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| Aufgabe | | sei [mm] z\in \IC [/mm] , [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n}}(z+2)^{n} [/mm] ,bestimmen sie die Konvergenzradius dieser Reihe |
ich hab bei dieser aufgabe nach dem ich Wurzelkriterium ausgeführt habe
raus bekomman dass |z+2| <1 im gegensatz zu anderen konvergenzaufgabe handelt sich hierbei um kein z [mm] \in\IR [/mm] sondern um z [mm] \in \IC [/mm]
und [mm] |z|:=\wurzel{a²+ib²}
[/mm]
denn ich würde ich noch sagen |z+2|=|a+ib+2|=|(a+2)+ib|
[mm] =\wurzel{(a+2)²+b²}<1 [/mm] das wäre noch meine letzte umformung ,aber ich treff keine ausage über a oder b , ich hab irgendwie das gefühl das ich etwas falsch gemacht ,deswegen bitte um hilfe
danke voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Sa 05.04.2008 | | Autor: | abakus |
> sei [mm]z\in \IC[/mm] ,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n}}(z+2)^{n}[/mm]
> ,bestimmen sie die Konvergenzradius dieser Reihe
> ich hab bei dieser aufgabe nach dem ich Wurzelkriterium
> ausgeführt habe
>
> raus bekomman dass |z+2| <1 im gegensatz zu anderen
> konvergenzaufgabe handelt sich hierbei um kein z [mm]\in\IR[/mm]
> sondern um z [mm]\in \IC[/mm]
>
> und [mm]|z|:=\wurzel{a²+ib²}[/mm]
Hallo,
in der Betragsberechnung einer komplexen Zahl taucht doch kein i auf.
Viele Grüße
Abakus
>
> denn ich würde ich noch sagen |z+2|=|a+ib+2|=|(a+2)+ib|
> [mm]=\wurzel{(a+2)²+b²}<1[/mm] das wäre noch meine letzte umformung
> ,aber ich treff keine ausage über a oder b , ich hab
> irgendwie das gefühl das ich etwas falsch gemacht ,deswegen
> bitte um hilfe
>
> danke voraus
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Hallo Decehakan,
kleiner Schreibfehler in der ersten Wurzel, ansonsten stimmt deine Umformung.
Du hast also herausbekommen, dass die Reihe konvergiert für alle [mm] $z=a+bi\in\IC$ [/mm] mit [mm] $\sqrt{(a+2)^2+b^2}<1$
[/mm]
Das stimmt !
Quadriere das doch mal...
Vllt. nimmst du auch statt a und b mal x und y, dann erkennst du das geometrische Gebilde im Koordinatensystem sofort 
[mm] $(x+2)^2+y^2\blue{=}1$ [/mm] ist ...., also ist [mm] $(x+2)^2+y^2\red{<}1$ [/mm] ...
*klick*
LG
schachuzipus
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$ [mm] (x+2)^2+y^2\blue{=}1 [/mm] $ was ist das denn 
ich kenne sin²x+cos²x=1 das problem ist dass sich x,y,,das nicht gleich
sein müssen also ich bin fertig mit meiner umformung,(die oben angegebene umformung)?
lg hakan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 So 06.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm](x+2)^2+y^2\blue{=}1[/mm] was ist das denn
ist Dir das klar, oder nicht? Die Randpunkte eines Kreises mit Radius $r$ und Mittelpunkt [mm] $(m_x,m_y)$ [/mm] kann man mittels der Kreisgleichung
[mm] $(x-m_x)^2+(y-m_y)^2=r^2$
[/mm]
beschreiben (im [mm] $\IR^2$). [/mm] Also:
Bei Dir stehen mit [mm] $(x+2)^2+y^2<1$ [/mm] genau alle komplexen Zahlen, die von der komplexen Zahl $-2+0*i=-2$ den Abstand $< 1$ haben, also:
Alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z+2|<1$, also alle $z [mm] \in \IC$, [/mm] die im Inneren des Kreises um die Zahl $-2=-2+i*0$ mit Radius $1$ liegen.
Im euklidischen [mm] $\IR^2$ [/mm] (Zusammenhang: [mm] $\IC$ [/mm] mit [mm] $\IR^2$ [/mm] identifizieren, Stichwort: Gaußebene!) also:
Wenn Du $z=x+i*y [mm] \in \IC$ [/mm] mit $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] identifizierst:
Alle Punkte $(x,y) [mm] \in \IR^2$, [/mm] die im Inneren des Kreises um den Punkt $(-2,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit Radius $1$ liegen.
> ich kenne sin²x+cos²x=1 das problem ist dass sich
> x,y,,das nicht gleich
> sein müssen also ich bin fertig mit meiner umformung,(die
> oben angegebene umformung)?
Was willst Du hier eigentlich noch machen?
Was ich mich sowieso frage (und vielleicht klärt sich das alles ja auch mit obiger Erklärung des "Inneren eines Kreises"):
Du sollst ja den Konvergenzradius bestimmen. Dieser ist hier einfach (ich nenne ihn $R$):
[mm] $R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{\sqrt{n}}\right|}}=\frac{1}{1}=1$
[/mm]
(das sollte man halt genauer begründen).
Nach Cauchy-Hadamard konvergiert die Reihe dann für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z+2|=|z-(-2)|<1$, also alle $z [mm] \in \IC$, [/mm] deren Abstand zur Zahl $-2=-2+i*0$ echt kleiner $1$ ist, und divergiert für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z-(-2)|>1$, also deren Abstand zur Zahl $-2$ echt größer als $1$ ist.
Was Du oben machst, ist einfach nur:
Du wendest das Wurzelkriterium an und erhälst eben die Blaugeschriebene Aussage damit (was ja nicht verwunderlich ist, denn die Definition von [mm] $R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ [/mm] und die dazugehörige Aussage von Cauchy-Hadamard ergibt sich ja gerade durch Anwendung des Wurzelkriteriums), woraus Du damit folgern solltest, dass der Konvergenzradius der Reihe eben $=1$ ist.
Es reicht aber nach der Aufgabenstellung, hier einfach zu begründen, dass
[mm] $R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{\sqrt{n}}\right|}}=\frac{1}{1}=1$
[/mm]
und daher der Konvergenzradius der Reihe einfach $1$ ist.
P.S.:
Beachte bitte:
Deine Reihe konvergiert demnach für alle $z [mm] \in \{w \in \IC: |w-(-2)|<1=R\}$ [/mm] und divergiert für alle $z [mm] \in \{w \in \IC: |w-(-2)|>1=R\}$. [/mm] Das ergibt sich nach Cauchy-Hadamard mit der obigen Berechnung von $R$. Über die $z [mm] \in \{w \in \IC: |z-(-2)|=1|\}$ [/mm] kann man hiermit noch keine Aussage über das Konvergenzverhalten der obigen Reihe machen, d.h.:
Ist [mm] $z_0 \in \IC$ [/mm] mit [mm] $|z_0-(-2)|=|z_0+2|=1$, [/mm] so müssen wir die Reihe "separat" untersuchen, also versuchen, mit irgendwelchen anderen Mitteln eine Konvergenz-/Divergenzaussage der Potenzreihe an der Stelle [mm] $z_0$ [/mm] zu treffen.
Aber Aufgabenstellung lautet doch eigentlich nur (umformuliert):
Berechnen Sie
[mm] $R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ [/mm] für [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n*(z-z_0)^n$ [/mm] (oder meinetwegen auch unterer Startindex $n=1$)
mit [mm] $z_0=-2$ [/mm] und [mm] $a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$
[/mm]
Übrigens:
Du hattest geschrieben:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{\red{n}}}(z+2)^{\red{n}}$
[/mm]
Da meintest Du sicherlich (ich nenne den Laufindex auch mal lieber $k$, weil ich $i$ für die komplexe Einheit immer reserviere, wenngleich es hier klar ist, dass es hier nicht so gemeint sein kann):
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{\blue{k}}}(z+2)^{\blue{k}}$
[/mm]
Hoffe ich
Gruß,
Marcel
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