Konvergenznachweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Fr 24.10.2014 | | Autor: | mcx |
| Aufgabe | Untersuchen sie die Folge auf Konvergenz. Bestimmen Sie (falls vorhanden) den Grenzwert
[mm] (-1)^{n}*n^{2}/2^{n} [/mm] |
Hallo,
ich bräuchte Hilfe zu einem Thema das mich schon seit der Schule verzweifeln lässt. Ich solle die oben genannte Folge auf Konvergenz untersuchen. Jetzt stellt sich bei mir (wie immer) die Frage was denn überhaupt ausreicht um die Konvergenz nachzuweisen.
Bevor ich die Frage hier gepostet habe, habe ich das Skript nochmals studiert und im Internet/Lehrbüchern nachgeschaut. Irgendwie erschließt sich mir nicht eindeutig wie ich die Konvergenz von Folgen nachweisen soll. Es gibt so viele kriterien und Vergleichsformen das ich mir leicht verloren vorkomme.
Zum Beispiel habe ich mir einmal 3 wichtige Kriterien notiert:
1) Monotoniekriterium: Eine monotone Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn Sie beschränkt ist.
2) Cauchy Kriterium: Eine Folge reeller oder kollere Zahlen konvergiert genau dann, wenn Sie eine Cauchy folge ist.
3) Sandwichkriterium: Eine Folge reeler Zahlen konvergiert, wenn Sie nach unten und nach oben durch konvergente Folgen abgeschätzt werden kann die den gleichen Grenzwert haben.
So und das bringt mich wieder zu der oben genannten. Wie gehe ich allgemein an so ein Problem ran? Ich habe keine Ahnung welche Kriterien ich anwenden soll.
Für Hilfe wäre ich euch sehr dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Fr 24.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo mcx!
Wir setzen [mm] b_n:=(-1)^n [/mm] und [mm] c_n:=\frac{n^{2}}{2^{n}} [/mm] und betrachten
[mm] a_n:=b_n*c_n.
[/mm]
1) [mm] b_n [/mm] ist beschränkt (Wieso?).
2) [mm] c_n [/mm] ist eine Nullfolge (Wieso?).
3) Das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge ist ... (Was)?
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Fr 24.10.2014 | | Autor: | mcx |
1) [mm] b_{n} [/mm] ist beschränkt weil die Folge zwischen 1 und -1 alterniert. D.h sie ist nach oben und unten beschränkt. (Wie würde ich das nachweisen?)
2) [mm] c_{n} [/mm] ist eine Nullfolge weil die exponentialfunktion (wenn die so heißt) [mm] 2^{n} [/mm] ab einem gewissen Folgeglied größer ist und schneller wächst als die Folge der quadrate der natürlichen zahlen.
3) Das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge ist eine Nullfolge. (reicht das als Begründung überhaupt?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Fr 24.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> 1) [mm]b_{n}[/mm] ist beschränkt weil die Folge zwischen 1 und -1
> alterniert. D.h sie ist nach oben und unten beschränkt.
Richtig.
> (Wie würde ich das nachweisen?)
Ich denke, dass das bereits in eurem Skript stehen sollte. Falls
nicht, dann gibt es hier viele Möglichkeiten. Zum Beispiel kannst
du annehmen, dass die Folge konvergiert und zu einem Widerspruch
kommen. Falls die Folge konvergiert gegen einen Wert [mm] a\in\IR, [/mm] dann
konvergiert auch jede Teilfolge dagegen. Wähle nun zwei geeignete
Teilfolgen. Du siehst: Es gibt hier verschiedene Möglichkeiten. 
> 2) [mm]c_{n}[/mm] ist eine Nullfolge weil die exponentialfunktion
> (wenn die so heißt) [mm]2^{n}[/mm] ab einem gewissen Folgeglied
> größer ist und schneller wächst als die Folge der
> quadrate der natürlichen zahlen.
Potenzfunktion. Da fällt mir eine Aufgabe aus Analysis I ein:
Für welche [mm] n\in\IN [/mm] gilt [mm] 2^n>n^2? [/mm] Beweisen Sie ihre Vermutung!
Aber ja, du liegt mit deiner Begründung richtig.
> 3) Das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten
> Folge ist eine Nullfolge.
Richtig.
> (reicht das als Begründung überhaupt?)
Wenn ihr wirklich die Sätze aus deinem Startpost zur Verfügung
habt, dann habt ihr auch mit Sicherheit diesen. Ansonsten kannst
du diesen auch beweisen oder die schöne Definition verwenden.
Zeige, dass für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] existiert, sodass
[mm] $|c_n-0|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Viel Erfolg!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Fr 24.10.2014 | | Autor: | mcx |
Vielen Dank für die Hilfe. Ich werde das jetzt erstmal verdauen und versuchen eine Formale und Mathematisch korrekte Lösung zu präsentieren. Ich melde mich später (hoffentlich mit einer richtigen) Antwort wieder.
Gruß
MCX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 26.10.2014 | | Autor: | mcx |
Bitte entschuldige meinen verspäteten Post, ich hatte am Wochenende viel zu tun und habe vergessen zu antworten. :/
Ich habe durch das Skript geschaut und genau das entdeckt was du auch geschrieben hast.
[mm] |c_n-0|<\epsilon
[/mm]
Wenn ich das jetzt richtig in Erinnerung habe ist das das Monotoniekriterium. (Jede monoton wachsende/fallende und nach oben/unten beschränkte folge konvergiert)
Allerdings kapier ich nicht was dieses epsilon bedeuten soll. Ist das eine Zahl die ich beliebig Wähle?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 So 26.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Bitte entschuldige meinen verspäteten Post, ich hatte am
> Wochenende viel zu tun und habe vergessen zu antworten. :/
Kein Problem.
> Ich habe durch das Skript geschaut und genau das entdeckt
> was du auch geschrieben hast.
>
> [mm]|c_n-0|<\epsilon[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt richtig in Erinnerung habe ist das das
> Monotoniekriterium. (Jede monoton wachsende/fallende und
> nach oben/unten beschränkte folge konvergiert)
Das hat damit nichts zu tun. Ich meinte damit die Definition
der Konvergenz einer Folge:
[mm] $c_n\to\infty(n\to\infty)\gdw\forall\epsilon>0\exists n_0=n_0(\epsilon)\in\IN\colon |c_n-c|<\epsilon \forall n\ge n_0$.
[/mm]
(Diese Definition solltest du im Schlaf können!)
> Allerdings kapier ich nicht was dieses epsilon bedeuten
> soll. Ist das eine Zahl die ich beliebig Wähle?
[mm] \epsilon>0 [/mm] ist beliebig. Wählen solltest du ein [mm] n_0=n_0(\epsilon)\in\IN, [/mm] sodass gilt
[mm] $|c_n-c|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge n_0$.
[/mm]
Aber wie gesagt: Wenn ich eure vorhandenen Sätze lese, dann
sollte die Frage mit meinem ersten Ansatz (siehe erste Frage)
beantwortet werden.
Falls du es trotzdem mit der Definition machen willst, dann
lies dir das 0815 Beispiel auf Wikipedia ![[]](/images/popup.gif) hier durch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Mo 27.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen sie die Folge auf Konvergenz. Bestimmen Sie
> (falls vorhanden) den Grenzwert
>
> [mm](-1)^{n}*n^{2}/2^{n}[/mm]
> Hallo,
>
> ich bräuchte Hilfe zu einem Thema das mich schon seit der
> Schule verzweifeln lässt. Ich solle die oben genannte
> Folge auf Konvergenz untersuchen. Jetzt stellt sich bei mir
> (wie immer) die Frage was denn überhaupt ausreicht um die
> Konvergenz nachzuweisen.
>
>
> Bevor ich die Frage hier gepostet habe, habe ich das Skript
> nochmals studiert und im Internet/Lehrbüchern
> nachgeschaut. Irgendwie erschließt sich mir nicht
> eindeutig wie ich die Konvergenz von Folgen nachweisen
> soll. Es gibt so viele kriterien und Vergleichsformen das
> ich mir leicht verloren vorkomme.
>
> Zum Beispiel habe ich mir einmal 3 wichtige Kriterien
> notiert:
>
> 1) Monotoniekriterium: Eine monotone Folge reeller Zahlen
> konvergiert genau dann, wenn Sie beschränkt ist.
>
> 2) Cauchy Kriterium: Eine Folge reeller oder kollere Zahlen
> konvergiert genau dann, wenn Sie eine Cauchy folge ist.
>
> 3) Sandwichkriterium: Eine Folge reeler Zahlen konvergiert,
> wenn Sie nach unten und nach oben durch konvergente Folgen
> abgeschätzt werden kann die den gleichen Grenzwert haben.
>
> So und das bringt mich wieder zu der oben genannten. Wie
> gehe ich allgemein an so ein Problem ran? Ich habe keine
> Ahnung welche Kriterien ich anwenden soll.
>
> Für Hilfe wäre ich euch sehr dankbar
Setze [mm] a_n:=(-1)^{n}*n^{2}/2^{n}
[/mm]
Für n [mm] \ge [/mm] 3 ist nach dem Binomischen Satz
[mm] 2^n=(1+1)^n \ge \vektor{n \\ 3}
[/mm]
Folgere daraus
[mm] |a_n| \le \bruch{6*n^2}{n(n-1)(n-2)} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 3.
Das sollte helfen.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Mo 27.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen sie die Folge auf Konvergenz. Bestimmen Sie
> (falls vorhanden) den Grenzwert
>
> [mm](-1)^{n}*n^{2}/2^{n}[/mm]
> Hallo,
>
> ich bräuchte Hilfe zu einem Thema das mich schon seit der
> Schule verzweifeln lässt. Ich solle die oben genannte
> Folge auf Konvergenz untersuchen. Jetzt stellt sich bei mir
> (wie immer) die Frage was denn überhaupt ausreicht um die
> Konvergenz nachzuweisen.
ich modifiziere mal Freds Antwort:
Zeige, dass es ein $c > [mm] 0\,$ [/mm] und ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] so gibt, dass
[mm] $\left|(-1)^n \frac{n^2}{2^n}\right|$ $\le$ $c*\frac{1}{n}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0\,.$
[/mm]
Fred liefert dahingehend eigentlich eine *straight forward* Methode, aber
Du kannst auch ein wenig rumprobieren, und Dein Ergebnis per vollständiger
Induktion beweisen.
Es geht dahingehend auch folgendes:
[mm] $\frac{n^2}{2^n} \le c*\frac{1}{n}$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] $c [mm] \ge \frac{n^3}{2^n}\,.$
[/mm]
Das legt nun nahe, sich mal die Funktion
[mm] $f(x):=x^3/2^x$ [/mm] (es reicht, sich diese auf $x [mm] \ge [/mm] 1$ anzugucken, bzw. eigentlich, sich
sogar auf $x [mm] \in \IN$ [/mm] bei der Untersuchung zu beschränken)
unter die Lupe zu nehmen... Eine Idee, wieso?
P.S. Auch, wenn das nun wesentlich komplizierter am Ende aussieht. Mit
Schulmathematik kommt man hier weiter - denn man sieht, dass die Funktion
$x [mm] \mapsto f(x):=x^3/2^x$
[/mm]
ihr Maximum auf [mm] $[1,\infty)$ [/mm] annimmt. (Mithilfe Deiner Kenntnisse der
Schulmathematik solltest Du dahingehend auch *rechnen* können, wo,
und wieso, etc. pp.) Den Beweis solltest Du natürlich nicht so aufziehen,
denn vermutlich habt ihr noch nichts über Differentialrechnung etc.
behandelt. Zum "Auffinden" eines geeigneten $c > [mm] 0\,$ [/mm] und eines zugehörigen
[mm] $n_0$ [/mm] wie oben kann man das dennoch machen. Wenn man das beim
Beweis nicht erwähnt, dann ist das halt *verschleiert*, das heißt, die
Zahlen sind "magic numbers".
Beim Induktionsbeweis, dass sie das erfüllen, was Du haben willst, brauchst
Du ja nirgends zu erwähnen, wie Du auf sie gekommen bist. Vielleicht sind
*sie ja vom Himmel gefallen*... wer weiß?
Gruß,
Marcel
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