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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mi 17.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihe:
[mm] \summe_{i=2}^{\infty} \bruch{1}{ln(n)} x^n [/mm] |
Diese Aufgabe mal als Beispiel. Bei den Potenzreihen gerate ich nämlich regelmäßig ins Schwimmen, sobald "Gemeinheiten" ins Spiel kommen.
Die da wären: Index-Verschiebung, "falsche" Potenzen (x^2n ...) oder ungewöhnlche [mm] a_n. [/mm]
In dieser Aufgabe wären ja schon mal zwei davon vertreten.
Die erste Frage, die sich mir hier stellt: Ich weiß ja von der geometrischen Reihe, dass ich dort für den Grenzwert die Indexverschiebung beachten muss. Inwieweit übertrage ich das auf Potenzreihen? Einfach analog?
[mm] \summe_{i=2}^{\infty} \bruch{1}{ln(n)} x^n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{infty} \bruch{1}{ln(n)} x^n [/mm] - [mm] \bruch{1}{ln(1)}x [/mm] (und spätestens jetzt wird einem auch klar, warum die Reihe ab 2 startet.  )
Dies macht also keinen Sinn.
Deswegen die allgemeine Frage: Hat der Index überhaupt einen Einfluss auf den Konvergenzradius? Auf den Grenzwert ja, aber der Radius ist ja nicht direkt vom Grenzwert abhängig.
Sprich, kann ich mir das nicht einfach sparen? 
Wenn ja, könnte ich eines der schönen Kriterien auf [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{ln(n)} [/mm] loslassen.
Das Wurzelkriterium sieht wenig erfolgversprechend aus. Ich kenne keine Aussagen über den natürlichen Logarithmus in Verbindung mit Wurzeln.
Also bleibt (mir) nur das Quotientenkriterium.
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ln(n+1)}{ln(n)}
[/mm]
Sehr interessant. Da helfen dir mir bekannten Rechenregeln für den Logarithmus ebenfalls nicht weiter.
Deshalb dachte ich daran, eventuell die Reihenentwicklung des ln einzubringen.
ln(n+1) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{n^{k+1}}{k+1}
[/mm]
Aber auch dort versagt mein Gespür: Ich sehe nichts, das mir helfen könnte und bin allgemein ziemlich ratlos.
Wer könnte mir auf die Sprünge helfen und eventuell die eine oder andere im Text aufgeworfene Frage beantworten?
Danke und liebe Grüße, Maraq
P.S.: Ich bin noch über die eine oder andere andere interessante Potenzreihe gestolpert, aber eins nach dem anderen. Gehen lernt man ja auch nicht im Dauerlauf.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Mi 17.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{i=2}^{\infty} \bruch{1}{ln(n)} x^n[/mm]
> Diese Aufgabe
> mal als Beispiel. Bei den Potenzreihen gerate ich nämlich
> regelmäßig ins Schwimmen, sobald "Gemeinheiten" ins Spiel
> kommen.
>
> Die da wären: Index-Verschiebung, "falsche" Potenzen (x^2n
> ...) oder ungewöhnlche [mm]a_n.[/mm]
>
> In dieser Aufgabe wären ja schon mal zwei davon vertreten.
>
> Die erste Frage, die sich mir hier stellt: Ich weiß ja von
> der geometrischen Reihe, dass ich dort für den Grenzwert
> die Indexverschiebung beachten muss. Inwieweit übertrage
> ich das auf Potenzreihen? Einfach analog?
>
> [mm]\summe_{i=2}^{\infty} \bruch{1}{ln(n)} x^n[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{infty} \bruch{1}{ln(n)} x^n[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{ln(1)}x[/mm] (und spätestens jetzt wird einem auch
> klar, warum die Reihe ab 2 startet. )
>
> Dies macht also keinen Sinn.
> Deswegen die allgemeine Frage: Hat der Index überhaupt
> einen Einfluss auf den Konvergenzradius?
Nein ! aber Der Reihenwert hängt sehr wohl vom Index ab.
>Auf den Grenzwert
> ja, aber der Radius ist ja nicht direkt vom Grenzwert
> abhängig.
> Sprich, kann ich mir das nicht einfach sparen?
>
> Wenn ja, könnte ich eines der schönen Kriterien auf [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{ln(n)}[/mm] loslassen.
> Das Wurzelkriterium sieht wenig erfolgversprechend aus. Ich
> kenne keine Aussagen über den natürlichen Logarithmus in
> Verbindung mit Wurzeln.
> Also bleibt (mir) nur das Quotientenkriterium.
>
> r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ln(n+1)}{ln(n)}[/mm]
>
Das ist schon mal nicht schlecht.
Berechne mal
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ln(x+1)}{ln(x)}[/mm]
zum Beispiel mit de l'Hospital
FRED
> Sehr interessant. Da helfen dir mir bekannten Rechenregeln
> für den Logarithmus ebenfalls nicht weiter.
>
> Deshalb dachte ich daran, eventuell die Reihenentwicklung
> des ln einzubringen.
> ln(n+1) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{n^{k+1}}{k+1}[/mm]
>
> Aber auch dort versagt mein Gespür: Ich sehe nichts, das
> mir helfen könnte und bin allgemein ziemlich ratlos.
>
> Wer könnte mir auf die Sprünge helfen und eventuell die
> eine oder andere im Text aufgeworfene Frage beantworten?
>
> Danke und liebe Grüße, Maraq
>
> P.S.: Ich bin noch über die eine oder andere andere
> interessante Potenzreihe gestolpert, aber eins nach dem
> anderen. Gehen lernt man ja auch nicht im Dauerlauf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mi 17.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ln(n) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ln(n+1) = [mm] +\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ln(n+1)}{ln(n)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{n+1}}{\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1 + \bruch{1}{n}} [/mm] = 1 = r
Danke. Dürfte dann so stimmen.
An de l'Hospital habe ich gar nicht gedacht. Dabei war es eigentlich naheliegend.
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