Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 So 15.02.2009 | | Autor: | Hav0c |
Untersuchen sie die folgenden Folgen auf gleichmäßige Konvergenz
ii) [mm] f_{n}(x)=\bruch{x^{n}-1}{x-1} [/mm] auf [0,1)
meine frage hierzu wie hat man es sich vorzustellen wenn folgen konvergieren und wie berechne ich die konvergenz in dem fall?
wäre euch sehr dankbar bei lösungsansatzen oder ähnlichen beispielen ..
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 So 15.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen sie die folgenden Folgen auf gleichmäßige
> Konvergenz
> ii) [mm]f_{n}(x)=\bruch{x^{n}-1}{x-1}[/mm] auf [0,1)
>
> meine frage hierzu wie hat man es sich vorzustellen wenn
> folgen konvergieren und wie berechne ich die konvergenz in
> dem fall?
> wäre euch sehr dankbar bei lösungsansatzen oder ähnlichen
> beispielen ..
Hallo,
im konkreten Fall möchte ich darauf aufmerksam machen, dass
[mm]\bruch{x^{n}-1}{x-1}=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}[/mm] gilt.
Gruß Abakus
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 So 15.02.2009 | | Autor: | Hav0c |
danke für die antwort aber die bringt mich nicht wirklich vorwärts.. wie komme ich darauf und wie sähe es dann z.b. hier aus?
[mm] f_{n}(x)=x^{n}(1-x)^{n}
[/mm]
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> danke für die antwort aber die bringt mich nicht wirklich
> vorwärts.. wie komme ich darauf
Hallo,
man kommt darauf, wenn man es schon öfter gesehen hat oder wenn man eine Polynomdivision macht.
Um die eventuelle Grenzfunktion zu berechnen, benötigst Du ja für jede Stelle x des Definitionsbereiches [mm] \lim{n\to \infty}(f_n(x)),
[/mm]
und ich finde, daß abakus' Tipp hier nicht übel ist.
Was ist denn [mm] \lim{n\to \infty}{1+x+...+x^{n-1}}= \summe_{i=0}^{\infty}x^i [/mm] für [mm] x\in [/mm] [0,1)
Damit hast Du dann die Grenzfunktion, und die benötigst Du ja, um über glm Konvergenz nachzudenken.
Für glm Konvergenz mußt Du dann [mm] \lim{n\to \infty}\parallel f_n [/mm] - [mm] f\parallel_{[0,1)} [/mm] berechnen. ist dieser Grenzwert =0, so ist die Funktionenfolge glm konvergent.
> und wie sähe es dann z.b.
> hier aus?
> [mm]f_{n}(x)=x^{n}(1-x)^{n}[/mm]
Auch hier sind die entsprechenden Grenzwerte zu berechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 15.02.2009 | | Autor: | Hav0c |
> Für glm Konvergenz mußt Du dann [mm]\lim{n\to \infty}\parallel f_n[/mm]
> - [mm]f\parallel_{[0,1)}[/mm] berechnen. ist dieser Grenzwert =0, so
das verstehe ich nicht, kannst du das mal näher erklären?
was haben 2 betragsstriche zu bedeuten?
aus der summenformal sehe ich ja per quotientenkriterium schonmal heraus dass es konvergiert da x<0 oder?
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> > Für glm Konvergenz mußt Du dann [mm]\lim{n\to \infty}\parallel f_n[/mm]
> > - [mm]f\parallel_{[0,1)}[/mm] berechnen. ist dieser Grenzwert =0, so
>
> das verstehe ich nicht, kannst du das mal näher erklären?
> was haben 2 betragsstriche zu bedeuten?
Hallo,
der betragsgrößte Funktionswert, den [mm] f_n-f [/mm] im Intervall [0,1) annimmt.
>
> aus der summenformal sehe ich ja per quotientenkriterium
> schonmal heraus dass es konvergiert da x<0 oder?
x<1.
Wogegen es konvergiert, solltest Du auch angeben.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:41 So 15.02.2009 | | Autor: | Hav0c |
könntest du verraten wie ich dann den größten wert dazwischen finde?
ich stehe irgendwie imemrnoch aufm schlau mit der aufgabe
natürlich muss es x<1 heissen, das is ja das kriterium
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> könntest du verraten wie ich dann den größten wert
> dazwischen finde?
> ich stehe irgendwie imemrnoch aufm schlau mit der aufgabe
Hallo,
vielleicht schreibst Du nun erstmal die Grenzfunktion f auf, und dann die Differenz [mm] f_n(x)- [/mm] f(x).
Danach können wir weitersehen.
Gruß v. Angela
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