Konvergenzbereich < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 Mi 02.09.2009 | | Autor: | YesWeCan |
| Aufgabe | Bestimme für welche x [mm] \in\IR [/mm] die folgenden Potenzreihen konvergieren.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(3x-1)k}{15^k} [/mm] |
Hi,
der Konv.Rad ist 15 das ist klar, nun für welche x konv. dir Reihe?
In der Lösung vom Prof steht folgendes:
man ersetzt den Ausdruck mit x durch y, also y=3x-1
der der Konv. rad von 15 gilt für y! folgendes steht da: -15<y<15
nun setzt man für y 3x-1 ein --->auflösen lifert [mm] \bruch{16}{3}, [/mm] folgendes
steht dort: [mm] x>-\bruch{14}{3}x<\bruch{16}{3} [/mm]
Endlösung:K =]− [mm] \bruch{14}{3} [/mm] , [mm] \bruch{16}{3}[
[/mm]
Woher kommen -14/3? und ganz interessant, dass die Randpunkte nicht untersucht werden, sondern ohne Überprüfung aus der Konv.bereich ausgeschlossen werden?!!!!
Ist das ein Fehler in Lösung, ist nähmilch schon mal vorgekommen, oder ist mir da was entgangen?
an dieser Stelle möchte ich fragen, ob man immer den Ausdruck mit x durch y ersetzen muss, und dann den errechneten Konv.rad in diesen Ausdruck einsetzt und dann "anpasst".
Danke euch im Voraus
Gruss
Alex
|
|
| |
|
Hallo!
> der Konv.Rad ist 15 das ist klar, nun für welche x konv.
> dir Reihe?
Der Konvergenzradius von 15 ist klar... Glaub ich nicht. Denn zum Konvergenzradius gehört auch immer eine Variable, für welche der Radius gilt. Und x ist es nicht 
> In der Lösung vom Prof steht folgendes:
> man ersetzt den Ausdruck mit x durch y, also y=3x-1
Als erstes versucht man, wieder einen "bekannten Fall" zu produzieren. Das machen wir einfach, indem wir y = 3x-1 substituieren. Dann haben wir wieder eine ganz normale Potenzreihe.
> der der Konv. rad von 15 gilt für y! folgendes steht
> da: -15<y<15
Und wenn wir nun dastehen haben:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(3x-1)^k}{15^k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{y^k}{15^k}$
[/mm]
ist die Aussage des Professors oben denk ich offensichtlich.
Nun wollen wir aber den Konvergenzradius für x bestimmen, nicht für y. Also müssen wir jetzt, da wir den Konvergenzradius für y kennen, wieder nach x rücksubstituieren:
$y = 3x-1 [mm] \gdw [/mm] x = [mm] \frac{y+1}{3}$
[/mm]
Genau dieser Prozedur müssen jetzt auch die Grenzen unterzogen werden:
[mm] $y_{Grenze1} [/mm] = -15 [mm] \Rightarrow x_{Grenze1} [/mm] = [mm] \frac{-15+1}{3} [/mm] = [mm] -\frac{14}{3}$
[/mm]
Analog die andere Grenze. Und so kommt man auf die Aussage des Professors:
> steht dort: [mm]x>-\bruch{14}{3}x<\bruch{16}{3}[/mm]
>
> Endlösung:K =]− [mm]\bruch{14}{3}[/mm] , [mm]\bruch{16}{3}[[/mm]
----
> und ganz interessant, dass die
> Randpunkte nicht untersucht werden, sondern ohne
> Überprüfung aus der Konv.bereich ausgeschlossen
> werden?!!!!
Naja, man muss ja in einer Kurzlösung nicht immer alles ausführlich hinschreiben, oder?  Bei Einsetzen der unteren Grenze erhalte ich
[mm] \summe_{k=0}^{\infty})(-1)^{k},
[/mm]
bei der oberen
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}1^{k}
[/mm]
Beides anerkannte divergente Reihen. Wenn es sich um eine "ganz normale Potenzreihe" handelt, wird das Ergebnis meist so ausfallen.
> an dieser Stelle möchte ich fragen, ob man immer den
> Ausdruck mit x durch y ersetzen muss, und dann den
> errechneten Konv.rad in diesen Ausdruck einsetzt und dann
> "anpasst".
Ja. Du musst dir bekannte Ausdrücke erzeugen, aus welchen du sicher sagen kannst, was der Konvergenzradius ist und dann mit dem "Hilfskonvergenzradius" auf den ursprünglichen schließen, zum Beispiel durch Substitution (Aber Achtung: Man sollte sich das ganze auch immer versuchen ein wenig bildlich vorzustellen, damit man keine Fehler macht). Hier zum Beispiel:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{3^{k}}
[/mm]
musst du erst eine Substitution y = [mm] x^{2} [/mm] durchführen.
Grüße,
Stefan.
|
|
|
| |
|
> Bestimme für welche x [mm]\in\IR[/mm] die folgenden Potenzreihen
> konvergieren.
>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(3x-1)k}{15^k}[/mm]
> Hi,
>
> der Konv.Rad ist 15 das ist klar, nun für welche x konv.
> dir Reihe?
> In der Lösung vom Prof steht folgendes:
> man ersetzt den Ausdruck mit x durch y, also y=3x-1
> der der Konv. rad von 15 gilt für y! folgendes steht
> da: -15<y<15
> nun setzt man für y 3x-1 ein --->auflösen lifert
> [mm]\bruch{16}{3},[/mm] folgendes
> steht dort: [mm]x>-\bruch{14}{3}x<\bruch{16}{3}[/mm]
>
> Endlösung:K =]− [mm]\bruch{14}{3}[/mm] , [mm]\bruch{16}{3}[[/mm]
>
> Woher kommen -14/3? und ganz interessant, dass die
> Randpunkte nicht untersucht werden, sondern ohne
> Überprüfung aus der Konv.bereich ausgeschlossen
> werden?!!!!
>
> Ist das ein Fehler in Lösung, ist nähmilch schon mal
> vorgekommen, oder ist mir da was entgangen?
>
> an dieser Stelle möchte ich fragen, ob man immer den
> Ausdruck mit x durch y ersetzen muss, und dann den
> errechneten Konv.rad in diesen Ausdruck einsetzt und dann
> "anpasst".
>
> Danke euch im Voraus
> Gruss
> Alex
>
>
interessant, vom substituieren bei reihen hab ich auch noch nie gehört.. warum geht man hier nicht über die geometrische reihe? bei der ist ja klar, dass man die randpunkte nicht mehr untersuchen muss.
|
|
|
| |
|
Hallo fencheltee,
> interessant, vom substituieren bei reihen hab ich auch noch
> nie gehört.. warum geht man hier nicht über die
> geometrische reihe? bei der ist ja klar, dass man die
> randpunkte nicht mehr untersuchen muss.
>
Das kann man hier bei dieser speziellen Form der Reihe natürlich machen.
Aber so viel Zeitersparnis ist das nun auch nicht, schließlich musst du die Betragsungleichung [mm] $\left|\frac{3x-1}{15}\right|<1$ [/mm] mit einer Fallunterscheidung untersuchen.
Aber die Untersuchung der Randpunkte kannst du dir schenken, da hast du recht.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
