Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen. Hierbei sei x [mm] \in [/mm] R und [mm] z\in [/mm] C.
a)
[mm] i)\summe_{k=0}^{\infty} (k^{4}-4k^{3})x^{k}
[/mm]
[mm] ii)\summe_{k=0}^{\infty}(4+(-1)^{k})^{-3k}z^{5k}
[/mm]
[mm] iii)\summe_{k=1}^{\infty} a_{k} x^{k} [/mm] mit
[mm] a_{k}=(k/k+1)^{k}, [/mm] falls k =3n-2
[mm] (\bruch{5}{(+2)!}) [/mm] falls k = 3n-1
[mm] \bruch{3}{k} [/mm] falls k=3n |
Ich weis irgendwie garnicht wie man dies berechnet! Grübel da jetzt schon seit stdn drüber! aber ich bekomm nichtmal den anfang hin! Kann mir jemand helfen? Vielen Dank!
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> Bestimmen sie die Konvergenzradien der folgenden
> Potenzreihen. Hierbei sei x [mm]\in[/mm] R und [mm]z\in[/mm] C.
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> a)
> [mm]i)\summe_{k=0}^{\infty} (k^{4}-4k^{3})x^{k}[/mm]
>
> [mm]ii)\summe_{k=0}^{\infty}(4+(-1)^{k})^{-3k}z^{5k}[/mm]
>
> [mm]iii)\summe_{k=1}^{\infty} a_{k} x^{k}[/mm] mit
> [mm]a_{k}=(k/k+1)^{k},[/mm] falls k =3n-2
> [mm](\bruch{5}{(+2)!})[/mm] falls k = 3n-1
> [mm]\bruch{3}{k}[/mm] falls k=3n
> Ich weis irgendwie garnicht wie man dies berechnet! Grübel
> da jetzt schon seit stdn drüber! aber ich bekomm nichtmal
> den anfang hin! Kann mir jemand helfen? Vielen Dank!
Hallo,
da in vielen Büchern und auch ![[]](/images/popup.gif) hier steht, was der Konvergenzradius ist, und wie man ihn berechnen kann, halte ich es für müßig, das hier nochmal aufzuschreiben.
Ich würde vorschlagen, Du hörst auf zu grübeln, machst Dich diesbezüglich schlau und beginnst mit der Lösung der Aufgaben.
Wenn's dann an konkreten Stellen hängt, wird Dir hier wahrscheinlich jemand weiterhelfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:11 Mi 14.02.2007 | | Autor: | KaiTracid |
naja diese "Formeln" kenn ich auch...stehen ja auch im Skript! Nur weis ich eben nicht genau, wie man die darauf anwenden soll!
da wo es eben bei mir hängt ist wohl gerade deiser anfang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Mi 14.02.2007 | | Autor: | KaiTracid |
zu i) hab ich jetzt so mal angefangen: r= lim [mm] \bruch{(k^4-4k³)x^4}{(k+1)^4 - 4(k+1)³)x^{k+1}}
[/mm]
[mm] x^k [/mm] kann ich kürzen -> [mm] \bruch{(k^4-4k³)}{(k+1)^4 - 4(k+1)³)x^{k}}
[/mm]
aber wie komm ich jetzt auf r? oder wie kann man des wieetr vereinfachen?
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Hallo
OHNE die x mit reinzunehmen (siehe meinen post)
einfach [mm] \left|\bruch{(k+1)^4-4(k+1)^3}{k^4-4k^3}\right| [/mm] mal vereinfachen und dann den Grenzübergang machen
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also [mm] k^4 [/mm] ausgeklammert hab ich dann sowas da stehen:
[mm] \bruch{k^4(1-4/k)}{k^4(4/k + 6/k² + 4/k³ + 1/k^{4}}
[/mm]
[mm] k^4 [/mm] könnt ich ja dann kürzen!
für k -> unendlich würde dann das ganze gegen 1/0 gehen, d.h. mein radius wäre [mm] \infty
[/mm]
stimmt des so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mi 14.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kai!
Da ist beim Umformen und/oder beim Ausklammern im Nenner irgendetwas schief gelaufen. Schließlich haben wir auch im Nenner die höchste Potenz mit [mm] $k^{\red{4}}$ [/mm] , so dass am Ende der Wert $1_$ herauskommen sollte.
Gruß
Loddar
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> Bestimmen sie die Konvergenzradien der folgenden
> Potenzreihen. Hierbei sei x [mm]\in[/mm] R und [mm]z\in[/mm] C.
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> a)
> [mm]i)\summe_{k=0}^{\infty} (k^{4}-4k^{3})x^{k}[/mm]
>
> [mm]ii)\summe_{k=0}^{\infty}(4+(-1)^{k})^{-3k}z^{5k}[/mm]
>
> [mm]iii)\summe_{k=1}^{\infty} a_{k} x^{k}[/mm] mit
> [mm]a_{k}=(k/k+1)^{k},[/mm] falls k =3n-2
> [mm](\bruch{5}{(+2)!})[/mm] falls k = 3n-1
> [mm]\bruch{3}{k}[/mm] falls k=3n
> Ich weis irgendwie garnicht wie man dies berechnet! Grübel
> da jetzt schon seit stdn drüber! aber ich bekomm nichtmal
> den anfang hin! Kann mir jemand helfen? Vielen Dank!
Hallo,
bei (i) versuche mal [mm] l=\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{(k+1)^4-4(k+1)^3}{k^{4}-4k^{3}}\right| [/mm] zu berechnen (Tip [mm] k^4 [/mm] ausklammern).
Der Konvergenzradius ist dann [mm] \bruch{1}{l} [/mm] bzw. 0 im Falle [mm] k=\infty [/mm] bzw. [mm] \infty [/mm] im Falle k=0
bei (ii) bestimme [mm] l=\limsup_{k\rightarrow\infty}\left|\wurzel[5k]{(4+(-1)^{k})^{-3k}}\right|
[/mm]
Der Kovergenzradius ist dann wieder [mm] \bruch{1}{l}
[/mm]
bei (iii) würde ich es auch mit Cauchy-Hadamard probieren, jeweils an die Definition der [mm] a_k [/mm] angepasst
Gruß
schachuzipus
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wie kommst du bei i) auf diesen Ansatz?
muss es nicht umgedreht sein? also der Zähler ist der Nenner und umgedreht?
bei ii) d.h. es ist [mm] ((4+(-1)^k)^-3k )^{\bruch{1}{5k}}
[/mm]
[mm] {\bruch{1}{5k}} [/mm] geht ja gegen null für k gegen unednlich!
d.. das ganze geht gegen 1.
der radius wäre dann1?!
ist das so richtig?
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Jo hallo
der Ansatz zu (i) ist das Kriterium von Euler (fast wie das Quotientankriterium)
Wenn man [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|=l [/mm] berechnet, ist der gesuchte Konvergenzradius [mm] \bruch{1}{l}
[/mm]
Du kannst genauso gut [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{{a_n}}{a_{n+1}}\right| [/mm] berechnen, dann haste direkt den Konvergenzradius
In meinem Buch war's halt als [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] definiert
Beim Ausklammern von [mm] k^4 [/mm] im Nenner stimmt noch was nicht:
es ist (nur der Nenner jetzt) [mm] (k+1)^4-4(k+1)^3=k^4+4k^3+6k^2+4k^3+1-4(k^3+3k^2+3k+1)=k^4(1+\bruch{4}{k}+\bruch{6}{k^2}+\bruch{4}{k^3}+\bruch{1}{k^4}-\bruch{4}{k}-\bruch{12}{k^2}-\bruch{12}{k^3}-\bruch{4}{k^4})
[/mm]
Das Ding geht also gegen [mm] \bruch{1}{1}, [/mm] also Kgzradius 1
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:17 Mi 14.02.2007 | | Autor: | KaiTracid |
oh ja klar, da hab ich was vergessen!
Danke!
Kannst du mir bei ii) auch noch weiter helfen?
weil nach meinem argument von oben würde ja jede Reihe gegen 1 gehen
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> wie kommst du bei i) auf diesen Ansatz?
> muss es nicht umgedreht sein? also der Zähler ist der
> Nenner und umgedreht?
>
> bei ii) d.h. es ist [mm]((4+(-1)^k)^-3k )^{\bruch{1}{5k}}[/mm]
>
> [mm]{\bruch{1}{5k}}[/mm] geht ja gegen null für k gegen unednlich!
> d.. das ganze geht gegen 1.
> der radius wäre dann1?!
> ist das so richtig?
Hmmm, [mm] \wurzel[5k]{(4+(-1)^k)^{-3k}}=\left(\bruch{1}{\left((4+(-1)^k)\right)^{3k}}\right)^{\bruch{1}{5k}}=\bruch{1}{\left((4+(-1)^k)\right)^{\bruch{3k}{5k}}}=\bruch{1}{\left((4+(-1)^k)\right)^{\bruch{3}{5}}}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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folgt dann daraus, dass der limes sup [mm] \bruch{1}{3}^{\bruch{3}{5}} [/mm] ist?!
Weil ja entweder in der klammer 3 oder 5 rauskommt!
der radius wäre dann [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{3}^{\bruch{3}{5}} }
[/mm]
d.h. r= [mm] 3^{3/5}
[/mm]
wäre des so richtig?
oder denk ich irgendwie falsch?
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> folgt dann daraus, dass der limes sup
> [mm]\bruch{1}{3}^{\bruch{3}{5}}[/mm] ist?!
> Weil ja entweder in der klammer 3 oder 5 rauskommt!
> der radius wäre dann [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{3}^{\bruch{3}{5}} }[/mm]
>
> d.h. r= [mm]3^{3/5}[/mm]
>
> wäre des so richtig?
> oder denk ich irgendwie falsch?
Moin, das denke ich auch, [mm] \bruch{1}{limsup} [/mm] ist [mm] \wurzel[5]{27}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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bei iii) dachte ich mir folgendes:
ich setze einfach die k´s ein, die gegeben sind
bei der ersten folge wäre dies ja dann:
[mm] \bruch{3n-2}{3n-1}^{3n-2}
[/mm]
r=lim [mm] (\bruch{6n²-3n-2}{6n²+3n-2} [/mm] d.h. das ganze geht gegen 1 -> r=1
stimmt das so?
vielen dank
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Hallo nochmal,
ich würde folgendes machen,
untersuche, ob
(1) [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[3n]{\bruch{3}{n}}
[/mm]
(2) [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[3n-1]{\bruch{5}{2!}} [/mm] (wenn ich das richtig gelesen habe)
(3) [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[3n-2]{\left(\bruch{n}{n+1}\right)^n}
[/mm]
Berechne die 3 Kovergenzradien, die "komplette" Reihe müsste doch dann eigentlich auf dem Minimum dieser 3 Werte konvergieren
Gruß
schachuzipus
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also bei 1) hab ich lim = 1
denn des innere der klammer geht gegen 0 und die hochzahl geht gegen 0 bei dem Bruch : [mm] \bruch{3}{n}^{\bruch{1}{3n}} [/mm]
2) (des sollte k+2 heisen)
da hab ich den Grenzwert 0 raus
3) hab ich den Grenzwert 1 raus
stimmt das?
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jo das erste Teil geht gegen 1
Gruß
schachuzipus
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sind die anderen beiden auch richtig?
Vielen Dank für die Hilfe!
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hmmm, ja glaube schon so auf den ersten Blick, aber zeige mal deinen Rechenweg. Hab keine rechte Lust das vollständig auszurechnen ;)
Gruß
schachuzipus
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2) [mm] \bruch{5}{(n+2)!}) [/mm] ^{1/3n-1} , der Ausdruck in der Klammer geht ja gegen 0, die Hochzahl gegen 0 d.h. -->1
3) [mm] (\bruch{n}{n+1})^{1/2n-2} [/mm] das innere der klammer geht gegen 1 die hochzahl gegen 0, d.h. --->1
(mit der 0 oben hab ich falsch gerechnet)
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> 2) [mm]\bruch{5}{(n+2)!})[/mm] ^{1/3n-1} , der Ausdruck in der
> Klammer geht ja gegen 0, die Hochzahl gegen 0 d.h. -->1
>
> 3) [mm](\bruch{n}{n+1})^{1/2n-2}[/mm] das innere der klammer geht
> gegen 1 die hochzahl gegen 0, d.h. --->1
>
> (mit der 0 oben hab ich falsch gerechnet)
>
>
>
Hallo KaiTracid,
(1) [mm] \mapsto [/mm] 1 ist richtig
(2) stimmt glaube ich nicht:
bekannt ist, dass [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{\bruch{1}{k!}}=0 [/mm] ist und [mm] \wurzel[k]{\bruch{1}{k!}}=(k!)^{-\bruch{1}{k}}=e^{-\bruch{1}{k}ln(k!)}, [/mm] [denn [mm] a^b=e^{bln(a)}]
[/mm]
Nun haben wir hier [mm] \wurzel[3k-1]{\bruch{1}{(k+2)!}}
[/mm]
Das würde ich gerne vereinfachen: Die -1 und die +2 spielen nicht so eine entscheidende Rolle bei der Grenzbetrachtung, also untersuchen wir
[mm] \wurzel[3k]{\bruch{1}{k!}} [/mm] Was zieht schneller? Die 3k die Wurzel gegen 1 oder das k! den Bruch gegen 0?
Nun: [mm] \wurzel[3k]{\bruch{1}{k!}}=(k!)^{-\bruch{1}{3k}}=e^{-\bruch{1}{3k}ln(k!)}=e^{\bruch{1}{3}(-\bruch{1}{k}ln(k!))}
[/mm]
Da oben steht, dass [mm] \wurzel[k]{\bruch{1}{k!}}, [/mm] also [mm] e^{-\bruch{1}{k}ln(k!)} [/mm] gegen 0 geht, strebt [mm] -\bruch{1}{k}ln(k!) [/mm] gegen [mm] -\infty [/mm] ,also strebt auch [mm] \bruch{1}{3}(-\bruch{1}{k}ln(k!)) [/mm] gegen [mm] -\infty [/mm] und damit [mm] \wurzel[3k]{\bruch{1}{k!}} [/mm] gegen 0
Also sollte auch [mm] \wurzel[3k-1]{\bruch{1}{(k+2)!}} [/mm] gegen 0 gehen.
dh der Konvergenzradius ist [mm] \bruch{1}{0}=\infty
[/mm]
puh ;)
So und (3) geht gegen 1, das stimmt auch.
Nun haben wir 3 Kovergenzradien: 1,1 und [mm] \infty
[/mm]
Die "komplette" Reihe konvergiert nun sicher für [mm] |x|
Was ist aber für |x|>1? Wir wissen, dass die beiden Teireihen [mm] \summe{\bruch{3}{k}x^{3k}} [/mm] und [mm] \summe{(\bruch{k}{k+1})^kx^{3k-2}} [/mm] divergieren.
Was aber wenn die eine gegen [mm] +\infty [/mm] und die andere gegen [mm] -\infty [/mm] divergiert? Dann würden sich die Summanden "aufheben" und der Konvergenzradius der "kompletten" Reihe wäre >1, möglicherweise sogar [mm] \infty
[/mm]
Nun betrachten wir mal [mm] \bruch{a_k}{a_{k+1}}=\begin{cases} \bruch{k^k}{(k+1)^k}\bruch{(k+2)!}{5}, & \mbox{für } k=3n-2 \\ \bruch{5}{(k+2)!}\bruch{k}{3}, & \mbox{für } k=3n-1 \\ \bruch{3}{k}\bruch{(k+1)^k}{k^k},& \mbox{für } k=3n \end{cases}
[/mm]
Nun ist [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^k}{(k+1)^k}\bruch{(k+2)!}{5}=\infty
[/mm]
und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{5}{(k+2)!}\bruch{k}{3}=0
[/mm]
Also existiert [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{a_k}{a_{k+1}} [/mm] nicht, da nicht eindeutig!
Somit kann also für |x|>1 die "komplette" Reihe nicht konvergieren, der Konvergenzradius der Reihe ist also 1
So hoffe, das stimmt alles und dass ich mich nicht grob fahrlässig verrechnet habe
Gruß
schachuzipus
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