Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle [mm] x\in\IR, [/mm] für welche die Reihe kovergieren, absolut konvergieren oder divergieren:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}k!x^k [/mm] |
Hallo, ich habe zunächst das Quotientenkriterium verwendet:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{k!(k+1)x^kx}{k!x^k}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|(k+1)x| [/mm] und jetzt ist ja interessant, wann der Limes kleiner oder größer 1 wird: Für alle x ohne die Null ist der Limes größer 1 also divergiert die Reihe für alle x ohne die Null. Für x=0 ist der Limes=0, also konvergiert die Reihe absolut für x=0..Stimmt das soweit?
Die Frage war ja jetzt auch nach der konvergenz, also die nichtabsolute konvergenz....wie bestimmt man denn die? Ich kenne soweit ich weiß nur diese Standard Kriterien und diese implizieren ja automatisch absolute konvergenz.
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!
Danke schonmal, liebe Grüße
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Hallo Theoretix,
> Bestimmen Sie alle [mm]x\in\IR,[/mm] für welche die Reihe
> kovergieren, absolut konvergieren oder divergieren:
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}k!x^k[/mm]
> Hallo, ich habe zunächst das Quotientenkriterium
> verwendet:
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> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{k!(k+1)x^kx}{k!x^k}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|(k+1)x|[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]=|x|\cdot{}\lim\limits_{k\to\infty}(k+1)[/mm]
> und jetzt ist ja interessant, wann der Limes kleiner oder
> größer 1 wird: Für alle x ohne die Null ist der Limes
> größer 1
Ja, sogar [mm]\infty[/mm]
> also divergiert die Reihe für alle x ohne die
> Null. Für x=0 ist der Limes=0, also konvergiert die Reihe
> absolut für x=0..Stimmt das soweit?
Jo!
> Die Frage war ja jetzt auch nach der konvergenz, also die
> nichtabsolute konvergenz....wie bestimmt man denn die? Ich
> kenne soweit ich weiß nur diese Standard Kriterien und
> diese implizieren ja automatisch absolute konvergenz.
Eine absolut konvergente Reihe ist automatisch auch konvergent, umgekehrt gilt das nicht!
Also [mm]\sum|a_k|[/mm] konvergent [mm]\Rightarrow \ \sum a_k[/mm] konvergent
Aber [mm]\sum a_k[/mm] konvergent [mm]\not\Rightarrow \ \sum |a_k|[/mm] konvergent.
Das kannst du am Bsp. der alternierenden harmonischen Reihe sehen
[mm]\sum \frac{(-1)^k}{k}[/mm] ist konvergent, aber [mm]\sum\left|\frac{(-1)^k}{k}\right|=\sum \frac{1}{k}[/mm] ist divergent
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> Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!
> Danke schonmal, liebe Grüße
Gruß
schachuzipus
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