Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1. [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{n+\bruch{1}{n}}}{(n+\bruch{1}{n})^{n}}
[/mm]
2. [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n-1}}{n} [/mm] |
ich soll mal wieder die konvergenz bestimmen.
beim 1. hab ichs mit dem quotientenkriterium versucht, bin aber kläglich gescheitert und beim 2. habe ich mit [mm] \bruch{\wurzel{n+1}+\wurzel{n-1}} [/mm] erweitert, konnt aber das erbgebnis [mm] \bruch{2}{n(\wurzel{n+1}+\wurzel{n-1})} [/mm] nicht interpretieren.
wie gehe ich am besten vor?
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Hallo.
Für die erste Reihe mußt Du geschickt abschätzen und zeigen, daß in der Reihe gar keine Nullfolge steht (womit sie dann auch nicht konvergiert). Versuch mal, die Ungleichung
[mm] \bruch{n^{n+\bruch{1}{n}}}{(n+\bruch{1}{n})^{n}} \ge e^{-1}
[/mm]
zu zeigen. Beachte dabei, daß
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} \le [/mm] e
gilt für alle n und [mm] n^{1/n} [/mm] gegen 1 konvergiert.
Das Erweitern bei der zweiten Reihe war doch ok, da steht doch jetzt so was wie [mm] n^{-3/2}, [/mm] und die Reihe darüber konvergiert ja. Also formalisier das "so was wie" durch - wieder einmal - geschicktes Abschätzen und verwende das Majorantenkriterium.
Gruß
To
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na mit abschätzungen hab ich's ja.
ich mach's nie richtig.
ich hätt jetzt irgendwie gesagt dass
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2}{n} [/mm] < [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2}{n(\wurzel{n+1}+\wurzel{n-1}} [/mm] ist und da die 1. Reihe konvergiert es auch die 2. tut, aber wie ich mich kenne war das völliger schwachsinn.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 So 18.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo celeste!
Dasi leider leider völlig falsch. Du schätzt hier ja gegen die divergente(!) harmonische Reihe [mm] $\summe\bruch{1}{n}$ [/mm] ab.
Aber wenn Du bei [mm] $\bruch{2}{n*\left(\wurzel{n+1}-\wurzel{n-1}\right)}$ [/mm] aus den beiden Wurzeln [mm] $\wurzel{n}$ [/mm] ausklammerst und zusammenfasst zu:
[mm] $n*\wurzel{n} [/mm] \ = \ [mm] n^1*n^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] n^{\bruch{3}{2}}$ [/mm] ,
kannst Du dann abschätzen gegen die konvergente Reihe [mm] $\summe\bruch{1}{n^s}$ [/mm] für $s \ > \ 1$ .
Gruß
Loddar
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gut, dann muss ich jetzt noch ne gaaanz peinliche frage stellen: ich hätte ausgeklammert, aber ich wusst einfach nicht wie ich eben aus z.b. [mm] \wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \wurzel{n-1} [/mm] das n rauskriege. so dumm das klingt, es ist mir einfach nicht klar
(nur so als kleine zwischenfrage).
danke erst mal, die Abschätzung leuchtet dann sogar mir ein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 18.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo celeste!
[mm] $\wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \wurzel{n-1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)} [/mm] + [mm] \wurzel{n*\left(1-\bruch{1}{n}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n}*\wurzel{1+\bruch{1}{n}} [/mm] + [mm] \wurzel{n}*\wurzel{1-\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ ...$
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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ja, denken können ist schon eine gabe ... die ich leider nicht besitze  .
danke, jetzt ist auch mir klar wie ich ein n aus einer wurzel ausklammere (erzähle es bitte keinem weiter).
okay, aber ich muss dich dann leider noch mit der 1. quälen.
ich hätte aus [mm] \bruch{n^{n+\bruch{1}{n}}}{(n+\bruch{1}{n})^n} [/mm] = [mm] \bruch{n^n*n^\bruch{1}{n}}{n^n(1+\bruch{1}{n^{2}})^n} [/mm] gemacht und ich weiß dass [mm] n^\bruch{1}{n}^gegen [/mm] 1 konvergiert und damit kommt die im 1. Post genannte ungleichung raus - ich hoffe das war die anschätzung und ich muss nicht noch was machen?
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> ja, denken können ist schon eine gabe ... die ich leider
> nicht besitze .
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> danke, jetzt ist auch mir klar wie ich ein n aus einer
> wurzel ausklammere (erzähle es bitte keinem weiter).
>
>
> okay, aber ich muss dich dann leider noch mit der 1.
> quälen.
>
> ich hätte aus
> [mm]\bruch{n^{n+\bruch{1}{n}}}{(n+\bruch{1}{n})^n}[/mm] =
> [mm]\bruch{n^n*n^\bruch{1}{n}}{n^n(1+\bruch{1}{n^{2}})^n}[/mm]
> gemacht und ich weiß dass [mm]n^\bruch{1}{n}^gegen[/mm] 1
> konvergiert und damit kommt die im 1. Post genannte
> ungleichung raus - ich hoffe das war die anschätzung und
> ich muss nicht noch was machen?
>
Hallo celeste,
vielleicht kann man die Reihe ja auch einfacher gegen eine divergente Minorante abschätzen. Vielleicht so:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{n+\bruch{1}{n}}}{(n+\bruch{1}{n})^{n}}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^n\cdot{}n^{\bruch{1}{n}}}{(n+\bruch{1}{n})^{n}}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^n\cdot{}n^{\bruch{1}{n}}}{\vektor{n\\ 0}n^n+\vektor{n \\ 1}n^{n-1}\left(\bruch{1}{n}\right)^1+\cdots +\vektor{n \\ n-1}n^1\left(\bruch{1}{n}\right)^{n-1}+\vektor{n \\ n}\left(\bruch{1}{n}\right)^n}\ge\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^n\cdot{}n^{\bruch{1}{n}}}{n^n}=\summe_{n=1}^{\infty}n^{\bruch{1}{n}}=\summe_{n=1}^{\infty}\wurzel[n]{n} [/mm]
und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\wurzel[n]{n} [/mm] ist divergent, da [mm] \wurzel[n]{n}\longrightarrow [/mm] 1 für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal.
Ich hab mir das mit der ersten Reihe so gedacht:
Es ist
[mm] \bruch{n * n^{1/n}}{(n+\bruch{1}{n})^{n}}
[/mm]
= [mm] (\bruch{n}{n+\bruch{1}{n}})^{n} [/mm] * [mm] n^{1/n}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n^2})^{n}} [/mm] * [mm] n^{1/n}
[/mm]
[mm] \ge \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n}} [/mm] * [mm] n^{1/n}
[/mm]
[mm] \ge \bruch{1}{e} [/mm] * [mm] n^{1/n}
[/mm]
[mm] \ge \bruch{1}{e}.
[/mm]
Man muß dazu noch nicht mal wissen, daß [mm] n^{1/n} [/mm] gegen 1 geht, wie ich oben geschrieben hab, es reicht, daß [mm] n^{1/n} [/mm] immer größer gleich 1 ist.
Gruß
To
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ich hab noch eine frage zu einer anderen konvergenzaufgabe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}sink\lambda
[/mm]
der sin wird bei vielfachen von [mm] \pi [/mm] 0 und die reihe würde damit konvergieren. kann ich da nicht einfach sagen dass die Reihe für alle [mm] k\lambda [/mm] = [mm] x\pi [/mm] mit x [mm] \in \IZ [/mm] konvergiert?
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> ich hab noch eine frage zu einer anderen
> konvergenzaufgabe:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}sink\lambda[/mm]
>
> der sin wird bei vielfachen von [mm]\pi[/mm] 0 und die reihe würde
> damit konvergieren.
Hallo,
das ist richtig, wenn auch nicht richtig aufregend: für [mm] \lambda=z*\pi [/mm] konvergiert die Reihe, weil ja für alle k [mm] \in \IN [/mm] dann [mm] sink\lambda=0 [/mm] ist.
Die Frage, ob es auch [mm] \lambda [/mm] gibt, welche nicht Vielfache von [mm] \pi [/mm] sind und für die die Reihe konvergiert, bleibt damit aber ungeklärt.
Gruß v. Angela
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