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| Aufgabe | Untersuchen sie die Zahlenfolgen auf Konvergenz
(1) [mm] (\frac{(-1)^k}{2^k}) [/mm] k [mm] \in \mathbb{N} [/mm]
(2) [mm] (\frac{1}{k}+\frac{10}{2^k}) [/mm] k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] |
Hallo Leute,
ich kenne die Defintion der Konvergenz mit dem [mm] |a-a_0|< \varepsilon [/mm] ,aber wüsste nicht wie ich hier überhaupt an das k kommen könnte.
Muss ich hier zwei Teilfolgen betrachten?
Wie kann ich bei einer Folge wie [mm] \frac{1}{2^k} [/mm] nachweisen, dass es sich um eine Nullfolge handelt?
Vielen Dank für Tipps!
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Hallo,
> Untersuchen sie die Zahlenfolgen auf Konvergenz
> (1) [mm](\frac{(-1)^k}{2^k})[/mm] k [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> (2) [mm](\frac{1}{k}+\frac{10}{2^k})[/mm] k [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> Hallo
> Leute,
> ich kenne die Defintion der Konvergenz mit dem [mm]|a-a_0|< \varepsilon[/mm]
> ,aber wüsste nicht wie ich hier überhaupt an das k kommen
> könnte.
>
> Muss ich hier zwei Teilfolgen betrachten?
>
Nein, denn es geht ja nicht um Häufungspunkte sondern um Konvergenz. Und man sieht doch beiden Folgen schon an, dass sie Nullfolgen sind.
> Wie kann ich bei einer Folge wie [mm]\frac{1}{2^k}[/mm] nachweisen,
> dass es sich um eine Nullfolge handelt?
Indem du ganz einfach das Konvergenzkriterium anwendest:
[mm]\left| \frac{(-1)^k}{2^k}-0\right|=\left| \frac{1}{2^k}\right|=\frac{1}{2^k}<\varepsilon[/mm]
Löse die letzte Ungleichheit nach k auf.
Bei der zweiten Folge solltest du, sofern du die Konvergenz auch auf diesem Weg zeigen willst, eine geeignete Abschätzung vornehmen und diese dann ggf. noch beweisen (falls sie bei euch nicht schon eingeführt und bewiesen ist).
Gruß, Diophant
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Wieso kann man einfach sagen | [mm] \frac{(-1)^k}{2^k}| [/mm] = | [mm] \frac{1}{2k}| [/mm] ?
Es alterniert doch und wieso kann man das einfach weglassen?
Wie man bei [mm] \frac{1}{2^k} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] nach k umstellen kann ist mir auch nicht klar (außer es soll echt mit einem Logarithmus gemacht werden).
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Hallo,
> Wieso kann man einfach sagen | [mm]\frac{(-1)^k}{2^k}|[/mm] = |
> [mm]\frac{1}{2k}|[/mm] ?
>
> Es alterniert doch und wieso kann man das einfach
> weglassen?
Bitte schlege nochmals die Definition der Betragsfunktion nach, das solltest du selbst klären können!
> Wie man bei [mm]\frac{1}{2^k}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] nach k umstellen
> kann ist mir auch nicht klar (außer es soll echt mit einem
> Logarithmus gemacht werden).
Ja, wie denn sonst?
Falls dies tatsächlich an dieser Stelle noch nicht erlaubt ist, dann musst du halt auch hier geeignet abschätzen, und zwar durch eine elemenare BNullfolge, die größer gleich der betrachteten ist (zumindest ab einem bestimmten k) und mit der du diese Umstellung dann bewerkstelligen kannst.
Bemühe deine Phantasie!
Gruß, Diophant
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Wenn ich jetzt [mm] log_{\frac{1}{\varepsilon}} [/mm] 2 < k habe, wieso ist dadurch jetzt genau gezeigt, dass meine vorherige Annahme (Grenzwert ist Null) bewiesen ist?
Definition
Eine Folge [mm] a_k [/mm] mit k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] ist konvergent mit dem Grenzwert g wenn für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein Index [mm] N_{\varepsilon} [/mm] existiert, dass für alle n [mm] \geq N_{\varepsilon} [/mm] gilt [mm] |a_n-g|<\varepsilon.
[/mm]
Also ist sozusagen ab meinem gefundenen k (als Index betrachtet) der Abstand zwischen einem Folgeglied und dem Grenzwert kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] und damit die Konvergenz bewiesen?
Vielen Dank, du hilfst mir sehr!
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Hallo,
> Wenn ich jetzt [mm]log_{\frac{1}{\varepsilon}}[/mm] 2 < k habe,
andersherum wird ein Schuh daraus:
[mm]k*log(2)>log\left(\bruch{1}{\varepsilon}\right)=-log(\varepsilon)[/mm] bzw.
[mm]k> -\frac{log(\varepsilon)}{log(2)}[/mm]
> wieso ist dadurch jetzt genau gezeigt, dass meine vorherige
> Annahme (Grenzwert ist Null) bewiesen ist?
>
> Definition
> Eine Folge [mm]a_k[/mm] mit k [mm]\in \mathbb{N}[/mm] ist konvergent mit dem
> Grenzwert g wenn für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] ein Index
> [mm]N_{\varepsilon}[/mm] existiert, dass für alle n [mm]\geq N_{\varepsilon}[/mm]
> gilt [mm]|a_n-g|<\varepsilon.[/mm]
>
>
> Also ist sozusagen ab meinem gefundenen k (als Index
> betrachtet) der Abstand zwischen einem Folgeglied und dem
> Grenzwert kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] und damit die Konvergenz
> bewiesen?
Genau so ist es! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vielen Dank, du hilfst mir sehr!
Das hört man gerne! 
Gruß, Diophant
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Ok super, aber wie kann ich jetzt genau die zweite Folge abschätzen?
Wir haben ein Kriterium kennengelernt, dass wenn man eine Folge zwischen zwei anderen konvergenten Folgen sozusagen einschließen kann, dass sie dann gegen den gleichen Wert konvergiert wie die untere.
Also konvergente Folge a < zu untersuchende Folge < konvergente Folge b
=> konvergiert gegen Grenzwert von a
Stimmt das so oder habe ich das falsch verstanden? 
Wenn ich beispielsweise die bekannte Nullfolge [mm] \frac{1}{k} [/mm] als untere Grenze einsetzen würde, was wäre denn eine obere? Ich kann ja nicht eine beliebige nehmen wie [mm] 2^k [/mm] oder?
Danke!
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Hallo,
> Ok super, aber wie kann ich jetzt genau die zweite Folge
> abschätzen?
>
> Wir haben ein Kriterium kennengelernt, dass wenn man eine
> Folge zwischen zwei anderen konvergenten Folgen sozusagen
> einschließen kann, dass sie dann gegen den gleichen Wert
> konvergiert wie die untere.
Ja, darum geht es im Prinzip, nur dass hier eine Seite reicht, nämlich die Abschätzung nach oben.
>
> Also konvergente Folge a < zu untersuchende Folge <
> konvergente Folge b
Hier also
0 < zu untersuchende Folge < konvergente Folge b
> => konvergiert gegen Grenzwert von a
>
> Stimmt das so oder habe ich das falsch verstanden?
>
Nein, das passt schon.
> Wenn ich beispielsweise die bekannte Nullfolge [mm]\frac{1}{k}[/mm]
> als untere Grenze einsetzen würde, was wäre denn eine
> obere? Ich kann ja nicht eine beliebige nehmen wie [mm]2^k[/mm]
> oder?
>
Für soleche Abschätzungen beweist man i.d.R. mal gleich zu Beginn so die eine oder andere Ungleichung. Habt ihr bspw. schon
[mm] 2^n>n^2 [/mm] für n>4
bewiesen? Falls ja, dann könntest du das hier verwenden. Bedenke dabei, dass ein Bruch größer wird, wenn man seinen Nenner verkleinert und umgekehrt.
Gruß, Diophant
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Könnte man theoretisch auch einfach [mm] \frac{7}{k} [/mm] als obere Abschätzung nehmen? Ist zwar eine Nullfolge, aber müsste ja eigentlich für k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] immer größer sein als die andere oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Mi 30.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wegen [mm] 2^k>k [/mm] gilt [mm] 1/2^k<1/k [/mm] und deshalb sicher [mm] 10/2^l<10k
[/mm]
damit deine Folge garantiett <11/k das ist einfacher also schätz besse mit 11/k ab. man muss nicht immer die beste Abschätzung nehmen irgendeine, die es tut ist auch gut. das [mm] K(\epsilon) [/mm] muss ja nur enlich sein, das reicht.
(Anfänger suchen immer eine möglichst genaue Abschätzung., da ist aber unnötig.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Mi 06.11.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Ich hatte ganz vergessen zu antworten.
Vielen Dank für die Antwort! Ich neige wirklich dazu es zu genau zu versuchen.
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Ich habe mal meine Lösung zur Prüfung abgegeben und mir wurde dabei etwas falsch angestrichen, verstehe aber nicht wieso.
[mm] |\frac{(-1)^k}{2^k}-0|< \varepsilon=|\frac{1}{2^k}|<\varepsilon=\frac{1}{2^k}<\varepsilon \textcolor{red}= \frac{1}{\varepsilon} [/mm] < [mm] 2^k \textcolor{red}= [/mm] .... [mm] -\frac{log(\varepsilon)}{log(2)}
Also ab dem Punkt der Umstellung der Ungleichung waren alle Gleichheitszeichen falsch, wieso ist das so?
Gibt es dafür ein anderes Zeichen? :-(
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe mal meine Lösung zur Prüfung abgegeben und mir
> wurde dabei etwas falsch angestrichen, verstehe aber nicht
> wieso.
>
> [mm]|\frac{(-1)^k}{2^k}-0|< \varepsilon=|\frac{1}{2^k}|<\varepsilon=\frac{1}{2^k}<\varepsilon \textcolor{red}= \frac{1}{\varepsilon}[/mm]
> < [mm]2^k \textcolor{red}=[/mm] ....
> [mm]-\frac{log(\varepsilon)}{log(2)}
>
> Also ab dem Punkt der Umstellung der Ungleichung waren alle
> Gleichheitszeichen falsch, wieso ist das so?
Weil da kein Gleichheitszeichen hingehört ! Sondern
[mm] |\frac{(-1)^k}{2^k}-0|< \varepsilon \gdw |\frac{1}{2^k}|< \varepsilon \gdw \frac{1}{2^k}<\varepsilon [/mm] ....
FRED
>
> Gibt es dafür ein anderes Zeichen? :-(
>
> Vielen Dank!
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Wieso ist das so?
Die ersten Gleichheitszeichen (vor der Umstellung) wurden mir hingegen gar nicht als falsch angestrichen. Erst ab dem roten.
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wieso ist das so?
>
> Die ersten Gleichheitszeichen (vor der Umstellung) wurden
> mir hingegen gar nicht als falsch angestrichen. Erst ab dem
> roten.
Dann hat der Korrektor seinen Job nicht ordentlich gemacht !
FRED
>
> Danke!
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Woher weiß ich denn genau, wann ein Gleichheitszeichen oder Äquivalenzzeichen (?) angebracht ist?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Do 14.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo mtr-studi!
Sieh Dir doch mal Deine eigene (Un-)Gleichheitskette genau an (siehe hier).
Mit Deiner Darstellung behauptest Du ja z.B., dass gilt: [mm] $\varepsilon [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm] . ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Do 14.11.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Ok, vielen Dank!
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Ich habe das jetzt mal nachgelesen und hätte noch eine Frage dazu beim Ausklammern beispielsweise.
Beispiel:
[mm] \frac{x^2}{x^3}=\frac{x^3 (\frac{1}{x})}{x^3(1)} [/mm] = [mm] \frac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x}
[/mm]
Wären hier wieder Äquivalenzzeichen zu verwenden oder hierbei Gleichheitszeichen?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe das jetzt mal nachgelesen und hätte noch eine
> Frage dazu beim Ausklammern beispielsweise.
>
> Beispiel:
>
> [mm]\frac{x^2}{x^3}=\frac{x^3 (\frac{1}{x})}{x^3(1)}[/mm] =
> [mm]\frac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x}[/mm]
>
> Wären hier wieder Äquivalenzzeichen zu verwenden oder
> hierbei Gleichheitszeichen?
Gleichheitszeichen !
FRED
>
> Vielen Dank!
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