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| Aufgabe | Man soll Folgen [mm] a_n, b_n, c_n [/mm] aus [mm] \IR [/mm] finden, die folgende Eigenschaften besitzen oder Beweisen das so eine Folge nicht existiert.
a) [mm] a_n>0 \forall n\in \IN, a_n \to [/mm] 0 und [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n a_n [/mm] divergent
b) [mm] 0
c) [mm] b_n \to [/mm] 0, [mm] \summe_{i=1}^{\infty} c_n [/mm] konvergent und [mm] \summe_{i=1}^{\infty} b_n \cdot c_n [/mm] divergent
d) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}c_n={\infty}, |b_n| \to \infty [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{\infty}b_n c_n [/mm] konvergent |
Okay hier meine bisherigen überlegungen.
a) Da die Reihe alternierend ist, würde ich dort direkt an Leibnitz denken (ohne Leibnitz, hätte man ja bereits mit der harmonischen Reihe ein Reihe für die das zutrifft. Ich denke auch dass die Aussage wahr ist, denn nach Leibnitz muss die Folge gegen 0 konvergieren, und monoton sein. Also muss es doch eine nicht monotone Folge geben, die gegen 0 konvergiert und die Reihe divergiert. Nur fällt mir so eine Folge leider nicht ein.
b) Würde ich recht einfach wiederlegen. Die Folge [mm] a_n [/mm] ist [mm] \le \bruch{1}{n²} \forall n\in \IN [/mm] und die Folge würde nach Leibnitz konvergieren, bzw. man findet damit immer eine Konvergente Majorante. Also kann die Aussage nicht stimmen.
c) Das Nullfolgen kriterium ist ja nur ein Notwendiges, aber kein Hinreichendes Kriterium. Es gibt 0 Folgen, für die eine Reihe nicht konvergiert. Ich dachte zunähst daran ebend die Harmonische Reihe bei der Multiplikation zu erzeugen, allerdings ging dies immer schief weswegen ich nun sagen würde die Reihe muss konvergieren. Ein Beweis will mir aber nicht einfallen.
d) Da würde mir momentan nur einfalle, dass weder die Reihe noch die Folge [mm] b_n [/mm] beschränkt sind. Ich denke also nicht dass so eine Reihe konvergieren kann.
Weiter weiss ich momentan leider nicht, für hilfe wäre ich sehr dankbar :)
Mfg. Hellsing
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Hiho,
> a) [mm]a_n>0 \forall n\in \IN[/mm] und [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n[/mm] an divergent
Ok, ich nehm mal an, du meinst [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n a_n[/mm] *Orakel orakel*
> Ich denke auch dass die Aussage wahr ist, denn nach Leibnitz muss die Folge gegen 0 konvergieren, und monoton sein. Also muss es doch eine nicht monotone Folge geben, die gegen 0 konvergiert und die Reihe divergiert. Nur fällt mir so eine Folge leider nicht ein.
Ein bisschen Eigenrecherche hätte dich im ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel des Leibniz-Kriteriums (übrigens ohne "t") sofort fündig werden lassen.
So eine Folge gibt es auch, ist hier aber gar nicht notwendig!
Wie du selbst festgestellt hast, muss die Folge dafür gegen 0 konvergieren.
Wer sagt, dass das hier gegeben sein muss?
In den Voraussetzungen von a) steht davon nix!
> b) [mm]0
Ok, im Quelltext deines Postings hab ich nun gesehen, dass da eigentlich steht:
[mm]0
Das ergibt aber eine andere Aussage!
Mach dir mal klar, warum (siehe den Wikipedia-Artikel unter a) )
Bei obiger Abschätzung zeige direkt, dass die sich ergebende Reihe [mm] $\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n a_n$ [/mm] nicht nur konvergent, sondern sogar absolut konvergent ist.
Nicht überall, wo [mm] (-1)^n [/mm] drinsteht, sollte man Leibniz anwenden.
> c) [mm]b_n \to[/mm] 0, [mm]\summe_{i=1}^{\infty} c_n[/mm] konvergent und [mm]\summe_{i=1}^{\infty} b_n \cdot c_n[/mm] divergent
> c) Das Nullfolgen kriterium ist ja nur ein Notwendiges, aber kein Hinreichendes Kriterium. Es gibt 0 Folgen, für die eine Reihe nicht konvergiert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich dachte zunähst daran ebend die Harmonische Reihe bei der Multiplikation zu erzeugen,
Gute Idee! Zunächst schreibt man aber "eben" ohne "d". 
> allerdings ging dies immer schief weswegen ich nun sagen würde die Reihe muss konvergieren.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Tipp: [mm] $\bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{n}}*\bruch{1}{\sqrt{n}}$
[/mm]
Und nun überlege dir mal, was du da noch für nen Vorfaktor vor dein [mm] c_n [/mm] (und dann ebenso vor dein [mm] b_n) [/mm] setzen kannst, um die Reihe konvergent zu machen. Ein nachträglicher Blick auf a) könnte da helfen!
> d) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}c_n={\infty}, |b_n| \to \infty b_n c_n[/mm] konvergent
> d) Da würde mir momentan nur einfalle, dass weder die Reihe noch die Folge [mm]b_n[/mm] beschränkt sind.
> Ich denke also nicht dass so eine Reihe konvergieren kann.
Da steht doch gar keine Reihe!
Da steht nur eine Aussage über die Folge [mm] $b_n c_n$.
[/mm]
Auch hier ist ein konkreter Blick zurück auf c) sinnvoll, da man sich auch hier was mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] \sqrt{n} [/mm] bauen kann.
MFG,
Gono.
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> Hiho,
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> > a) [mm]a_n>0 \forall n\in \IN[/mm] und [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n[/mm]
> an divergent
>
> Ok, ich nehm mal an, du meinst [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n a_n[/mm]
> *Orakel orakel*
>
> > Ich denke auch dass die Aussage wahr ist, denn nach
> Leibnitz muss die Folge gegen 0 konvergieren, und monoton
> sein. Also muss es doch eine nicht monotone Folge geben,
> die gegen 0 konvergiert und die Reihe divergiert. Nur
> fällt mir so eine Folge leider nicht ein.
>
> Ein bisschen Eigenrecherche hätte dich im
> Wikipedia-Artikel des Leibniz-Kriteriums
> (übrigens ohne "t") sofort fündig werden lassen.
> So eine Folge gibt es auch, ist hier aber gar nicht
> notwendig!
> Wie du selbst festgestellt hast, muss die Folge dafür
> gegen 0 konvergieren.
> Wer sagt, dass das hier gegeben sein muss?
> In den Voraussetzungen von a) steht davon nix!
Schuldigung das habe ich wohl vergessen hinzuschreiben, [mm] a_n \to [/mm] 0.
Jup die Folge bei Wikipedia habe ich durchaus gesehen, allerdings sieht sie für mich sehr komplex aus. Ich wüsste z.B. nicht wie ich von so einer Folge den Grenzwert bestimmen sollte, da die Folgeglieder je nach n, unterschiedlich definiert sind. Für Folgen wäre das zwar noch leicht, weil jede teilfolge gegen den selben grenzwert laufen muss, also würde sie gegen 0 konvergieren, aber bei Reihen ist das ganze ja nicht mehr so einfach :/
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> > b) [mm]0
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n[/mm] an divergent
>
> Ok, im Quelltext deines Postings hab ich nun gesehen, dass
> da eigentlich steht:
>
> [mm]0
>
> Das ergibt aber eine andere Aussage!
> Mach dir mal klar, warum (siehe den Wikipedia-Artikel
> unter a) )
> Bei obiger Abschätzung zeige direkt, dass die sich
> ergebende Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n a_n[/mm] nicht nur
> konvergent, sondern sogar absolut konvergent ist.
> Nicht überall, wo [mm](-1)^n[/mm] drinsteht, sollte man Leibniz
> anwenden.
>
> > c) [mm]b_n \to[/mm] 0, [mm]\summe_{i=1}^{\infty} c_n[/mm] konvergent und
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} b_n \cdot c_n[/mm] divergent
>
> > c) Das Nullfolgen kriterium ist ja nur ein Notwendiges,
> aber kein Hinreichendes Kriterium. Es gibt 0 Folgen, für
> die eine Reihe nicht konvergiert.
>
>
>
> > Ich dachte zunähst daran ebend die Harmonische Reihe bei
> der Multiplikation zu erzeugen,
>
> Gute Idee! Zunächst schreibt man aber "eben" ohne "d".
>
>
> > allerdings ging dies immer schief weswegen ich nun sagen
> würde die Reihe muss konvergieren.
>
>
> Tipp: [mm]\bruch{1}{n} = \bruch{1}{\sqrt{n}}*\bruch{1}{\sqrt{n}}[/mm]
>
> Und nun überlege dir mal, was du da noch für nen
> Vorfaktor vor dein [mm]c_n[/mm] (und dann ebenso vor dein [mm]b_n)[/mm]
> setzen kannst, um die Reihe konvergent zu machen. Ein
> nachträglicher Blick auf a) könnte da helfen!
Ah okay, vielen dank.
>
> > d) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}c_n={\infty}, |b_n| \to \infty b_n c_n[/mm]
> konvergent
Ah okay vielen dank, hatte da einen kleinen denkfehler.
>
> > d) Da würde mir momentan nur einfalle, dass weder die
> Reihe noch die Folge [mm]b_n[/mm] beschränkt sind.
> > Ich denke also nicht dass so eine Reihe konvergieren kann.
>
> Da steht doch gar keine Reihe!
> Da steht nur eine Aussage über die Folge [mm]b_n c_n[/mm].
> Auch
> hier ist ein konkreter Blick zurück auf c) sinnvoll, da
> man sich auch hier was mit [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und [mm]\sqrt{n}[/mm] bauen
> kann.
Ja auch hier hab ich anscheinend die Reihe vergessen.
Also die Reihe von [mm] c_n*b_n [/mm] soll konvergieren. Ich guck mal ob ichs editieren kann. Vielen dank schonmal. Das hat mir sehr geholfen.
Lg. Hellsing :)
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Hiho,
> Schuldigung das habe ich wohl vergessen hinzuschreiben, [mm]a_n \to[/mm] 0.
Na das macht die Aufgabe dann gleich anders....
> Jup die Folge bei Wikipedia habe ich durchaus gesehen, allerdings sieht sie für mich sehr komplex aus.
So komplex ist sie nicht wirklich.
Es gibt "nur" eine Unterscheidung in gerade und ungerade Folgeglieder.
Das ist noch einfach
> Ich wüsste z.B. nicht wie ich von so einer Folge den Grenzwert bestimmen sollte, da die Folgeglieder je nach n, unterschiedlich definiert sind.
Beispielsweise wäre da nachrechnen über die Definition recht hilfreich und geht in diesem Fall auch recht schnell.
> Für Folgen wäre das zwar noch leicht, weil jede teilfolge gegen den selben grenzwert laufen muss, also würde sie gegen 0 konvergieren,
Ah, du kennst ja doch selbst eine Möglichkeit.
> aber bei Reihen ist das ganze ja nicht mehr so einfach :/
Stimmt, wobei du auch da bereits über Aussagen über konvergente, divergente und absolut konvergente Reihen kennen solltest und was passiert, wenn man solche Reihen miteinander kombiniert und wann man da Aussagen drüber treffen kann.
Und ausserdem wird im Wikipedia-Artikel ja auch eine Aussage getroffen 
> Also die Reihe von [mm]c_n*b_n[/mm] soll konvergieren. Ich guck mal ob ichs editieren kann.
brauchst du nicht editieren.
Wurde ja nun schon beantwortet ^^
Als Tip hier: Wähle eine (bekannte) divergente Reihe und [mm] b_n [/mm] als alternierende Folge mit [mm] $\limsup_{n\to\infty} b_n [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] und [mm] $\liminf_{n\to\infty} b_n [/mm] = [mm] -\infty$ [/mm] aber nur "gerade so", dass sie durch [mm] c_n [/mm] gegen 0 gedrückt wird (die Idee ist ähnlich wie bei c)...)
MFG,
Gono.
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