www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz von Zahlenfolgen
Konvergenz von Zahlenfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz von Zahlenfolgen: Untersuchung / Nachweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Mi 30.10.2013
Autor: mtr-studi

Aufgabe
Untersuchen sie die Zahlenfolgen auf Konvergenz
(1) [mm] (\frac{(-1)^k}{2^k}) [/mm] k [mm] \in \mathbb{N} [/mm]
(2) [mm] (\frac{1}{k}+\frac{10}{2^k}) [/mm]  k [mm] \in \mathbb{N} [/mm]

Hallo Leute,
ich kenne die Defintion der Konvergenz mit dem [mm] |a-a_0|< \varepsilon [/mm] ,aber wüsste nicht wie ich hier überhaupt an das k kommen könnte.

Muss ich hier zwei Teilfolgen betrachten?

Wie kann ich bei einer Folge wie [mm] \frac{1}{2^k} [/mm] nachweisen, dass es sich um eine Nullfolge handelt?


Vielen Dank für Tipps!

        
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Mi 30.10.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Untersuchen sie die Zahlenfolgen auf Konvergenz
> (1) [mm](\frac{(-1)^k}{2^k})[/mm] k [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> (2) [mm](\frac{1}{k}+\frac{10}{2^k})[/mm] k [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> Hallo
> Leute,
> ich kenne die Defintion der Konvergenz mit dem [mm]|a-a_0|< \varepsilon[/mm]
> ,aber wüsste nicht wie ich hier überhaupt an das k kommen
> könnte.

>

> Muss ich hier zwei Teilfolgen betrachten?

>

Nein, denn es geht ja nicht um Häufungspunkte sondern um Konvergenz. Und man sieht doch beiden Folgen schon an, dass sie Nullfolgen sind.

> Wie kann ich bei einer Folge wie [mm]\frac{1}{2^k}[/mm] nachweisen,
> dass es sich um eine Nullfolge handelt?

Indem du ganz einfach das Konvergenzkriterium anwendest:

[mm]\left| \frac{(-1)^k}{2^k}-0\right|=\left| \frac{1}{2^k}\right|=\frac{1}{2^k}<\varepsilon[/mm]

Löse die letzte Ungleichheit nach k auf.

Bei der zweiten Folge solltest du, sofern du die Konvergenz auch auf diesem Weg zeigen willst, eine geeignete Abschätzung vornehmen und diese dann ggf. noch beweisen (falls sie bei euch nicht schon eingeführt und bewiesen ist).


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Mi 30.10.2013
Autor: mtr-studi

Wieso kann man einfach sagen | [mm] \frac{(-1)^k}{2^k}| [/mm] = | [mm] \frac{1}{2k}| [/mm] ?

Es alterniert doch und wieso kann man das einfach weglassen?

Wie man bei [mm] \frac{1}{2^k} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] nach k umstellen kann ist mir auch nicht klar (außer es soll echt mit einem Logarithmus gemacht werden).

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Mi 30.10.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Wieso kann man einfach sagen | [mm]\frac{(-1)^k}{2^k}|[/mm] = |
> [mm]\frac{1}{2k}|[/mm] ?

>

> Es alterniert doch und wieso kann man das einfach
> weglassen?

Bitte schlege nochmals die Definition der Betragsfunktion nach, das solltest du selbst klären können!

> Wie man bei [mm]\frac{1}{2^k}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] nach k umstellen
> kann ist mir auch nicht klar (außer es soll echt mit einem
> Logarithmus gemacht werden).

Ja, wie denn sonst?

Falls dies tatsächlich an dieser Stelle noch nicht erlaubt ist, dann musst du halt auch hier geeignet abschätzen, und zwar durch eine elemenare BNullfolge, die größer gleich der betrachteten ist (zumindest ab einem bestimmten k) und mit der du diese Umstellung dann bewerkstelligen kannst.

Bemühe deine Phantasie!


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Mi 30.10.2013
Autor: mtr-studi

Wenn ich jetzt [mm] log_{\frac{1}{\varepsilon}} [/mm] 2 < k habe, wieso ist dadurch jetzt genau gezeigt, dass meine vorherige Annahme (Grenzwert ist Null) bewiesen ist?

Definition
Eine Folge [mm] a_k [/mm] mit k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] ist konvergent mit dem Grenzwert g wenn für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein Index [mm] N_{\varepsilon} [/mm] existiert, dass für alle n [mm] \geq N_{\varepsilon} [/mm] gilt [mm] |a_n-g|<\varepsilon. [/mm]


Also ist sozusagen ab meinem gefundenen k (als Index betrachtet) der Abstand zwischen einem Folgeglied und dem Grenzwert kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] und damit die Konvergenz bewiesen?

Vielen Dank, du hilfst mir sehr!

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Mi 30.10.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Wenn ich jetzt [mm]log_{\frac{1}{\varepsilon}}[/mm] 2 < k habe,

andersherum wird ein Schuh daraus:

[mm]k*log(2)>log\left(\bruch{1}{\varepsilon}\right)=-log(\varepsilon)[/mm] bzw.

[mm]k> -\frac{log(\varepsilon)}{log(2)}[/mm]

> wieso ist dadurch jetzt genau gezeigt, dass meine vorherige
> Annahme (Grenzwert ist Null) bewiesen ist?

>

> Definition
> Eine Folge [mm]a_k[/mm] mit k [mm]\in \mathbb{N}[/mm] ist konvergent mit dem
> Grenzwert g wenn für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] ein Index
> [mm]N_{\varepsilon}[/mm] existiert, dass für alle n [mm]\geq N_{\varepsilon}[/mm]
> gilt [mm]|a_n-g|<\varepsilon.[/mm]

>
>

> Also ist sozusagen ab meinem gefundenen k (als Index
> betrachtet) der Abstand zwischen einem Folgeglied und dem
> Grenzwert kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] und damit die Konvergenz
> bewiesen?

Genau so ist es! [ok]

> Vielen Dank, du hilfst mir sehr!

Das hört man gerne! ;-)


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Mi 30.10.2013
Autor: mtr-studi

Ok super, aber wie kann ich jetzt genau die zweite Folge abschätzen?

Wir haben ein Kriterium kennengelernt, dass wenn man eine Folge zwischen zwei anderen konvergenten Folgen sozusagen einschließen kann, dass sie dann gegen den gleichen Wert konvergiert wie die untere.

Also konvergente Folge  a  < zu untersuchende Folge < konvergente Folge b

=> konvergiert gegen Grenzwert von a

Stimmt das so oder habe ich das falsch verstanden? :-)

Wenn ich beispielsweise die bekannte Nullfolge  [mm] \frac{1}{k} [/mm] als untere Grenze einsetzen würde, was wäre denn eine obere? Ich kann ja nicht eine beliebige nehmen wie [mm] 2^k [/mm] oder? :-)

Danke!

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Mi 30.10.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Ok super, aber wie kann ich jetzt genau die zweite Folge
> abschätzen?

>

> Wir haben ein Kriterium kennengelernt, dass wenn man eine
> Folge zwischen zwei anderen konvergenten Folgen sozusagen
> einschließen kann, dass sie dann gegen den gleichen Wert
> konvergiert wie die untere.

Ja, darum geht es im Prinzip, nur dass hier eine Seite reicht, nämlich die Abschätzung nach oben.
>

> Also konvergente Folge a < zu untersuchende Folge <
> konvergente Folge b

Hier also

0 < zu untersuchende Folge < konvergente Folge b

> => konvergiert gegen Grenzwert von a

>

> Stimmt das so oder habe ich das falsch verstanden? :-)

>

Nein, das passt schon.

> Wenn ich beispielsweise die bekannte Nullfolge [mm]\frac{1}{k}[/mm]
> als untere Grenze einsetzen würde, was wäre denn eine
> obere? Ich kann ja nicht eine beliebige nehmen wie [mm]2^k[/mm]
> oder? :-)

>

Für soleche Abschätzungen beweist man i.d.R. mal gleich zu Beginn so die eine oder andere Ungleichung. Habt ihr bspw. schon

[mm] 2^n>n^2 [/mm] für n>4

bewiesen? Falls ja, dann könntest du das hier verwenden. Bedenke dabei, dass ein Bruch größer wird, wenn man seinen Nenner verkleinert und umgekehrt.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Mi 30.10.2013
Autor: mtr-studi

Könnte man theoretisch auch einfach [mm] \frac{7}{k} [/mm] als obere Abschätzung nehmen? Ist zwar eine Nullfolge, aber müsste ja eigentlich für k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] immer größer sein als die andere oder?

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Mi 30.10.2013
Autor: leduart

Hallo
wegen [mm] 2^k>k [/mm] gilt [mm] 1/2^k<1/k [/mm] und deshalb sicher [mm] 10/2^l<10k [/mm]
damit deine Folge garantiett <11/k das ist einfacher also schätz besse mit 11/k ab. man muss nicht immer die beste Abschätzung nehmen irgendeine, die es tut ist auch gut. das [mm] K(\epsilon) [/mm] muss ja nur enlich sein, das reicht.
(Anfänger suchen immer eine möglichst  genaue Abschätzung., da ist aber unnötig.
Gruss leduart

Bezug
                                                                                
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:00 Mi 06.11.2013
Autor: mtr-studi

Ich hatte ganz vergessen zu antworten.

Vielen Dank für die Antwort! Ich neige wirklich dazu es zu genau zu versuchen. :-)

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Do 14.11.2013
Autor: mtr-studi

Ich habe mal meine Lösung zur Prüfung abgegeben und mir wurde dabei etwas falsch angestrichen, verstehe aber nicht wieso.

[mm] |\frac{(-1)^k}{2^k}-0|< \varepsilon=|\frac{1}{2^k}|<\varepsilon=\frac{1}{2^k}<\varepsilon \textcolor{red}= \frac{1}{\varepsilon} [/mm] < [mm] 2^k \textcolor{red}= [/mm] .... [mm] -\frac{log(\varepsilon)}{log(2)}
Also ab dem Punkt der Umstellung der Ungleichung waren alle Gleichheitszeichen falsch, wieso ist das so?

Gibt es dafür ein anderes Zeichen? :-(

Vielen Dank!

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 Do 14.11.2013
Autor: fred97


> Ich habe mal meine Lösung zur Prüfung abgegeben und mir
> wurde dabei etwas falsch angestrichen, verstehe aber nicht
> wieso.
>  
> [mm]|\frac{(-1)^k}{2^k}-0|< \varepsilon=|\frac{1}{2^k}|<\varepsilon=\frac{1}{2^k}<\varepsilon \textcolor{red}= \frac{1}{\varepsilon}[/mm]
> < [mm]2^k \textcolor{red}=[/mm] ....
> [mm]-\frac{log(\varepsilon)}{log(2)}
>  
> Also ab dem Punkt der Umstellung der Ungleichung waren alle
> Gleichheitszeichen falsch, wieso ist das so?

Weil da kein Gleichheitszeichen hingehört ! Sondern

[mm] |\frac{(-1)^k}{2^k}-0|< \varepsilon \gdw |\frac{1}{2^k}|< \varepsilon \gdw \frac{1}{2^k}<\varepsilon [/mm] ....

FRED

>  
> Gibt es dafür ein anderes Zeichen? :-(
>  
> Vielen Dank!


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Do 14.11.2013
Autor: mtr-studi

Wieso ist das so?

Die ersten Gleichheitszeichen (vor der Umstellung) wurden mir hingegen gar nicht als falsch angestrichen. Erst ab dem roten.

Danke!

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Do 14.11.2013
Autor: fred97


> Wieso ist das so?
>  
> Die ersten Gleichheitszeichen (vor der Umstellung) wurden
> mir hingegen gar nicht als falsch angestrichen. Erst ab dem
> roten.

Dann hat der Korrektor seinen Job nicht ordentlich gemacht !

FRED

>
> Danke!


Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Do 14.11.2013
Autor: mtr-studi

Woher weiß ich denn genau, wann ein Gleichheitszeichen oder Äquivalenzzeichen (?) angebracht ist?

Danke!

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: genau hinsehen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Do 14.11.2013
Autor: Loddar

Hallo mtr-studi!


Sieh Dir doch mal Deine eigene (Un-)Gleichheitskette genau an (siehe hier).

Mit Deiner Darstellung behauptest Du ja z.B., dass gilt: [mm] $\varepsilon [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm] . [kopfkratz3]


Gruß
Loddar

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:09 Do 14.11.2013
Autor: mtr-studi

Ok, vielen Dank!

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Do 14.11.2013
Autor: mtr-studi

Ich habe das jetzt mal nachgelesen und hätte noch eine Frage dazu beim Ausklammern beispielsweise.

Beispiel:

[mm] \frac{x^2}{x^3}=\frac{x^3 (\frac{1}{x})}{x^3(1)} [/mm] = [mm] \frac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x} [/mm]

Wären hier wieder Äquivalenzzeichen zu verwenden oder hierbei Gleichheitszeichen?

Vielen Dank!

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz von Zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Do 14.11.2013
Autor: fred97


> Ich habe das jetzt mal nachgelesen und hätte noch eine
> Frage dazu beim Ausklammern beispielsweise.
>
> Beispiel:
>  
> [mm]\frac{x^2}{x^3}=\frac{x^3 (\frac{1}{x})}{x^3(1)}[/mm] =
> [mm]\frac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x}[/mm]
>  
> Wären hier wieder Äquivalenzzeichen zu verwenden oder
> hierbei Gleichheitszeichen?

Gleichheitszeichen !

FRED

>  
> Vielen Dank!


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de