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| Aufgabe 1 | | Wie substituiert man bei der Bestimmung von Potenzradien [mm] z^{k^m}? [/mm] Und wie zurück? |
| Aufgabe 2 | | gleiches Problem bei [mm] z^{k!} [/mm] |
| Aufgabe 3 | und zuletzt diese:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{a_k}{k!}z^k [/mm] |
Bitte nur um einen kurzen Tipp. danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Fr 16.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie substituiert man bei der Bestimmung von Potenzradien
> [mm]z^{k^m}?[/mm] Und wie zurück?
> gleiches Problem bei [mm]z^{k!}[/mm]
> und zuletzt diese:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{a_k}{k!}z^k[/mm]
bei der letzten steht doch schon alles so da, wie Du es brauchst. Berechne
dort
[mm] $\left(\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k/k!|}\right)^{-1}$.
[/mm]
> Bitte nur um einen kurzen Tipp. danke.
Ich mach's mal allgemein:
Gegeben sei eine streng monoton wachsende Funktion
[mm] $\phi \colon \IN_0 \to \IN_0$
[/mm]
und damit die "Potenzreihe"
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k z^{\phi(k)}\,,$
[/mm]
die noch nicht wirklich als Potenzreihe ersichtlich ist. Wir setzen
[mm] $b_k=0$ [/mm] für alle $k [mm] \in J:=\IN_0 \setminus \phi(\IN_0)$.
[/mm]
Weiter: Für $k [mm] \in \IN_0 \setminus J=\phi(\IN_0)$ [/mm] gilt: Es existiert (genau) ein [mm] $\ell \in \IN_0$ [/mm] mit
[mm] $k=\phi(\ell)$.
[/mm]
Für diese $k [mm] \in \phi(\IN_0)$ [/mm] sei
[mm] $b_k:=b_{\phi(\ell)}:=a_{\ell}\,.$
[/mm]
Die Reihe
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k z^{\phi(k)}$
[/mm]
ist konvergent dann und nur dann, wenn
[mm] $\sum_{k=0}^\infty b_k z^k$
[/mm]
konvergiert, und im Falle der Konvergenz stimmen die Grenzwerte der
beiden Funktionenreihen überein.
Letztstehende Reihe ist aber eine Potenzreihe (mit "Kreismittelpunkt" [mm] $z_0=0$), [/mm] so
dass sich deren Konvergenzradius berechnet aus
[mm] $\left(\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|b_k|}\right)^{-1}\,.$
[/mm]
Der [mm] $\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|b_k|}$ [/mm] wird aber *nur durch die $k [mm] \in \phi(\IN_0)$* [/mm] "kontrolliert", sodass
[mm] $\displaystyle \left(\limsup_{\ell \to \infty} \sqrt[\phi(\ell)]{|b_{\phi(\ell)}|}\right)^{-1}=\left(\limsup_{\ell \to \infty} \sqrt[\phi(\ell)]{|a_\ell|}\right)^{-1}$ [/mm] (dort steht die [mm] "$\phi(\ell)$-te [/mm] Wurzel" - das ist schwer zu lesen!)
der zu berechnende Konvergenzradius ist.
Sieht jetzt vielleicht "krass" aus, aber machen wir mal ein Beispiel: Gegeben
sei
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k z^{k^2}\,.$
[/mm]
(Hier ist also [mm] $\phi(k)=k^2\,.$)
[/mm]
Wir schreiben
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k z^{k^2}=a_0z^0+a_1z^1+a_2z^4+a_3z^9+...$
[/mm]
um in
[mm] $\sum_{k=0}^\infty b_k z^k=b_0z^0+b_1z^1+b_2z^2+...+b_9z^9+b_{10}z^{10}+...$,
[/mm]
indem wir
[mm] $b_0:=a_0$, $b_1:=a_1,$ $b_2:=b_3:=0$, $b_4:=a_2$, $b_5:=...:=b_8:=0$, $b_9:=a_3$, [/mm] usw.
setzen. Dann hat die letztstehende Potenzreihe den Konvergenzradius
[mm] $\frac{1}{\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|b_k|}}=\frac{1}{\limsup_{\ell \to \infty} \sqrt[\phi(\ell)]{|a_\ell|}}=\frac{1}{\limsup_{\ell \to \infty} \sqrt[\ell^2]{|a_\ell|}}$.
[/mm]
Ein einfacheres Beispiel: Wenn Du Dir etwa
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k z^{7k}$
[/mm]
anschaust, dann kannst Du Dir ja mit der Substitution [mm] $w:=z^7$ [/mm] einfach
[mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k w^k$
[/mm]
anschauen. Die letztstehende Reihe hat Kgz-Radius
[mm] $R_w:=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|}}$
[/mm]
in [mm] $w=z^7\,,$ [/mm] also ist der Kgz.-Radius bzgl. [mm] $z\,$ [/mm] gegeben durch
[mm] $R_z:=\sqrt[7]{R_w}\,.$
[/mm]
Mit meiner obigen Methode können wir [mm] $R_z$ [/mm] aber auch ausrechnen: Es gilt
[mm] $\phi(k)=7k$ [/mm] und daher ist
[mm] $\displaystyle R_z=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty} \sqrt[\phi(k)]{|a_k|}}=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty} \sqrt[7 \cdot k]{|a_k|}}=\left(\frac{1}{\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|}}\right)^{1/7}=(R_w)^{1/7}\,.$
[/mm]
Das Gleiche Ergebnis also!
P.S. Vielleicht hilft Dir auch
diese alte Antwort meinerseits
bzw. auch der zugehörige Thread!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 So 18.01.2015 | | Autor: | mathe-assi |
Danke für die ausführliche Antwort. Vieles wird dadurch verständlicher.
Die letzte Aufgabe hatte ich schon selbst gelöst. Da musste ja gar nichts substituiert werden! Ich habe allerdings mit Quotienten gearbeitet.
Deinen alten Beitrag lese ich auch noch - jetzt gibt es schon wieder "neue Ufer": Stetigkeit. Der Prof muss Gas geben, weil er anfangs dies und das (Topologie etc.) gemacht hat und jetzt ist jede Woche was Neues, weil er sonst nicht alle Themen schafft1
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