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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz von Reihen
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Konvergenz von Reihen: Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:34 Fr 01.06.2007
Autor: Pilz007

Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Leider habe ich keine Lösungsansätze für diese Aufgabe, habe zwar herumgeknobbelt, aber ...

Man hat eine konvergente Reihe [mm] u_n [/mm] mit positiven Gliedern und mann muss zeigen, dass eine monoton wachsende Folge [mm] c_n [/mm] positiver Zahlen mit  $ [mm] \lim_{n \to \infty}c_n= \infty [/mm] $ existiert, sodass [mm] c_n*u_n [/mm] konvergie

Vielen Dank!!

        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Fr 01.06.2007
Autor: angela.h.b.

Hallo,

[willkommenmr].

Kannst Du den genauen Aufgabentext posten?

So kann man nicht richtig verstehen, worum es geht.

> Man hat eine konvergente Reihe [mm]u_n[/mm] mit positiven Gliedern

Meinst Du [mm] \summe_{n=1}^{\infty}u_n [/mm]   mit [mm] u_n>0? [/mm] Oder etwas anderes?

> und mann muss zeigen, dass eine monoton wachsende Folge [mm]c_n[/mm]
> positiver Zahlen mit  [mm]\lim_{n \to \infty}c_n= \infty[/mm]
> existiert,

> sodass [mm]c_n*u_n[/mm] konvergie

Was soll konvergieren?
Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_n*u_n? [/mm]
Oder die Folge [mm] (b_n) [/mm] mit [mm] b_n:=c_n*u_n? [/mm]

Für letzteres würde ich über [mm] c_n:=\bruch{1}{u_n} [/mm] nachdenken.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Fr 01.06.2007
Autor: Pilz007

also der genaue Wort laut ist: [mm] u_n [/mm] sie eine konvergente Reihe mit positiven Gliedern ($ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}u_n [/mm] $ und [mm] $u_n>0$ [/mm] )
. Man zeige, dass eine streng monoton wachsende Folge [mm] c_n [/mm] positiver Zahlen mit $ [mm] \lim_{n \to \infty}c_n= \infty [/mm] $ existiert, sodass die Reihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} c_n\cdot{}u_n [/mm] $ konvergiert.

Die Angabe hat mich auch schon verwirrt!


Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Do 07.06.2007
Autor: Somebody

Wir dürfen die [mm]c_n[/mm] durchaus in der Form [mm]c_n=2^k[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] gehen lassen, sofern wir dabei den Exponenten [mm]k[/mm] genügend langsam grösser werden lassen. Zur Wahl von [mm]k[/mm] für gegebenen Folgenindex [mm]n[/mm] schlage ich etwa folgende Idee vor:

Da [mm]\sum_{n=1}^\infty u_n[/mm] konvergent ist, existiert eine streng monton wachsende Folge von Indices [mm](n_k)_{k\in \IN}[/mm] mit der Eigenschaft, dass gilt
[mm]\sum_{n=n_k}^\infty u_n < \frac{1}{2^{k^2}}s[/mm] wobei [mm]s=\sum_{n=1}^\infty u_n[/mm].

Aufgrund dieser Wahl der [mm]n_k[/mm] können wir nun die [mm]c_n[/mm] wie folgt definieren:
[mm]c_n := \begin{cases}2^k,& \text{falls } n_k \leq n < n_{k+1}\\ 1, &\text{sonst}\end{cases}[/mm]

Mit dieser Wahl der [mm]c_n[/mm] ergibt sich die Konvergenz der Summme [mm]\sum_{n=1}^\infty c_n u_n[/mm] aufgrund folgender Abschätzung:
[mm]\sum_{n=1}^\infty c_n u_n < 1\cdot s+\frac{1}{2}\cdot s+\cdots + \frac{1}{2^k}s+\cdots = 2s < \infty[/mm]

wie verlangt, denn es gilt ja:
[mm]\sum_{n=n_k}^{n_{k+1}-1} c_n u_n \leq \sum_{n=n_k}^\infty 2^k \cdot u_n < 2^k \cdot \frac{1}{2^{k^2}}s = \frac{1}{2^k}s[/mm].

Hmm, also ich denke die Grundidee sollte richtig sein. Vielleicht habe ich in der Hast meiner Mittagspause eine Kleinigkeit bei der Definition der [mm]c_n[/mm] nicht ganz sauber formuliert: Du kannst es ja besser machen ;-)


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