Konvergenz von einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Fr 19.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Hallo, da bin ich wieder.
Und wieder geht es um Folgen.
Irgendwie kann ich machen was ich will, ich kann es einfach nicht.
Die Aufgabe lautet folgendermaßen:
Konvergenz und Grenzwert von:
[mm] a_1 [/mm] = 1 [mm] a_{n+1}=\bruch{1}{a_n}+\bruch{a_n}{2}
[/mm]
Meine Idee war es, dies mit dem Satz zur monotonen Konvergenz zu zeigen.
Erstmal vorweg einen Teil den ich schon gemacht habe, aber eigentlich noch nicht machen durfte:
Wenn die Folge [mm] a_n [/mm] monoton und beschränkt ist gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}+\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}{2}
[/mm]
also a = [mm] \bruch{1}{a}+\bruch{a}{2}, [/mm] daraus folgt aus [mm] a=\wurzel{2}
[/mm]
Das Problem liegt darin zu zeigen, ob diese Folge konvergent ist.
Also beschränkt und monoton.
Mein Monotonieansatz:
Erstmal stört mich das [mm] a_1 [/mm] = 1, weil 1 < [mm] \wurzel{2}
[/mm]
aber für alle anderen n > 1 ist die Folge größer [mm] \wurzel{2} [/mm] und monoton fallend.
Darf ich mir dann eine Teilfolge bilden, sodass ich n=k+1 setze und somit meine Teilfolge bei 2 beginnt?
Dann muss ich doch zeigen:
Sei [mm] a_{n+1} \le a_n
[/mm]
=> n+1 > n.
Dann habe ich folgendes versucht:
[mm] a_{n+1} \le a_n
[/mm]
=> [mm] \bruch{1}{a_n}+\bruch{a_n}{2} \le \bruch{1}{a_{n-1}}+\bruch{a_{n-1}}{2}
[/mm]
Und komme da einfach nicht weiter.
Das gleiche gilt für die Beschränktheit.
Ich weiß, dass [mm] a_2 [/mm] = 1,5 ist und danach monoton fällt.
Also habe ich behauptet [mm] a_n \le [/mm] 2 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Und das versucht mit Induktion zu zeigen:
IA: [mm] a_1 [/mm] = 1 [mm] \le [/mm] 2 stimmt.
IV: Die Behauptung [mm] a_n \le [/mm] 2 gilt für ein festes n [mm] \in \IN.
[/mm]
IS: n-> n+1
also [mm] a_{n+1} \le [/mm] 2
=> [mm] \bruch{1}{a_n}+\bruch{a_n}{2} \le [/mm] 2
Hilft es bei Beschränktheit und Monotonie, die Brüche zusammenzufassen?
Vielen Dank schonmal im Voraus, ihr helft einem wirklich sehr! Mir zumindest^^
Habe noch ein wenig rumgerechnet:
=> [mm] \bruch{1}{a_n}+\bruch{a_n}{2} \le [/mm] 2
=> [mm] \bruch{2+a_n^2}{2*a_n}
[/mm]
Kann ich da nicht sagen, da [mm] a_n [/mm] maximal 2 sein kann nach IV. ist [mm] 2+a_n^2 [/mm] dann gleich 6 und der Nenner 4 also der Bruch = 1,5.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst erst die Beschränktheit nach unten von [mm] a_n [/mm] zeigen für n>2
also [mm] a_2=1.5 [/mm] mit [mm] a_2^2>2
[/mm]
(ab welchem n das gilt ist egal, es könnte auch erst ab n=10000000 gelten. für Konvergenz kommt es auf die ersten [mm] 10^{100} [/mm] oder so nie an!
Beh. [mm] a_n^2\ge2 [/mm] für alle n>2 Induktionsbeweis
wenn du das hast, kannst du es für die Monotonie benutzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Fr 19.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Ja ich sehe schon eine Dummheit von mir. < 2 macht gar keinen Sinn, weil es mir nichts bringt, dass sie nach oben beschränkt ist^^.
Habe jetzt folgendes raus, bin mir aber unsicher, ob ich das so sagen kann:
IA: n=2 [mm] a_2^2 [/mm] = 2,25 > 2 stimmt.
IV: Die Behauptung [mm] a_n^2 \ge [/mm] 2 gilt für ein festes n [mm] \in \IN
[/mm]
IS: n -> n+1
also [mm] a_{n+1}^2 \ge [/mm] 2
=> [mm] (\bruch{1}{a_n} [/mm] + [mm] \bruch{a_n}{2})^2 \ge [/mm] 2
=> [mm] \bruch{1}{a_n^2}+ \bruch{a_n²}{4} \ge [/mm] 1.
Nach IV. gilt ja [mm] a_n \ge [/mm] 2 also doch auch [mm] a_n^2 \ge [/mm] 4.
=> [mm] \bruch{a_n²}{4} \ge [/mm] 1 und weiterhin ist [mm] \bruch{1}{a_n^2} [/mm] > 0. Also ist die Summe ebenfalls [mm] \ge [/mm] 1.
Habe ich es damit gezeigt?
Vielen Dank leduart.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du bist plötzlich auf [mm] a_n^2>4 [/mm] statt 2 gesprungen! nimm dann doch lieber [mm] a_n<\wurzel{2} 1/an>1/\wurzel{2} =\wurzel{2}/2
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Fr 19.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Ohja, schon wieder zu schnell gearbeitet.
Voraussetzung ist ja [mm] a_n^2 [/mm] > 2 und nicht [mm] a_n>2.
[/mm]
Deinen Tipp verstehe ich glaube gar nicht =/
Ich habe doch als IV gegeben, dass [mm] a_n^2 [/mm] > 2, also
[mm] a_n [/mm] > [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}.
[/mm]
Dann ist
[mm] \bruch{1}{a_n^2} [/mm] < 0,5
[mm] \bruch{a_n^2}{4} [/mm] > 0,5
Weiß leider gerade nicht, wie mir das weiterhilft =(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab mich mit dem Ungleichheitszeichen vertippt.
aber schreib besser:
[mm] 1/2*(2/a_n+a_n) [/mm] das ist das arithmetische Mittel von [mm] 2/a_n [/mm] und [mm] a_n [/mm] und das ist immer größer als das geometrische Mittel, also [mm] \wurzel{2}
[/mm]
für das monotone Fallen ist am leichtesten zu zeigen [mm] a_{n+1}-a_n<0
[/mm]
wenn du die Schranke [mm] \wurzel{2} [/mm] hast.
Gruss leduart
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