www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz von Reihen
Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz von Reihen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:27 Mo 05.09.2005
Autor: matrimatikus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Hallo!

Könnte mir jemand vielleicht bei dem Problem mit der Konvergenz von Reihen helfen....?
Ich kenne zwar all die Konvergenzkrieterien und glaube, die auch verstanden zu haben, doch bei manchmal komme ich einfach bei der Untersuchung der Konvergenz einer Reihe nicht weiter. Hier habe ich zum Beispiel eine Aufgabe, wo man die folgenden sechs Reihen auf Konvergenz prüfen soll:

(1) $ [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] $ 1/(n+1)

         Hier denke ich, dass die Reihe konvergiert, denn 1/ (n+1) strebt gegen 0.

(2) $ [mm] \summe_{k=2}^{ \infty} [/mm] $ (1/(n+1) - 1/(n-1))

         Hier strebt (1/(n+1) - 1/(n-1)) zwar von unten gegen 0. Heißt es aber auch, dass diese Reihe deswegen konvergiert?

(3) $ [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] $ ( [mm] n^2 [/mm]  + 3n)/(  [mm] n^3 [/mm]  - 3n)

          Diese Reihe divergiert, denn man kann sie als ein Produkt schreiben und zwar (1/n)*((n + 3)/( $ [mm] n^2 [/mm] $ - 3)) und da (1/n) - die harmonische Reihe - divergiert, divergiert auch die gesamte Reihe.

(4) $ [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] $ $  [mm] i^n [/mm] $

           Hier weiss ich gar nicht, wie man es beschreiben soll. Denn die Werte von $ [mm] i^n [/mm] $ sind ja immer nur i, -i, -1, 1. Heißt es dann, dass diese Reihe divergiert.

(5) $ [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} [/mm] $ ($ [mm] 2^n [/mm] $ )/ n!

            Ich weiss, dass es die Exponentialreihe ist und glaube, dass diese divergiert. Es ist mir aber nicht so klar wieso und ob ich es überhaupt richtig verstehe...        

(6) $ [mm] \summe_{k=2}^{ \infty} [/mm] $ ($ [mm] (-1)^n [/mm] $)/(log n)

             Na ja, hier weiss ich dass  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}log [/mm] n =  [mm] \infty \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1/(log n) = 0. Kann ich dann mit dem Leibniz-Kriterium folgern, dass diese Reihe konvergiert?

Könnte mir vielleicht jemand sagen, ob meine Überlegungen richtig sind? Und wenn nicht, wie kann ich jeweils die Konvergenz bzw. Divergenz zeigen?



        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 02:01 Mo 05.09.2005
Autor: sara_20

1:
Cauchy zeigt dass es divergiert.
3:
welchen Kriterij hast du da benutzt?
4:
richtig!
5:
stelle dir das so vor: exponentenfunktion steigen schneller als faktoriel, also geht es in die unendlichkeit. Divergiert
6:
Leibniz:zeige dass 1/log n monoton absteigend zur 0 geht, was trivial ist. Also, konvergiert

Bezug
        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:41 Mo 05.09.2005
Autor: djmatey

Hallo,
zu 1):
Dass Du eine Nullfolge hast, reicht nicht! Falls die Reihe konvergiert, bilden die Summanden eine Nullfolge, die Rückrichtung gilt jedoch nicht!
Die Reihe divergiert - Du kannst Dich evtl auch an dem Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe festhalten!?
zu 2):
Bringe die Summanden auf einen gemeinsamen Nenner! Sollte konvergieren. Wegen der Frage mit der Nullfolge: siehe 1)
zu 3):
Deine Schlussfolgerung hinkt... nur weil die harmonische Reihe divergiert, muss diese Reihe nicht auch automatisch divergieren. Außerdem ist ein Rechenfehler drin:
Die Summanden werden umgeformt zu
[mm] \bruch{n+3}{n^{2}-3} [/mm] nach Kürzen mit n - woher hast Du den Faktor  [mm] \bruch{1}{n}? [/mm]
zu 4):
ist richtig
zu 5):
Wie Du schon richtig schreibst, steckt die Exponentialreihe dahinter. Es gilt ja
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!} [/mm] =  [mm] e^{x} [/mm]
deswegen kommt bei Deiner Reihe  [mm] e^{2} [/mm] raus, insbesondere konvergiert sie. Außerdem stimmt es auch nicht, dass  [mm] 2^{n} [/mm] schneller wächst als n!. Das stimmt nur für ganz kleine n, dass n! kleiner ist. Da hat sich sara_20 vertan! Denn wenn Du (für große n) n um eins erhöhst, multiplizierst Du ja mit diesem n bei der Fakultät, während Du bei  [mm] 2^{n} [/mm] nur mit 2 multiplizierst.
zu 6):
genau richtig!

LG djmatey

Bezug
        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Mo 05.09.2005
Autor: matrimatikus

Danke für die ausführlichen Antworten!

Ich hätte da aber noch zwei Fragen:

zu (2): Wenn ich es auf den gemeinsamen Nenner bringe, erhalte ich am Schluß -2/($ [mm] n^2 [/mm] $ -1). Wie kann ich dann daraus folgern, dass diese Reihe konvergiert?

zu (3): Hier habe ich mich verrechnet. Ich meinte, wenn ich 1/n ausklammere, dann kriege ich doch: (1/n)*((n+3)/(n-3)). Kann ich dann jetzt sagen,  dass die Reihe divergiert?

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Majorantenkriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:35 Mo 05.09.2005
Autor: Loddar

Hallo matrimatikus!


> zu (2): Wenn ich es auf den gemeinsamen Nenner bringe,
> erhalte ich am Schluß -2/([mm] n^2[/mm] -1). Wie kann ich dann
> daraus folgern, dass diese Reihe konvergiert?

Verwende doch das Majorantenkriterium, indem Du gegen [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n^2}$ [/mm] abschätzt.





> zu (3): Hier habe ich mich verrechnet. Ich meinte, wenn ich
> 1/n ausklammere, dann kriege ich doch: (1/n)*((n+3)/(n-3)).
> Kann ich dann jetzt sagen,  dass die Reihe divergiert?

[notok] Hier erhalte ich nach ausklammern und kürzen:

[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n+3}{n^{\red{2}}-3}$ [/mm]

Führe nun mal eine Partialbruchzerlegung [mm] $\bruch{n+3}{n^2-3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{n+\wurzel{3}} [/mm] + [mm] \bruch{B}{n-\wurzel{3}}$ [/mm] durch und schätze anschließend gegen die harmonische Reihe ab.


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:07 Mo 05.09.2005
Autor: matrimatikus

Danke für die schnelle Antwort, Loddar!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de