Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Di 11.01.2011 | | Autor: | avre |
| Aufgabe | Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz. Für welche x [mm] \in [/mm] IR stellt sie eine stetige Funktion dar?
f(x) := [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{x}{k(1+kx²)} [/mm] |
Wie geh ich hier vorran um die Konvergenz zu zeigen und wie kann ich am besten den Weierstraßschen M-Test einbauen?
Kann mir jemand dabei helfen denn ich hab keine Ahnung was zu machen ist.
Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Di 11.01.2011 | | Autor: | wauwau |
Sei x positiv (bei negativem x drehst du's vorzeichen einfach um)
f(x) := [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{x}{k(1+kx²)}[/mm]
es ist ja leicht zu zeigen, dass gilt:
[mm] \bruch{x}{k(1+kx²)} <\frac{1}{k^2x} [/mm]
und die Reihe mit diesen Summanden konv gegen [mm] \frac{\pi^2}{6x}
[/mm]
damit hast du wie gewollt die Konvergenz durch Majorisierung gezeigt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Di 11.01.2011 | | Autor: | avre |
Wie komm ich hier auf die [mm] \bruch{\pi²}{6x}?
[/mm]
Wenn ich [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k²x} [/mm] laufen lass konvergiert sie doch gegen 0 oder ist das falsch?
Und warum kann ich das Quadrat einfach von x zu k tauschen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Di 11.01.2011 | | Autor: | wauwau |
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{\pi ^2}{6}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:13 Mi 12.01.2011 | | Autor: | avre |
Und woher nehm ich dann [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n²}?
[/mm]
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Hallo avre,
> Und woher nehm ich dann [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n²}?[/mm]
Na, statt n halt k, weil das der Laufindex ist, die [mm]\frac{1}{x}[/mm] kannst du aus der Reihe ziehen, da unabh. von [mm]k[/mm]
Also [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2x}=\frac{1}{x}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{x}\cdot{}\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{6x}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:33 Mi 12.01.2011 | | Autor: | avre |
OK das versteh ich jetzt.
Nur die [mm] \bruch{\pi^2}{6x} [/mm] seh ich noch nicht so recht. Ist es einfach so das die Reihe nach [mm] \bruch{\pi^2}{6x} [/mm] konvergiert? Und warum nicht gegen 0?
Und woher weiß ich jetzt für welche x [mm] \in [/mm] IR sie eine stetige Funktion darstellt?
Gruß Avre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Fr 14.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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