Konvergenzradien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Do 12.01.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hallo, komme mit folgenden Aufgaben nicht klar:
Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen
1.)
[mm] \summe_{i=0}^ {\infty} \bruch{ \wurzel[2]{n+5}}{ 4^{n}}x^{n}
[/mm]
2)
[mm] \summe_{i=1}^ {\infty} \bruch{1}{3^{n}*n^{2}}x^{2n+1}
[/mm]
würde mich freuen wenn mir jemand mal eine der aufgaben rechnen würde oder zumindest sagen, wie ich da rangehen soll,
MFG
Kuminitu
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Hallo kuminitu,
> Hallo, komme mit folgenden Aufgaben nicht klar:
>
> Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen
> 1.)
> [mm]\summe_{i=0}^ {\infty} \bruch{ \wurzel[2]{n+5}}{ 4^{n}}x^{n}[/mm]
>
> 2)
> [mm]\summe_{i=1}^ {\infty} \bruch{1}{3^{n}*n^{2}}x^{2n+1}[/mm]
>
> würde mich freuen wenn mir jemand mal eine der aufgaben
> rechnen würde oder zumindest sagen, wie ich da rangehen
> soll,
hier hilft das ![[]](/images/popup.gif) Quotientenkriterium weiter.
Gruß
MathePower
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Hallo,
ich zeig's dir mal am 2. Beispiel:
Man betrachtet ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=:q.
[/mm]
Ist q<1, dann konvergiert die Reihe. Also sehen wir mal. Wenden wir das Quotientenkriterium mal an:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3^{n}n^{2}}{3^{n+1}(n+1)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^{2}}{3n^{2}+6n+3}
[/mm]
Jetzt [mm] n^{2} [/mm] unten ausklammern, kürzen und lim betrachten. Dann kriegst du für q einen Wert <1 raus. Nach dem Satz von Cauchy-Hadamard gilt dann für den Konvergenzradius R
[mm] R=\bruch{1}{q}.
[/mm]
Und das gibt dann...!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Sa 14.01.2006 | | Autor: | kuminitu |
Danke erstmal für die Antwort,
leider war die Aufgabe unvollständig, da das [mm] x^{2n +1} [/mm] vergessen.
wenn ich damit rechne komme ich auf
$ [mm] =\bruch{n^{2}*x^{2}}{3n^{2}+6n+3} [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Sa 14.01.2006 | | Autor: | kuminitu |
ich glaube da hilft das Quotientenkriterium nicht,
was kann man da machen????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo kuminitu!
Das hat Dir mathmetzsch doch schon fast zu Ende gerechnet ...
[mm] $\summe_{i=1}^ {\infty} \bruch{1}{3^{n}*n^{2}}*x^{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] x*\summe_{i=1}^ {\infty} \bruch{1}{3^{n}*n^{2}}*x^{2n}$
[/mm]
Und bei dem Quotientenkriterium nimmt man nur die Koeffizientenfolge [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3^n*n^2}$
[/mm]
(also ohne $x_$ bzw. [mm] $x^{2n}$).
[/mm]
$q \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2}{3n^2+6n+3}$
[/mm]
Was erhältst Du denn hier als Grenzwert für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] ?
Bei einem Grenzwert $q_$ , der (echt) kleiner als $1_$ ist, konvergiert die Reihe.
Der Konvergenzradius $R_$ ergibt sich dann als Kehrwert dieses Grenzwertes $q_$ . Allerdings musst Du noch berückichtigen, dass die Reihe über [mm] $x^{\red{2}}$ [/mm] entwickelt wird.
Also: $R \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{q}\right)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{q}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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