Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 So 25.03.2007 | | Autor: | goetz |
| Aufgabe | Man überprüfe, welche der folgenden Reihen konvergent sind.
a) [mm] \summe_{n}^{}\bruch{n^2}{2^n-1,5}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n}^{}\bruch{1}{\wurzel{n+1,5}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n}^{}\bruch{3^n+n^3}{n!} [/mm] |
Werte Gemeinschaft,
unser Prof. hat uns leider mit relativ wenig Material bezüglich der Konvergenz von Reihen alleine gelassen und meine Frage ist nun, ob meine Überlegungen dazu richtig sind:
a) Diese Reihe konvergiert, da der Nenner der Folge [mm] \bruch{n^2}{2^n-1,5} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] geht. Allerdings habe ich keine Idee, wie man das Mathematisch beweisen könnte. Ich weiß nur, dass [mm] 2^n [/mm] schneller wächst, als [mm] n^2.
[/mm]
b) Diese Reihe sollte auch konvergieren, da der Nenner konstant 1 bleibt und der Zähler immer weiter wächst. Allerdings wird der Nenner, genau wie oben, die 0 ja nie wirklich erreichen.
c) n! wächst beträchtlich schneller, als der Zähler. Die Reihe konvergiert.
Dies klingt nun Alles sehr unüberlegt und infantil, aber ich habe wirklich keine Ahnung, wie man an solche Aufgaben drangehen könnte. Ich möchte hier schonmal Allen danken, die sich dieser Aufgaben annehmen. Schönen Sonntag zusammen und denkt daran, die Uhren umzustellen 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo goetz!
Die erste Reihe kannst Du zunächst abschätzen:
[mm] $\summe_{n}^{}\bruch{n^2}{2^n-1,5} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \summe_{n}^{}\bruch{n^2}{2^n}$
[/mm]
Und nun wie bei Aufgabe c.) entweder mit Wurzel- oder Quotientenkriterium vorgehen (Links siehe oben).
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo goetz!
Und auch bei dieser Reihe [mm]\summe_{n}^{}\bruch{1}{\wurzel{n+1,5}}[/mm] schätzen wir mal ab, nur diesmal in die andere Richtung:
[mm] $\summe_{n}^{}\bruch{1}{\wurzel{n+1,5}} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \summe_{n}^{}\bruch{1}{\wurzel{2*n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\summe_{n}^{}\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\summe_{n}^{}\bruch{1}{n}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 So 25.03.2007 | | Autor: | goetz |
Na, vielen Dank erstmal... ich versuche gerade noch das Abschätzen zu begreifen, aber das bekomme ich anhand der Lösungsansätze gut hin. Schönen, sonnigen Sonntag noch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo goetz!
Für das Abschätzen musst Du bereits einen Verdacht bezüglich Konvergenz oder Divergenz haben, damit Du auch entsprechend gegenüber einer konvergenten oder divergenten Reihe abschätzt.
Gruß
Loddar
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Wurzelkriterium