \le d*\sum_{k=7}^{10} q^k \le d*\sum_{k=7}^\infty q^k\,.$$
[/mm]
Das gilt es, "zu verallgemeinern". Du solltest Dir also überlegen, wieso, wenn $N [mm] \in \IN$ [/mm] und $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $m [mm] \ge [/mm] n > N$ ist, die Ungleichung
[mm] $$|a_m-a_n| \le d*\sum_{k=N}^\infty q^k$$ [/mm]
gilt.
(P.S.: Im Prinzip geht man also vollkommen analog zum Beweis zu ![[]](/images/popup.gif) Satz 21.1 aus diesem Skript hier vor. Es wäre also gut, wenn Du die obige Beweismethode verstehst, damit Du später den Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes verstehst.)
Das sollte Dir weiterhelfen (es reicht, sich zu überlegen, dass [mm] $\sum_{k=N}^\infty c_k \to [/mm] 0$ bei $N [mm] \to \infty\,,$ [/mm] wenn die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty c_k$ [/mm] konvergiert).
> Hallo, ich brauche Hilfe bei ein paar Mathe aufgaben, weil
> ich von allein nicht weiterkomm.Es geht um die Konvergenz
> von Reihen. Die ganzen Kriterien haben wir zwar
> aufgeschrieben, aber mir ist schleierhaft wie ich die
> anwenden muss. Für ein paar Tipps beziehungsweise
> anregungen wär ich sehr dankbar weil ich echt keine Ahnung
> hab.
S.o.
> Schon mal im Vorraus vielen dank. Andere Aufgaben hab ich
> schon gelöst in dem ich sie auf eine harmonische Reihe
> zurückgeführt hab oder rausgefunden hab das die folge nicht
> gegen 0 konvergiert. Aber bei den beispielen oben scheint
> nichts zu greifen. Mir ist aber auch nicht ganz klar wie
> ich das couchy kriterium anwenden könnte, weil wir kein
> richtiges Beispiel aufgeschrieben haben.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
Marcel
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vielen dank. Das hat mir wirklich sehr weitergeholfen :)
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