Konvergenzbereich Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}x^{n}
[/mm]
Ermitteln Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe. |
Hallo,
mein problem ist jetzt das ich garnicht weiß was ich machen muss.
ist das wie konvergenz von reihen untersuchen? also quotienten/wurzelkriterium?
Ich habe diese Frage in noch keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
Joker1223
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Mi 11.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, du sollst untersuchen, für welche x die Reihe konvergiert. es ist z. Bsp klar, das sie für x02 sicher nicht konvergiert.
Quotienten und Wurzelkriterium kannst du dabei anwenden.
die 3 würd ich rausziehen, da sie die Konvergenz nicht beeinflusst.
Habt ihr den Begriff Konvergenzradius nicht gehabt?
Gruss leduart
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Hallo,
doch wir hatten den Begriff. Defeniert haben wir diesen
[mm] $r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[n]{|a_{n}|}}$
[/mm]
das heißt also das, das x mein r ist?
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Hallo joker1223,
> Hallo,
> doch wir hatten den Begriff. Defeniert haben wir diesen
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[n]{|a_{n}|}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
wobei das letztere der [mm] $\limsup$ [/mm] ist ...
>
> das heißt also das, das x mein r ist?
Nein, wenn du eine Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n$ [/mm] hast, deren Konvergenzradius du nach einer der Formeln zu $r$ berechnet hast, so bekommst du (absolute) Konvergenz für [mm] $|x-x_0|r$.
[/mm]
Über die Randpunkte [mm] $|x-x_0|=r$, [/mm] also [mm] $x=x_0+r$ [/mm] und [mm] $x=x_0-r$ [/mm] bekommst du erstmal keine Aussage.
Diese Punkte müsstest du durch Einsetzen in die Reihe gesondert untersuchen.
Bei deiner Aufgabe ist [mm] $x_0=0$, [/mm] was die Sache zusätzlich vereinfacht.
Nun leg' mal los 
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
ich habe nun [mm] $r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{3}{2^{n}}}{\bruch{3}{2^{n+1}}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3*2^{n+1}}{3*2^{n}}=2$
[/mm]
Also ist [mm] $x_{1}=x_{0}+r=0+2=2$ [/mm] und [mm] $x_{2}=x_{0}-r=0-2=-2$
[/mm]
Wenn ich das jetzt für x einsetze bekomme ich für [mm] x_{1} $\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}2^{n}=\summe_{i=1}^{\infty}3$
[/mm]
und bei [mm] x_{2} $\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}2^{n}=\summe_{i=1}^{\infty}-3$
[/mm]
da beide gegen [mm] \infty [/mm] gehen sind doch beide bestimmt divergent oder?
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Hallo,
den Konvergenzbereich kann ich ja nur bestimmen wenn eine Konvergenz, also ein Grenzwert vorliegt oder?
Wenn das der Fall ist wird noch in absolute Konvergenz, bestimmte Divergenz und unbestimmte Divergenz unterschieden?
Gruss
Joker1223
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Hallo,
eine Reihe ist konvergent, wenn sie einen endlichen Wert hat.
Und entsprechend divergent, wenn sie keinen endlichen Wert hat.
Ob sie dabei nun bestimmt divergiert gegen [mm] \infty [/mm] oder alternierend gegen [mm] \pm\infty [/mm] (wie in dieser Aufgabe an den Randstellen der Konvergenzradius), ist egal, die Reihe bleibt divergent.
Die Unterscheidung zwischen bestimmt oder unbestimmt brauchst du nicht.
Hier hast du festgestellt, dass der Konvergenzradius $r=2$ ist, die Reihe also für $|x|<2$, dh. für $x<2$ und $x>-2$ (absolut) konvergiert und entsprechend für $|x|>2$, also $x>2$ und $x<-2$ divergiert (automatisch, das liefert das Kriterium)
An den Randstellen [mm] $x=\pm [/mm] 2$ hast du Divergenz nachgewiesen (ob du das nun unbestimmt oder bestimmt divergent nennst, ist egal)
Fazit: Konvergenz für [mm] $x\in(-2,2)$ [/mm] und Divergenz sonst
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Fr 13.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich habe nun
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{3}{2^{n}}}{\bruch{3}{2^{n+1}}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3*2^{n+1}}{3*2^{n}}=2[/mm]
>
> Also ist [mm]x_{1}=x_{0}+r=0+2=2[/mm] und [mm]x_{2}=x_{0}-r=0-2=-2[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt für x einsetze bekomme ich für [mm]x_{1}[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}2^{n}=\summe_{i=1}^{\infty}3[/mm]
O.K.
> und bei [mm]x_{2}[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}2^{n}=\summe_{i=1}^{\infty}-3[/mm]
Nein. Du bekommst: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}(-2)^{n}=\summe_{i=1}^{\infty}(1-)^n3[/mm]
>
> da beide gegen [mm]\infty[/mm] gehen
Nur die erste !
> sind doch beide bestimmt
> divergent oder?
Beide sind divergent
FRED
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Hallo,
ging mir eigentlich nicht darum ob sie divergent sind, sondern ob sie bestimmt bzw. unbestimmt divergent sind.
gruss
joker1223
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Hallo,
> Hallo,
> ging mir eigentlich nicht darum ob sie divergent sind,
> sondern ob sie bestimmt bzw. unbestimmt divergent sind.
Die Reihe für $x=2$ kannst du bestimmt divergent nennen, die für $x=-2$ dann von mir aus unbestimmt divergent (die hau alternierend gegen [mm] $\pm\infty$ [/mm] ab)
Auf die Unterscheidung kommt's aber nicht an, divergent ist divergent...
siehe andere Antwort dazu
>
> gruss
>
> joker1223
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Fr 13.08.2010 | | Autor: | joker1223 |
Alles klar.
Danke!
Gruss
Joker1223
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Do 12.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]$\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}x^{n}[/mm]
>
> Ermitteln Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe.
> Hallo,
> mein problem ist jetzt das ich garnicht weiß was ich
> machen muss.
> ist das wie konvergenz von reihen untersuchen? also
> quotienten/wurzelkriterium?
>
> Ich habe diese Frage in noch keinem anderen Forum
> gestellt.
>
> Gruß
>
> Joker1223
Ergänzend:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}x^{n}=3*\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{x}{2})^n [/mm]
und an die geometrische Reihe denken !
FRED
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