Konvergenz von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
1) [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(-1)^{n} + i^{n}}{(3i)^{n}-2^{n}}
[/mm]
2) [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{i^{n}}{ \wurzel{n}}
[/mm]
3) [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} [/mm] (1- [mm] \bruch{1}{n²})² [/mm] |
Hallo!
Bräuchte da mal wieder Hilfe bei diesen drei Reihen.
Also zu 1): Das ist ja eine alternierende Reihe, dann müsste man doch das Leibniskriterium anwenden können, oder? Kann mir das vll. noch jemand erklären?
zu 2): Wenn ich da das Quotientenkrit. anwende komm ich irgendwie auf keinen grünen Zweig... Muss ich da auch das Leibniskrit. anwenden?
zu 3): Keine Ahnung wie ich das rechnen soll... Irgendjemand ne Idee??
lg
SirBigMac
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Mi 04.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
> 1) [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(-1)^{n} + i^{n}}{(3i)^{n}-2^{n}}[/mm]
>
> 2) [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{i^{n}}{ \wurzel{n}}[/mm]
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> 3) [mm]\summe_{i=1}^{ \infty}[/mm] (1- [mm]\bruch{1}{n²})²[/mm]
> Hallo!
> Bräuchte da mal wieder Hilfe bei diesen drei Reihen.
>
> Also zu 1): Das ist ja eine alternierende Reihe, dann
Wieso das?
> müsste man doch das Leibniskriterium anwenden können, oder?
> Kann mir das vll. noch jemand erklären?
>
> zu 2): Wenn ich da das Quotientenkrit. anwende komm ich
> irgendwie auf keinen grünen Zweig... Muss ich da auch das
> Leibniskrit. anwenden?
Bei 1) und 2) solltest du die Reihe erst in Real- und Imaginaerteil aufteilen, und diese getrennt untersuchen. (Damit die ganze Reihe konvergiert muessen ja sowohl Real- als auch Imaginaerteil getrennt konvergieren.) Und da wirst du dann teilweise alternierende Reihen herausbekommen.
> zu 3): Keine Ahnung wie ich das rechnen soll...
> Irgendjemand ne Idee??
Angenommen, diese Reihe konvergiert. Dann ist sie eine Majorante von [mm] $\sum_{n=1}^\infty [/mm] (1 - [mm] \frac{1}{n^2})$ [/mm] (warum?), womit diese ebenfalls konvergiert. So. Und daraus bekommst du jetzt einen Widerspruch (was passendes hinzuaddieren).
LG Felix
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> Angenommen, diese Reihe konvergiert. Dann ist sie eine
> Majorante von [mm]\sum_{n=1}^\infty (1 - \frac{1}{n^2})[/mm]
> (warum?), womit diese ebenfalls konvergiert. So. Und daraus
> bekommst du jetzt einen Widerspruch (was passendes
> hinzuaddieren).
>
> LG Felix
Ok, das mit der Majorante hab ich verstanden, aber was muss ich da dazuaddieren? Steh glaub ich grad auf dem Schlauch :-(
lg
SirBigMac
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mi 04.01.2006 | | Autor: | felixf |
> > Angenommen, diese Reihe konvergiert. Dann ist sie eine
> > Majorante von [mm]\sum_{n=1}^\infty (1 - \frac{1}{n^2})[/mm]
> > (warum?), womit diese ebenfalls konvergiert. So. Und daraus
> > bekommst du jetzt einen Widerspruch (was passendes
> > hinzuaddieren).
> >
> > LG Felix
>
> Ok, das mit der Majorante hab ich verstanden, aber was muss
> ich da dazuaddieren? Steh glaub ich grad auf dem Schlauch
> :-(
Nun, du moechtest die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty [/mm] 1$ herausbekommen, die garantiert nicht konvergiert; also musst du [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ [/mm] hinzuaddieren. Du musst dir nur noch ueberlegen warum diese Reihe nun konvergiert. (Falls ihr das nicht schon in der VL hattet.)
LG Felix
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> Nun, du moechtest die Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty 1[/mm]
> herausbekommen, die garantiert nicht konvergiert;
Warum konvergiert diese Reihe nicht?
[mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] 1 = 1 oder?
lg
SirBigMac
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Hallo SirBigMac!
Veranschauliche Dir mal, was [mm] $\summe_{i=1}^{\red{\infty}}1$ [/mm] heißt.
Da wird die $1_$ doch [mm] $\infty$-oft [/mm] addiert:
[mm] $\summe_{i=1}^{\red{\infty}}1 [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\left(1+1+1+...+1+...\right)}_{\infty \ Summanden} [/mm] \ = \ [mm] \infty$
[/mm]
Anderer Weg über Grenzwertbetrachtung:
[mm] $\summe_{i=1}^{\red{\infty}}1 [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{\red{n}}1 [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\underbrace{\left(1+1+1+...+1\right)}_{n \ Summanden} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(n*1) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n [/mm] \ = \ [mm] \infty$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Quedrum |
| Aufgabe | Konvergenz der Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n+i^n}{(3i)^n-2^n} [/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^n}{\wurzel{n}} [/mm] |
> > Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
> > 1) [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(-1)^{n} + i^{n}}{(3i)^{n}-2^{n}}[/mm]
> > 2) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^n}{\wurzel{n}} [/mm]
>
> Bei 1) und 2) solltest du die Reihe erst in Real- und
> Imaginaerteil aufteilen, und diese getrennt untersuchen.
> (Damit die ganze Reihe konvergiert muessen ja sowohl Real-
> als auch Imaginaerteil getrennt konvergieren.) Und da wirst
> du dann teilweise alternierende Reihen herausbekommen.
>
Wie bekomm ich die denn aufgeteilt? Ich komm' da nicht weiter:
1)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-3i)^n+(-2i)^n+(-2)^n+(-3)^n}{(-9)^n-(4^n)} [/mm]
stimmt das überhaupt?
Genauso bei 2, wie bekomm ich das [mm]i[/mm] raus, oder wie funktioniert das?
>
> LG Felix
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Konvergenz der Reihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n+i^n}{(3i)^n-2^n}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^n}{\wurzel{n}}[/mm]
> > >
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
> > > 1) [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(-1)^{n} + i^{n}}{(3i)^{n}-2^{n}}[/mm]
>
> > > 2) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^n}{\wurzel{n}}[/mm]
> >
> > Bei 1) und 2) solltest du die Reihe erst in Real- und
> > Imaginaerteil aufteilen, und diese getrennt untersuchen.
> > (Damit die ganze Reihe konvergiert muessen ja sowohl Real-
> > als auch Imaginaerteil getrennt konvergieren.) Und da wirst
> > du dann teilweise alternierende Reihen herausbekommen.
> >
>
> Wie bekomm ich die denn aufgeteilt? Ich komm' da nicht
> weiter:
> 1)
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-3i)^n+(-2i)^n+(-2)^n+(-3)^n}{(-9)^n-(4^n)}[/mm]
>
> stimmt das überhaupt?
Ich denke nicht.
> Genauso bei 2, wie bekomm ich das [mm]i[/mm] raus, oder wie
> funktioniert das?
Das machst du am besten so, dass du eine Fallunterscheidung zwischen geradem $n$ und ungeradem $n$ machst. Bei 1) also etwa:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n+i^n}{(3i)^n-2^n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1 \atop n \text{ gerade}}^{\infty} \bruch{(-1)^n+i^n}{(3i)^n-2^n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1 \atop n \text{ ungerade}}^{\infty} \bruch{(-1)^n+i^n}{(3i)^n-2^n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{2n}+i^{2n}}{(3i)^{2n}-2^{2n}} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{2n-1}+i^{2n-1}}{(3i)^{2n-1}-2^{2n-1}}$. [/mm] Und wenn du jetzt ausnutzt, dass [mm] $i^{2n} [/mm] = [mm] (i^2)^n [/mm] = [mm] (-1)^n$ [/mm] ist, dann wirst du also das $i$ los bzw. kannst es (in einfacher Potenz) ausklammern.
HTH & LG, Felix
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