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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren?
(a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{n^3-2n}{n^5+3n^3+1} [/mm]
[mm] (b)\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left( \bruch{2n+1}{3n+1}\right)^n [/mm]
(c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{1}{n!} [/mm]
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Hallo,
ich habe eine relativ allgemeine Frage. Vielleicht kann mir ja jemand helfen!?
Die oben beschriebenen Reihen sollen auf Konvergenz untersucht werden. Ich bin mir aber nicht sicher, welches Konvergenzkriterium (Cauchy-, Leibnitz-,Majoranten-, Wurzel-, Quotientenkriterium) jeweils am Besten anzuwenden ist? Könnte man rein theoretisch alle überall anwenden?Oder kann man von vornerein für bestimmte Reihen bestimmte Kriterien aus irgendeinem Grund ausschließen?
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar, da mir z.Z. irgendwie der Überblick verloren gegangen ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Di 23.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren?
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> (a)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{n^3-2n}{n^5+3n^3+1}[/mm]
>
> [mm](b)\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left( \bruch{2n+1}{3n+1}\right)^n[/mm]
>
> (c) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{1}{n!}[/mm]
>
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> Hallo,
>
> ich habe eine relativ allgemeine Frage. Vielleicht kann mir
> ja jemand helfen!?
> Die oben beschriebenen Reihen sollen auf Konvergenz
> untersucht werden. Ich bin mir aber nicht sicher, welches
> Konvergenzkriterium (Cauchy-, Leibnitz-,Majoranten-,
> Wurzel-, Quotientenkriterium) jeweils am Besten anzuwenden
> ist? Könnte man rein theoretisch alle überall anwenden?
Nein, aber Du kannst es versuchen. Wenn die Reihe konvergiert, wird ein Kriterium zum Erfolg führen. =)
Generell gibt es aber Fälle, wo sich eins anbietet.
Deine Beispiele sind alles alternierende Reihen, da wirst Du mit dem Leibnitzkriterium am leichtesten durchkommen, Quotientenkriterium bietet sich bei Brüchen an, wenn sich viel kürzt, Wurzel bei Potenzen, Majoranten bei Augenmaß.
(leicht verändertes Bsp. von oben: [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3-2n}{n^5+3n^3+1}$ [/mm] konvergiert, weil Du auf jeden Fall eine Majorante [mm] $\frac{1}{n^\alpha},\ \alpha>1$ [/mm] für die einzelnen Glieder finden kannst)
Alle Deine Reihen oben sollten auch ohne die [mm] $(-1)^{n-1}$ [/mm] konvergieren; sicher, daß die hingehört?)
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Hallo,
erstmal vielen Dank für die Antwort.
Ja, die [mm](-1)^{n-1}[/mm] gehört dahin. Ist die Aufgabe denn dann irgendwie unlogisch oder viel schwieriger zu rechnen, dadurch dass die[mm](-1)^{n-1}[/mm] da steht.
Werde jetzt erstmal versuchen, die Reihen mittels des Leibnitzkriteriums auf Konvergenz zu überprüfen.
Viele Grüße!
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Hallo schlumpfinchen!
> Ja, die [mm](-1)^{n-1}[/mm] gehört dahin. Ist die Aufgabe denn dann
> irgendwie unlogisch oder viel schwieriger zu rechnen,
> dadurch dass die[mm](-1)^{n-1}[/mm] da steht.
Nein, das ist überhaupt nicht schwieriger dadurch. Diese alternierenden Reihen "schreihen" halt dann irgendwie nach Herrn Leibniz.
Du kannst aber auch jeweils diese [mm] $(-1)^{n-1}$ [/mm] weglassen und damit jeweils die absolute Konvergenz der Reihen nachweisen. Daraus folgt dann automatisch auch die Konvergenz der Reihen in alternierender Form (sprich: in der o.g. Darstellung).
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
so ich habe jetzt versucht die Konvergenz dieser Reihen mittels des Leibniz Kriteriums zu bestimmen, aber ich komme nicht wirklich weiter?! Die Erklärungen in den Büchern, die ich habe, sind alle ähnlich und bringen mich nicht weiter. Und da ich im ersten Semester an der Fernuni in Hagen studiere, weiß ich auch nicht so richtig wen ich sonst fragen soll.
Mir ist ja theoretisch klar, wie ich vorzugehen habe. Aber wie das konkret aussehen soll, also was ich konkret zu rechnen habe, verstehe ich nicht?!
Also, man müßte bei der alternierenden Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n} [/mm] beweisen, dass die Folge [mm] a_{n} [/mm] zum einen monoton fallend ist und zum anderen eine Nullfolge ist, also gegen Null konvergiert.
Vielleicht könnte mir ja jemand einen Ansatz geben, welche Formel ich jetzt genau nehmen muss, um das zu beweisen?! Das würde mir bestimmt schon helfen.
In den Erklärungen zum Leibniz Kriterium ist auch oft von Teilsummen [mm] s_{n} [/mm] die Rede. Den Begriff der Teilsumme verstehe ich ja schon, allerdings erscheinen mir die Formulierungen, die damit gemacht werden oftmals wiedersprüchlich.
Z.B. wird folgendes gesagt:
Da [mm] (a_{n}) [/mm] monoton fallend ist, gilt: [mm] a_{n} [/mm] - [mm] a_{n + 1} \ge [/mm] 0 für alle [mm] n\in\IN [/mm] (das verstehe ich noch),
insbesondere also: [mm] s_{2} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] - [mm] a_{2} \ge [/mm] 0
Das verstehe ich nun nicht mehr. Denn wenn man z.B. die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{1}{n}[/mm] nimmt und die entsprechenden Zahlen einsetzt stimmt das bei mir nicht.
Vielleicht kann mir ja jemand weiter helfen. Vielen Dank im Voraus :0)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mi 24.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Z.B. wird folgendes gesagt:
>
> Da [mm](a_{n})[/mm] monoton fallend ist, gilt: [mm]a_{n}[/mm] - [mm]a_{n + 1} \ge[/mm]
> 0 für alle [mm]n\in\IN[/mm] (das verstehe ich noch),
> insbesondere also: [mm]s_{2}[/mm] = [mm]a_{1}[/mm] - [mm]a_{2} \ge[/mm] 0
Ja, das ergibt sich, indem du den Spezialfall n=1 betrachtest.
> Das verstehe ich nun nicht mehr. Denn wenn man z.B. die
> Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{1}{n}[/mm] nimmt und
> die entsprechenden Zahlen einsetzt stimmt das bei mir
> nicht.
Das verstehe ich jetzt nicht: Du hast doch: [mm]a_n = \bruch{1}{n}[/mm]. Also ist [mm]a_1=1[/mm] und [mm]a_2=\bruch{1}{2}[/mm].
Allgemein:
[mm]a_n - a_{n+1} = \bruch{1}{n} - \bruch{1}{n+1} = \bruch{1}{n(n+1)} > 0[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
vielen dank für die antwort. Sehe ich das denn richtig, dass man generell bei einer Reihe sagen kann, dass sie auf jeden fall monoton fallend ist, wenn folgendes gilt : [mm]a_n - a_{n+1} > 0[/mm]??
Reicht das als Beweis aus?
>
> Das verstehe ich jetzt nicht: Du hast doch: [mm]a_n = \bruch{1}{n}[/mm].
> Also ist [mm]a_1=1[/mm] und [mm]a_2=\bruch{1}{2}[/mm].
>
Bei dem Ausdruck [mm] s_{2} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] - [mm] a_{2} \ge [/mm] 0 verstehe ich schon, dass [mm] a_{1} [/mm] - [mm] a_{2} \ge [/mm] 0, aber nich warum
[mm] s_{2} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] - [mm] a_{2}???
[/mm]
Viele Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mi 24.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
du musst ein bischen klarer unterscheiden, was du meinst.
Du hast einmal die Reihe [mm]\summe_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} a_n[/mm], zum anderen die Folge [mm]a_n[/mm].
Das Leibniz-Kriterium sagt, dass die Reihe konvergiert, wenn die Folge monoton fällt und eine Nullfolge ist. Du redest nicht davon, dass die Reihe monotn fällt.
> vielen dank für die antwort. Sehe ich das denn richtig,
> dass man generell bei einer Reihe sagen kann, dass sie auf
> jeden fall monoton fallend ist, wenn folgendes gilt : [mm]a_n - a_{n+1} > 0[/mm]??
Das ist die Definition dafür, dass die Folge monoton fallend ist. Du musst zusätzlich nachweisen, dass es eine Nullfolge ist.
> >
> > Das verstehe ich jetzt nicht: Du hast doch: [mm]a_n = \bruch{1}{n}[/mm].
> > Also ist [mm]a_1=1[/mm] und [mm]a_2=\bruch{1}{2}[/mm].
> >
>
> Bei dem Ausdruck [mm]s_{2}[/mm] = [mm]a_{1}[/mm] - [mm]a_{2} \ge[/mm] 0 verstehe ich
> schon, dass [mm]a_{1}[/mm] - [mm]a_{2} \ge[/mm] 0, aber nich warum
> [mm]s_{2}[/mm] = [mm]a_{1}[/mm] - [mm]a_{2}???[/mm]
Schau dir die ersten paar Gleider der Reihe an:
[mm]\summe_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 \dots[/mm]
Oder formal:
[mm]s_k = \summe_{n=1}^k (-1)^{n-1} a_n \implies s_2 = \summe_{n=1}^2 (-1)^{n-1} a_n = a_1 - a _2 [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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