Konvergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Mi 18.01.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Man zeige, dass die durch [mm] a_1 [/mm] =2
[mm] a_{n+1}= [/mm] 1/2 * [mm] (a_n [/mm] + [mm] 5/a_n)
[/mm]
definierte Folge gegen [mm] \wurzel{5} [/mm] konvergiert |
[mm] a_1=2
[/mm]
[mm] a_2=9/4
[/mm]
[mm] a_3=161/72
[/mm]
Angenommen [mm] a_n [/mm] >2
-> [mm] a_{n+1} [/mm] > 2
[mm] a_{n+1} [/mm] -2 =1/2 * [mm] (a_n [/mm] + [mm] 5/a_n) [/mm] - 2 = 1/2 * [mm] (a_n [/mm] + [mm] 5/a_n [/mm] -4) = [mm] 1/2a_n [/mm] * [mm] (a_n^2 [/mm] + 5 - [mm] 4a_n) [/mm] = [mm] 1/2a_n [/mm] * [mm] ((a_n-2)^2 [/mm] + 1) >0 wegen Annahme und Quadrat>0
[mm] |a_{n+1}^2 [/mm] - 5| = [mm] |1/4*(\frac{a_n^2+5}{a_n})^2 [/mm] - 5| [mm] =|\frac{a_n^2+10a_n^2+25-20a_n^2}{4a_n^2}| [/mm] = [mm] \frac{a_n^4-10a_n^2+25}{4a_n^2} [/mm] = [mm] \frac{(a_n^2-5)^2}{4a_n^2}
[/mm]
< [mm] \frac{(a_n^2-5)^2}{16}
[/mm]
wobei ich hernehme, dass [mm] a_{n+1} [/mm] > 2
Weiß wer wie ich weiter machen kann?
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Hallo sissile,
ich habe vorhin schon einmal mit einer Antwort begonnen, hatte jedoch einen Irrtum entdeckt. Was du da gerechnet hast, erschließt sich mir nicht so ganz. Möchtest du das noch erläutern?
Vielleicht hilft dir der Hinweis ja weiter, dass es sich hier um nichts anderes handelt als das Heron-Verfahren zur Bestimmung der Wurzel aus 5 mit dem Startwert 2.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mi 18.01.2012 | | Autor: | sissile |
Das Heronverfahren wurde noch nicht wirklich in der VO besprochen.
Ich hab eine vollständige Indukion gemacht für [mm] a_n [/mm] > 2
Aber wenn ich es recht sehe, gehört [mm] a_n \ge [/mm] 2
was für [mm] a_1 [/mm] =2 offensichtlich ist.
Unter der Induktionsannahme [mm] a_n \ge [/mm] 2 , hab ich im Induktionsschluss aus [mm] a_{n+1} \ge [/mm] 2 geschlossen.
Dannach [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 existiert ein N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n > N gilt: $ [mm] |a_{n+1}^2 [/mm] $ - 5|< [mm] \epsilon
[/mm]
Dann hab ich nur umgeformt und gesehen, dass es pos sein muss, also Beträge verschwinden. Danach hab ich noch die Eigenschaft [mm] a_n \ge [/mm] 2 eingesetzt, die ich oben bewisen habe.
Bei [mm] |a_{n+1}^2 [/mm] - 5|< $ [mm] \frac{(a_n^2-5)^2}{16} [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
stehe ich an.
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Hallo sissile,
ok. Du versuchst das Konvergenzkriterium direkt nachzuweisen. Ich weiß nicht, ob das bei rekursiven Folgen so eine gute Idee ist.
Versuche mal folgendes: [mm] a_n>2 [/mm] durch Induktion zeigen und dann nachzuweisen, dass für alle [mm] n\ge{2} [/mm] die Folge monoton fällt.
Wenn du nämlich gezeigt hast, dass die Folge konvergent ist, so kannst du den Grenzwert über
[mm] a_{n+1}=a_n=a
[/mm]
leicht nachweisen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Mi 18.01.2012 | | Autor: | sissile |
> Versuche mal folgendes: $ [mm] a_n>2 [/mm] $ durch Induktion zeigen
hab ich, siehe 1.Beitrag
> und dann nachzuweisen, dass für alle $ [mm] n\ge{2} [/mm] $ die Folge monoton fällt.
[mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n+1}
[/mm]
<0 wachsend, >0 fallend
[mm] a_n [/mm] - (1/2 * [mm] (a_n [/mm] + [mm] 5/a_n [/mm] ))
[mm] a_n [/mm] - [mm] a_n/2 [/mm] - [mm] 5/(2a_n)
[/mm]
[mm] 2a_n^2 [/mm] - [mm] a_n^2 [/mm] -5
[mm] a_n^2 [/mm] - 5
Hab ich was falsch gemacht? Ich weiß ja nicht ob, das > oder < 0 ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Mi 18.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass [mm] a_n>2 [/mm] ist hilft nicht soviel, als das [mm] a_n>\wurzel{5} [/mm] für n>1 ist.
dann zeige dass für [mm] a_n>\wurzel{5} [/mm] also [mm] a_n^2≤5 [/mm] auch [mm] a_{n+1}>\wurzel{5}
[/mm]
wenn du das [mm] hasta_{n+1}
das hast du ja schon da stehen, wenn du die Vors [mm] a_n>\wurzel{5} [/mm] gezeigt hast.
Dass du die ersten 3 Glieder ausgerechnet hast, hat dir nicht viel geholfen, weil du ihr quadrat nicht gebildet hast!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mi 18.01.2012 | | Autor: | sissile |
[mm] a_n^2 [/mm] >5
i.Anfang n=2 [mm] (9/4)^2 [/mm] = 81/16 > 5 stimmt
i.Annahme [mm] a_n^2 [/mm] >5
ZZ: [mm] a_{n+1}^2 [/mm] >5
(1/2* [mm] (a_n +5/a_n))^2 [/mm] = 1/4 * [mm] \frac{(a_n^2+5)^2}{a_n^2}
[/mm]
laut i. Annahme Nenner > 4* 5
die 4 wegen 1/4 * ..
und zähler > [mm] (5+5)^2 [/mm] = [mm] 10^2=100
[/mm]
1/4 * [mm] \frac{(a_n^2+5)^2}{a_n^2} [/mm] > 100/(4*5) = 5
-> [mm] a_{n+1} [/mm] >5
Kann man das so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mi 18.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Abschätzung ist falsch!
Wenn man Nenner und Zähler vergrößert, weiss man nicht was passiert. Nenner vergrößern verkleinert den bruch zaähler vergr vergrößert ihn.
aber [mm] 0.5*(a_n+5/a_n) [/mm] ist das aritmethische Mittel, [mm] a\wurzel{a_n*a5/a_n}=\wurzel{5} [/mm] das ggeometrische mittel
und das ist immer kleiner als das arithmetische Mittel,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Mi 18.01.2012 | | Autor: | sissile |
> aber $ [mm] 0.5\cdot{}(a_n+5/a_n) [/mm] $ ist das aritmethische Mittel, $ [mm] a\wurzel{a_n\cdot{}a5/a_n}=\wurzel{5} [/mm] $ das ggeometrische mittel
und das ist immer kleiner als das arithmetische Mittel,
Kannst du mir den Teil nochmals erklären? Du verwendest die Induktionsannahme nicht? statt a ist doch immer [mm] a_n [/mm] ?
Kann man das nicht anders mit Ind-Annahme machen=?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 Do 19.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] (a+b)/2\ge \wurzel{ab}
[/mm]
oder [mm] a+b>2*\wurzel{ab} [/mm] denn
[mm] a+b-2\wurzel{ab} =(\wurzel{a}+\wurzel{b})^2>0
[/mm]
und ja, ich hab keine Induktion benutzt sondern es direkt gezeigt, (was auch [mm] a_1 [/mm] auslässt, weil man es ja beliebig wählen kann)
ich hab mich anscheinend vertippt es sollte heissen:
$ [mm] 0.5\cdot{}(a_n+5/a_n) [/mm] $ ist das aritmethische Mittel, $ [mm] \wurzel{a_n\cdot{}5/a_n}=\wurzel{5} [/mm] $ das geometrische Mittel
mit Induktion musst du jetzt [mm] a_{n+1}
(damit du siehst, wie git das Verfahren ist solltest du mal die ersten 5 [mm] a_n [/mm] ausrechnen(TR) und jeweils quadrieren!)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:43 Do 19.01.2012 | | Autor: | sissile |
danke ;)
Ich bin ganz fasziniert, dass es damit so schön funktioniert ;)
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