Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Chiko123 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Reihen und untersuchen Sie die Reihen auch auf den Ra ̈ndern des Konvergenzintervalls auf ihr Verhalten.
[mm] \sum_ {n=0}^{infinity} n^k * x^n [/mm] für ein k element von natürlichen Zahlen |
Hallo,
Ich hätte eine Frage zu der gegebenen Aufgabenstellung:
Ich nehme an das der Entwicklungspunkt x0 = 0 ist , man sieht das wenn man die Reihe auf die Potenzreihe umformt.
Mein nächster Schritt war es das Quotentienkriterium anzuwenden auf ,,an "was in diesem fall [mm] n^k [/mm] ist.
also ergibt das [mm] \left ⎜ n^k * \bruch {1} {(n+1)^k} \right ⎜ [/mm]
(das ganze in Betrag, irgendwie funktioniert das bei mir net richtig)
Ich weiss jetzt nicht wie ich weitermachen soll ich dachte erst [mm] (n+1)^k [/mm] wie ein Binom auszuformulieren aber k kann ja alle werte annehmen, also wäre eine ,,einfache" binomische Formel ja falsch.
Bin für jede Hilfe dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Mi 11.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Reihen und
> untersuchen Sie die Reihen auch auf den Ra ̈ndern des
> Konvergenzintervalls auf ihr Verhalten.
>
> [mm]\sum_ {n=0}^{infinity} n^k * x^n[/mm] für ein k element von
> natürlichen Zahlen
> Hallo,
>
> Ich hätte eine Frage zu der gegebenen Aufgabenstellung:
>
> Ich nehme an das der Entwicklungspunkt x0 = 0 ist , man
> sieht das wenn man die Reihe auf die Potenzreihe umformt.
??? Das IST doch bereits eine Potenzreihe!
>
> Mein nächster Schritt war es das Quotentienkriterium
> anzuwenden auf ,,an "was in diesem fall [mm]n^k[/mm] ist.
>
> also ergibt das [mm]\left ⎜ n^k * \bruch {1} {(n+1)^k} \right ⎜[/mm]
>
> (das ganze in Betrag, irgendwie funktioniert das bei mir
> net richtig)
Also, wenn du das Quotientenkriterium anwenden möchtests, dann musst du schon die kompletten Folgenglieder berücksichtigen, also auch die Potenzen von x. Wenn du dann untersuchst, für welche Werte von x der betreffende Quotient kleine als 1 ist, dann landest du bei der dir sicher auch bekannten "Formel" für den Konvergenzradius einer Potenzreihe:
[mm] $r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|{\br{a_n}{a_{n+1}}}\right|$
[/mm]
welche dann gilt, wenn die Glieder [mm] a_n [/mm] ab einem bestimmten Index allesamt ungleich Null sind und dieser Grenzwert existiert.
In deinem Fall sind mit [mm] $a_n=n^k$ [/mm] diese Voraussetzungen erfüllt.
> Ich weiss jetzt nicht wie ich weitermachen soll ich dachte
> erst [mm](n+1)^k[/mm] wie ein Binom auszuformulieren aber k kann ja
Lieber nicht!
> alle werte annehmen, also wäre eine ,,einfache" binomische
> Formel ja falsch.
??? Was ist eine "einfache" binomische Formel?
k ist ja laut Voraussetzung eine natürliche Zahl, also gibts da schon eine relative einfache Formel.
[mm] $(a+b)^k=\summe_{i=0}^{k}\left[{\vektor{k \\ i}*a^{k-i}*b^i}\right]$
[/mm]
Es wäre nur nicht besonders geschickt und hilfreich, sie hier anzuwenden.
> Bin für jede Hilfe dankbar :)
Vielleicht hilft zur Berechnung des Konvergenzradius wie oben angegeben der Hinweis
[mm] $\br{n^k}{(n+1)^k}=\left({\br{n}{n+1}}\right)^k$
[/mm]
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Chiko123 |
Mit der Potenzreihe meine ich das:
[mm] \sum_ {k=0}^{infinity} ak* (x-x0)^k [/mm]
Mit deinem Hinweis würde ich jetzt den Limes anwenden dann würde der Term ja gegen 1 laufen, also ist das Intervall [ -1,1]
Ist das so korrekt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Chiko123 |
ja ich meine den Grenzwert da ja der Term [mm] \bruch {n} {n+1} [/mm] für Limes n --> infinity gegen 1 geht, also ist der Grenzwert 1
Ich dachte das Intervall entsteht jetzt aus x0 Entwicklungspunkt+ Grenzwert und x0 - Grenzwert
x0 = 0 also 0+1 = 1 und 0-1 = -1 !?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mi 11.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> ja ich meine den Grenzwert da ja der Term [mm]\bruch {n} {n+1}[/mm]
> für Limes n --> infinity gegen 1 geht, also ist der
> Grenzwert 1
>
> Ich dachte das Intervall entsteht jetzt aus x0
> Entwicklungspunkt+ Grenzwert und x0 - Grenzwert
>
> x0 = 0 also 0+1 = 1 und 0-1 = -1 !?
Soweit richtig. Und die Ränder des sich so ergebenden Intervalls stellen genau jene x-Werte dar, für die das Quotientenkriterium "1" liefern würde. Somit ist die Konvergenz dort noch nicht bestimmt.
Ich darf auch aus deiner Aufgabenstellung zitieren: "... und untersuchen Sie die Reihen auch auf den Rändern des Konvergenzintervalls auf ihr Verhalten."
Du musst daher noch die beiden Reihen, die sich für $x =-1$ und $x =+1$ ergeben gesondert auf Konvergenz untersuchen.
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Chiko123 |
Achso ja also ist erstmal das Intervall ] -1, 1[
für x =1 ist das dann :[mm] \sum_ {n=0}^{infinity} n^k * (1)^n = \sum_ {n=0}^{infinity} n^k [/mm]
da ja [mm] 1^n [/mm] immer 1 ist egal was für ein n es ist also Divergenz
das selbe für x=-1 ergibt [mm] \sum_ {n=0}^{infinity} (-1)^n [/mm] * [mm] n^k [/mm] auch Divergent also bleibt das Intervall wie gehabt
Bitte net spotten wenn was net stimmt, ich tue mich mit dem Thema Reihen echt schwer ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 11.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Achso ja also ist erstmal das Intervall ] -1, 1[
>
>
> für x =1 ist das dann :[mm] \sum_ {n=0}^{infinity} n^k * (1)^n = \sum_ {n=0}^{infinity} n^k[/mm]
>
> da ja [mm]1^n[/mm] immer 1 ist egal was für ein n es ist also
> Divergenz
Das ist zwar richtig, die Begründung würde mir allerdings nicht reichen. Du ignorierst ja die Summanden [mm] n^k [/mm] völlig.
> das selbe für x=-1 ergibt [mm]\sum_ {n=0}^{infinity} (-1)^n[/mm] *
> [mm]n^k[/mm] auch Divergent also bleibt das Intervall wie gehabt
Auch richtig, aber die ausreichende Begründung fehlt auch hier.
Welche Kriterien für Konvergenz oder Divergenz von Reihen kennst du und welches wäre hier anwendbar?
> Bitte net spotten wenn was net stimmt, ich tue mich mit dem
Liegt mir fern.
> Thema Reihen echt schwer ;)
Kein Problem, deshalb bist du ja hier.
Übrigens: Wenn du [mm] $\backslash{infty}$ [/mm] anstelle von $infinity$ schreibst, bekommst du ein schönes [mm] $\infty$ [/mm] Zeichen 
Gruß Rmix
PS: Kann es sein, dass deine Frage ursprünglich nur eine Mitteilung war oder hab ich irrtümlich eine Mitteilung anstelle einer Antwort geschrieben?
Nun, jedenfalls kann ich selbst diesen Status nicht ändern. Vielleicht kanns ein Mod erledigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Chiko123 |
Generell muss es ja eine Nullfolge sein damit Konvergenz in Frage kommt.
das heißt beim Fall x=1 wird ja der Summand [mm] n^k [/mm] immer größer für immer größer werdende n, also lim n--> unendlich
Das heißt es läuft gegen + unendlich und ist somit keine Nullfolge also divergent
für den Fall x=-1 ist ja einmal das [mm] (-1)^n [/mm] , das heißt es wechseln sich -1 und 1 ab, laut Definition ist [mm] (-1)^n [/mm] divergent, für [mm] n^k [/mm] läuft es wieder gegen +unendlich gesamt gesehen = Divergenz
Ich weiß nicht , ob das so genug begründet ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mi 11.03.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Generell muss es ja eine Nullfolge sein damit Konvergenz in
> Frage kommt.
genau.
>
> das heißt beim Fall x=1 wird ja der Summand [mm]n^k[/mm] immer
> größer für immer größer werdende n, also lim n-->
> unendlich
>
> Das heißt es läuft gegen + unendlich und ist somit keine
> Nullfolge also divergent
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Summanden bilden keine Nullfolge [mm] \Rightarrow [/mm] die Reihe divergiert.
Wie sauber Du das formulieren und notieren musst hängt natürlich stark davon ab, wer das korrigiert. So wie es im Moment dasteht müsste wohl selbst ich ein Auge zudrücken - und ich bin kein Mathematiker.
>
> für den Fall x=-1 ist ja einmal das [mm](-1)^n[/mm] , das heißt es
Du musst die folge [mm] $a_n=n^k(-1)^n$, [/mm] nicht bloß [mm] $(-1)^n$.
[/mm]
> wechseln sich -1 und 1 ab, laut Definition ist [mm](-1)^n[/mm]
Das nennt man "alternieren".
> divergent, für [mm]n^k[/mm] läuft es wieder gegen +unendlich
Dass die Folge [mm] $a_n=(-1)^n$ [/mm] divergent ist stimmt, das interessiert hier aber nur indirekt. Genauso stimmt: [mm] $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$, [/mm] mit [mm] $a_n=n^k$ [/mm] (sofern man die 0 nicht zu den nat. Zahlen zählt)
Aber: Was Du in Worten schreibst gilt nicht, denn:
[mm] $\lim_{n\to\infty}a_n\neq\infty$, [/mm] mit [mm] $a_n=n^k(-1)^n$
[/mm]
> gesamt gesehen = Divergenz
>
> Ich weiß nicht , ob das so genug begründet ist
Ich unterstelle mal, dass Du das richtige meinst. Am sauber aufschreiben solltest Du aber noch arbeiten.
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 So 15.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Chiko,
> Generell muss es ja eine Nullfolge sein damit Konvergenz in
> Frage kommt.
>
> das heißt beim Fall x=1 wird ja der Summand [mm]n^k[/mm] immer
> größer für immer größer werdende n, also lim n-->
> unendlich
>
> Das heißt es läuft gegen + unendlich und ist somit keine
> Nullfolge also divergent
>
> für den Fall x=-1 ist ja einmal das [mm](-1)^n[/mm] , das heißt es
> wechseln sich -1 und 1 ab, laut Definition ist [mm](-1)^n[/mm]
> divergent, für [mm]n^k[/mm] läuft es wieder gegen +unendlich
> gesamt gesehen = Divergenz
>
> Ich weiß nicht , ob das so genug begründet ist
jein. Für [mm] $x=1\,$ [/mm] lese ich raus, dass Du meinst:
Die Reihe
[mm] $\sum_{n=...}^\infty n^k$
[/mm]
divergiert, weil [mm] $n^k \to \infty$. [/mm] NOTWENDIG für die Konvergenz der Reihe wäre
aber [mm] $n^k \to [/mm] 0$ (alles bei $n [mm] \to \infty$). [/mm] ("Trivialkriterium!")
Für $x=-1$ könntest Du sagen: Die (alternierende) Reihe
[mm] $\sum_{n=...}^\infty (-1)^n n^k$
[/mm]
divergiert, weil [mm] $(-1)^n n^k \red{\;\not\to\;}0$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Um letzteres zu begründen gibt es (mindestens) zwei Wege:
1. Weg: Würde [mm] $(-1)^n n^k \to [/mm] 0$ gelten, dann auch [mm] $|(-1)^n n^k| \to 0\,.$ [/mm] Aber es
ist ja [mm] $|(-1)^n n^k|=n^k \to \infty$!
[/mm]
2. Weg: Argumentiere einfach mal mit
[mm] $((-1)^n n^k)_\substack{m=2n \\ n \in \IN}$
[/mm]
und
[mm] $((-1)^n n^k)_\substack{ m=2n-1 \\ n \in \IN}$.
[/mm]
Hierbei gibt es auch noch zwei Möglichkeiten, wie man weiterargumentieren
kann:
1. Alternative: Wenn die Ausgangsfolge eine Nullfolge ist, dann ist jede dieser
beiden Folgen auch eine Nullfolge. Es reicht also, zu zeigen, dass eine dieser
beiden Teilfolgen (der Ausgangsfolge) keine Nullfolge ist.
2. Alternative: Es reicht, zu zeigen, dass die beiden Teilfolgen nicht gegen
den gleichen Grenzwert konvergieren. Dann ist die Ausgangsfolge selbst
schon divergent, damit insbesondere keine Nullfolge!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Do 12.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Reihen und
> untersuchen Sie die Reihen auch auf den Ra ̈ndern des
> Konvergenzintervalls auf ihr Verhalten.
>
> [mm]\sum_ {n=0}^{infinity} n^k * x^n[/mm] für ein k element von
> natürlichen Zahlen
hier mal eine *Vorlage* für's saubere Aufschreiben:
1. es gilt
[mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty,$
[/mm]
damit auch
[mm] $\sqrt[n]{n^k} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] sofern $k [mm] \in \IN$ [/mm] fest (insbesondere unabhängig von $n$).
Frage an Dich: Wie(so) folgt das?
2. [mm] $\sum_{n=0}^\infty n^k x^n=\sum_{n=0}^\infty r_n (x-0)^n$ [/mm] mit [mm] $r_n:=n^k$ [/mm] für $n [mm] \in \IN_0$.
[/mm]
3. Cauchy-Hadamard liefert den Konvergenzradius
[mm] $\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|r_n|}}=\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n^k}}=...$
[/mm]
(die erste Gleichheit sollte begründet werden; bzw. anders gesagt: Denke
drüber nach, wann man limsup=lim schreiben darf).
P.S. Im Endeffekt ist Cauchy-Hadamard ist auch nichts anderes als eine
Anwendung des Wurzelkriteriums!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Sa 14.03.2015 | | Autor: | Chiko123 |
Cauchy Hadamard haben wir gar nicht gemacht, sondern eig immer mit Quotientenkriterium
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Falsch!
