Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mo 11.06.2007 | | Autor: | zoe |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Konvergenzradius der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{2^{n}}
[/mm]
und berechnen sie s(x) an der Stelle x = 1. |
Hallo zusammen,
ich habe eben diese Aufgabe gerechnet und war mir sehr sicher, dass ich sie richtig gelöst habe, aber mein Ergebnis stimmt nicht mit den vorgegebenen Lösungen überein.
Mein Rechenweg:
Ansatz über [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{u_{n+1}}{u_{n}} [/mm] |
[mm] u_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2(n+1)}}{2^{(n+1)}}
[/mm]
[mm] u_{n} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2n}}{2^n}
[/mm]
Zwischenergebnis:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{x^{2n} * x^2 * 2^n}{2^n * 2 * x^{2n}}
[/mm]
Mit Umformungen komme ich zu dem Ergebnis [mm] |\bruch{1}{2}x^{2}| [/mm] < 1
[mm] |\bruch{1}{2}x^{2}| [/mm] < 1
[mm] |x^{2}| [/mm] < 2
|x| < [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Demnach wäre mein r = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
In den Lösungen kommt aber r = 2 raus.
Beim zweiten Teil stimmt es aber auch nicht mit den Lösungen überein.
Mein Ansatz:
s(1) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1^{2n}}{2^{n}} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1^{n}}{2^{n}} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{2})^{n}
[/mm]
Das wäre dann eine geometrische Reihe mit |x| < 1 und damit wäre die Lösung meiner Ansicht nach gemäß Formel
[mm] \bruch{1}{1 - 0,5} [/mm] = 2
In der Lösung kommen sie aber auf 1 ??
Wo liegt denn mein Denk- bzw. Rechenfehler?
Vielen lieben Dank im voraus für euer Mühe,
*** zoe *** 
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Hallo zoe,
Cauchy-Hadamard bestätigt den Konvergenzradius [mm] \sqrt{2}
[/mm]
denn: [mm] $\sqrt[2n]{\left|\frac{1}{2^n}\right|}=\left[\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]^{\frac{1}{2n}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
[/mm]
Also Konvergenzradius [mm] \sqrt{2}
[/mm]
Wenn der Konvergenzradius 2 wäre müsste die Reihe ja auch für [mm] x=\frac{3}{2} [/mm] konvergieren, aber [mm] \sum\frac{1}{2^n}\left(\frac{3}{2}\right)^{2n}=\sum\left(\frac{9}{8}\right)^n [/mm] und die ist divergent
Bei der zweiten Reihe bedenke, dass die geometrische Reihe bei n=0 losläuft, deine aber erst bei n=1.
Du musst also [mm] \frac{1}{2^0}=1 [/mm] noch abziehen von deinem GW.
Somit passt das mit dem Reihenwert 1
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mo 11.06.2007 | | Autor: | zoe |
| Aufgabe | Bestimmen sie alle reellen Zahlen x, für die die Reihe
S(x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(2x)^{k}}{k}
[/mm]
konvergiert und berechnen sie den Grenzwert S(x) in Abhängigkeit von x.
Hinweis: Berechnen sie zunächst S´(x). |
Danke für die rasche und kompetente Hilfe. Jetzt habe ich den zweiten Teil auch gut verstanden und in meinen Kopf eingebrannt.
Allerdings stolperte ich eben gerade über eine weitere Aufgabe zu diesem Themengebiet. Die Aufgabenstellung ist oben angeführt.
Hier habe ich keine Lösungen zur Kontrolle.
Mein Ansatz wie bei der ersten Aufgabe:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{u_{k+1}}{u_{k}} [/mm] |
mit [mm] u_{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{(2x)^{k+1}}{k+1} [/mm] und
[mm] u_{k} [/mm] = [mm] \bruch{(2x)^{k}}{k}
[/mm]
Zwischenergebnis:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{(2x)^{k} * 2x * k}{(k +1) * (2x)^{k}} [/mm] | = |2x| * [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k}{k+1} [/mm] = |2x|
Daraus folgt für |2x| < 1 ; |x| < 0,5 konvergiert die Reihe.
Was mich nun irritiert ist das S´(x) bzw. die Grenzwertberechnung. Ich hänge da gerade irgendwie fest.
Vielen lieben Dank,
*** zoe ***
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Mo 11.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
berechne doch erstmal s'(x) dann hast du wieder ne geom. Rihe und knnst die Summe integrieren.
Gruss leduart
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