Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Audience |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob folgende Reihen konvergieren:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{n}}{n!}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} e^{\wurzel{n}-n}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{n}{n + 1})^{n^{2}}
[/mm]
d) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2^{n} - n^{3}}{3^{n} + n^{2}}
[/mm]
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auch auf absolute Konvergenz:
e) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} (\bruch{n+3}{3n + 1})^{n}
[/mm]
f) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \bruch{2n!}{(2n)!}
[/mm]
g) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n(n + 3)}}
[/mm]
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Hallo,
ich habe die Aufgaben so halbwegs gelöst bekommen - ich bin mir aber nicht sicher ob das so korrekt ist, was ich mir da zusammengereimt habe.
Bitte schaut, ob das alles so stimmt und korrigiert mich gegebenfalls.
a) Keine Aussage mit dem Quotientenkriterium. Man sieht jedoch dass [mm] n^{n} [/mm] >= n! für n >= 0, deshalb divergiert die Folge [mm] a_{n} [/mm] und somit auch die Reihe.
b) Quotientenkriterium: [mm] \bruch{e^{\wurzel{n + 1}}}{e^{\wurzel{n} + 1}} \to [/mm] 0 -> Reihe konvergiert absolut
c) [mm] (\bruch{n}{n + 1}) [/mm] konvergiert gegen 1. Also divergiert die Reihe.
d) Majorantenkriterium: [mm] |a_{n}| [/mm] <= [mm] \bruch{2^{n}}{3^{n}} [/mm] (geom. Reihe). Also konvergiert die Reihe absolut.
e) Leibniz-Kriterium: Reihe konvergiert. Wurzelkriterium: Reihe konvergiert absolut?
f) Quotientenkriterium: [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} [/mm] = [mm] \bruch{n}{(2n + 1)(2n + 2)} [/mm] Darf man das?
g) Leibniz-Kriterium: Reihe konvergiert (absolut)?
Danke für eure Beiträge.
Gruß,
Thomas
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Hallo Thomas,
> Untersuchen Sie, ob folgende Reihen konvergieren:
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{n}}{n!}[/mm]
> b)
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} e^{\wurzel{n}-n}[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{n}{n + 1})^{n^{2}}[/mm]
> d)
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2^{n} - n^{3}}{3^{n} + n^{2}}[/mm]
>
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auch auf absolute
> Konvergenz:
> e) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} (\bruch{n+3}{3n + 1})^{n}[/mm]
>
> f) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \bruch{2n!}{(2n)!}[/mm]
> g)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n(n + 3)}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgaben so halbwegs gelöst bekommen - ich bin
> mir aber nicht sicher ob das so korrekt ist, was ich mir da
> zusammengereimt habe.
> Bitte schaut, ob das alles so stimmt und korrigiert mich
> gegebenfalls.
>
> a) Keine Aussage mit dem Quotientenkriterium. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Doch: Es kommt für [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=e>1$ [/mm] heraus.
Damit ist die Reighe divergent
> Man sieht
> jedoch dass [mm]n^{n}[/mm] >= n! für n >= 0, deshalb divergiert die
> Folge [mm]a_{n}[/mm] und somit auch die Reihe.
das ist etwas "schwammig" 
> b) Quotientenkriterium: [mm]\bruch{e^{\wurzel{n + 1}}}{e^{\wurzel{n} + 1}} \to[/mm]
> 0
Das ist [mm] $=\frac{e^{\sqrt{n-1}-\sqrt{n}}}{e^1}\longrightarrow \frac{e^0}{e^1}=\frac{1}{e}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Das kannst du dir anhand der Folge [mm] $(\sqrt{n-1}-\sqrt{n})_n$ [/mm] mal überlegen...
> -> Reihe konvergiert absolut ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> c) [mm](\bruch{n}{n + 1})[/mm] konvergiert gegen 1.
Da steht aber [mm] $\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$ [/mm] und das strebt gegen 0
> Also ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") divergiert die Reihe.
das hast du so nicht gezeigt, da musst du dir was anderes überlegen
> d) Majorantenkriterium: [mm]|a_{n}|[/mm] <= [mm]\bruch{2^{n}}{3^{n}}[/mm]
> (geom. Reihe). Also konvergiert die Reihe absolut.
> e) Leibniz-Kriterium: Reihe konvergiert.
Beweis?
Wurzelkriterium:
> Reihe konvergiert absolut?
Setzte doch mal das WK an:
[mm] $\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\left(\frac{n+3}{3n+1}\right)^n}=.... \longrightarrow [/mm] .... $ für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
> f) Quotientenkriterium: [mm]\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{(2n + 1)(2n + 2)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Darf man das?
Ja, das darf man, ich komme aber auf $\frac{n+1}{(2n+1)(2n+2)}$, was aber an der Konvergenz und dem GW der Folge, nämlich 0 nix ändert, also ist die Reihe absolut konvergent und damit automatisch auch konvergent
> g) Leibniz-Kriterium: Reihe konvergiert (absolut)?
Wie ist denn deine Meinung dazu?
Konvergiert $\sum\frac{1}{\sqrt{n(n+2)}$?
Die Reihe ist doch von der "Größenordnung" $\sum\frac{1}{\sqrt{n^2}}=\sum\frac{1}{n}$
Und diese Reihe ist ja altbekannt.
Kannst du die Reihe $\sum\frac{1}{\sqrt{n(n+2)}$ gegen die harmonische Reihe abschätzen?...
>
> Danke für eure Beiträge.
> Gruß,
> Thomas
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Audience |
Hallo schachuzipus,
danke für deine Antwort. Also hier mal meine Alternative zur c):
Wurzelkriterium:
[mm] \wurzel[n]{(\bruch{n}{n + 1})^{n^{2}}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{(\bruch{n}{n + 1})^{n*n}} [/mm] = [mm] (\bruch{n}{n + 1})^{n} \to [/mm] 0. Also ist die Reihe absolut konvergent. Richtig?
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Hallo nochmal,
> Öh irgendwas mit e? Aber da steht noch ein -1 in der
> Klammer?
hehe, ja, irgendwas mit $e$
Die Folge [mm] $\left(1+\frac{\blue{1}}{n}\right)^n$ [/mm] kennst du, die konvergiert gegen [mm] $e=e^\blue{1}$
[/mm]
Allgemeiner konvergieren die Folgen [mm] $\left(1+\frac{\blue{x}}{n}\right)^n$ [/mm] gegen [mm] $e^{\blue{x}}$
[/mm]
Also konvergiert der erste Teil [mm] $\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^{n+1}$ [/mm] gegen [mm] $e^{-1}=\frac{1}{e}$, [/mm] der andere offensichtlich gegen 1, also insgesamt konvergiert die Folge gegen [mm] $\frac{1}{e}<1$ [/mm] Damit haben wir absol. Konvergenz
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Audience |
Danke nochmal für deine Hilfe Habs jetzt verstanden
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