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| Aufgabe | | Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz, indem sie einen allgemeinen Ausdruck für die Partialsumme bilden: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{\wurzel{n+1}}-\bruch{1}{\wurzel{n}}) [/mm] |
Ich grüße alle Mitglieder im matheraum, ich möchte in den nächsten Tagen das Thema Konvergenz von Reihen bearbeiten.
Konvergenz von Reihen bedeutet, die Folge der Partialsummen konvergiert.
ich habe die einzelnen Glieder gebildet:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}-1+\bruch{1}{\wurzel{3}}-\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{4}}-\bruch{1}{\wurzel{3}}+\bruch{1}{\wurzel{5}}-\bruch{1}{\wurzel{4}} [/mm] ....
ich erkenne, es heben sich bis auf -1 alle Brüche paarweise auf, die Reihe kovergiert gegen -1 und somit ist auch der Wert der gegebenen Summe -1.
Sind meine Ideen korrekt? Kann ich solche Aufgaben auch allgemein lösen, ohne die einzelnen Glieder zu berechnen?
Wie immer bedanke ich mich für die Zeit, die Ihr für mich erübrigt, Zwinkerlippe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zwinkerlippe!
Schreibe dir mal die einzelnen Partialsummen für $n \ = \ 1, 2, 3$ auf. Da solltest Du feststellen, dass sich nicht alle Wurzelbrüche aufheben. Es verbleibt noch ein Bruch mehr:
[mm]s_n \ := \ \summe_{k=1}^{n} \left(\bruch{1}{\wurzel{k+1}}-\bruch{1}{\wurzel{k}}\right) \ = \ -1+\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
Was den Grenzwert [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}s_n$ [/mm] bzw. den Reihenwert angeht, hast Du Recht.
Gruß
Loddar
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Danke Loddar,
jetzt sehe ich auf meinem Zettel, bei meinen 4 Gliedern bzw. 4 gebildeten Partialsummen steht ja noch [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] somit hebt sich der Bruch [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] nicht auf, der hat keinen Einfluß auf meinen Wert -1, weil der Wert des Bruches gegen Null geht für n gegen unendlich.
Gibt es aber eine Variante, diese Aufgabe ohne Aufstellen der Folgeglieder und Bildung der Partialsummen zu lösen?
Danke Zwinkerlippe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zwinkerlippe!
Ich sehe hier keine Variante der Grenzwertbestimmung, da es sich ja um eine klassische "Teleskopsumme" handelt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Fr 06.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst die Summe als 2 Summen hinschreiben, dann bei der mit n+1 n+1=m und die Summation bei m =2anfangen.
Dan sieht man direkt, dass man 2 Summen voneinander abzieht, die sich nur durch den 1. Summanden unterscheiden (bei oberer Grenze [mm] \infty)
[/mm]
Gruss leduart
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