Konvergenzradius < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | bestimmen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihen [mm] \summe_{n=1}^\infty a_n: [/mm]
1) [mm] a_n= z^n/n^p
[/mm]
2) [mm] z^n/(a^n+b^n) [/mm] ; a>0 ,b>0 |
Hi,
meine blöde Frage: Wie mache ich das, ich habe keine Ahnung...
Danke und Grüße,
Ben
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Ben,
> bestimmen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihen
> $\summe\limits_{n=1}^{\infty} a_n$
> 1) $a_n= \frac{z^n}{n^p}$
> 2) $a_n=\frac{z^n}{a^n+b^n} \ \ , a>0 ,b>0$
> Hi,
> meine blöde Frage: Wie mache ich das, ich habe keine
> Ahnung...
Habt ihr dazu nix in der VL gemacht? Steht nix im Skript? Oder auf Wikipedia?
google --> Konvergenzradius Potenzreihe
Das gibt bestimmt >100000000 Treffer ...
Wie dem auch sei, berechne im ersten Fall $\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{n^p}\right|}}$
Im zweiten Fall entsprechend $\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{1}{a^n+b^n}\right|}}$
Dazu nimm o.B.d.A. an, dass etwa $b>a$ ist und klammere $b^n$ aus ...
Mache dich schnellstens schlau über den Begriff: "Kriterium von Cauchy-Hadamard", das wird dir noch oft genug begegnen 
> Danke und Grüße,
> Ben
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
hi,
> Habt ihr dazu nix in der VL gemacht? Steht nix im Skript?
> Oder auf Wikipedia?
In der VL haben wir das Thema nur kurz behandelt, eher eben kurz gesagt bekommen...
> google --> Konvergenzradius Potenzreihe
>
> Das gibt bestimmt >100000000 Treffer ...
>
> Wie dem auch sei, berechne im ersten Fall
> [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{n^p}\right|}}[/mm]
>
> Im zweiten Fall entsprechend
> [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{1}{a^n+b^n}\right|}}[/mm]
Das hatte ich mir auch schon überlegt, danke. War dann wohl doch der richtige Gedanke nur dann wusste ich ach nicht weiter und dachte es wäre falsch...
> Dazu nimm o.B.d.A. an, dass etwa [mm]b>a[/mm] ist und klammere [mm]b^n[/mm]
> aus ...
Wieso kann ich das einfach annehmen und wie soll och dann was ausklammern? muss ich abschätzen?
> Mache dich schnellstens schlau über den Begriff:
> "Kriterium von Cauchy-Hadamard", das wird dir noch oft
> genug begegnen
mhh unter dem namen hatten wir das Ganze net, aber gut zu wissen wie es heißt.
Danke.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{1}{a^n+b^n}\right|}}[/mm]
>
> Das hatte ich mir auch schon überlegt, danke. War dann
> wohl doch der richtige Gedanke nur dann wusste ich ach
> nicht weiter und dachte es wäre falsch...
>
> > Dazu nimm o.B.d.A. an, dass etwa [mm]b>a[/mm] ist und klammere [mm]b^n[/mm]
> > aus ...
>
> Wieso kann ich das einfach annehmen und wie soll och dann
> was ausklammern? muss ich abschätzen?
Nein, da kannst du stumpf ausrechnen ohne Abschätzungen
Das verkürzt die Sache nur. Du kannst auch gerne die 3 möglichen Fälle $a=b, a<b, b<a$ untersuchen ...
> mhh unter dem namen hatten wir das Ganze net, aber gut zu
> wissen wie es heißt.
Wie heißt das denn bei euch?
> Danke.
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
ich glaub ich steh da wieder mal auf dem Schlauch, aber was soll ich da denn ausrechnen: [mm] \rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{1}{a^n+b^n}\right|}}}
[/mm]
oder meintest du [mm] \rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{z^n}{a^n+b^n}\right|}}}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peano!
> aber was soll ich da denn ausrechnen:
> [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{1}{a^n+b^n}\right|}}}[/mm]
Führe nun die Grenzwertbetrachtung durch. Bestimme zunächst o.B.d.A. $b \ > \ a$ und klammere [mm] $b^n$ [/mm] unter der Wurzel aus.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
so ich habe jetzt mal was dazu gemacht:
1) [mm] \rho=1/(\limes_{n \to \infty} \wurzel[n]{1/n^p})=1/(\limes_{n \to \infty} [/mm] 1/ [mm] \wurzel[n]{n}^p)=1/(1/1^p)=1
[/mm]
und
2) [mm] \rho= 1/(\limes_{n \to \infty} \wurzel[n]{1/(a^n+b^n})=^/(limes_{n \to \infty} [/mm] (1/b * [mm] \wurzel[n]{1/(a^n/b^n+1)})..... [/mm] nur wie dann weiter? ist das der richtige Weg?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
Wir haben einen sehr leistungsstarken Formeleditor, unterhalb des Eingabefeldes steht jede Formel, die du hier verwendet hast, ein Klick genügt, um den Quellcode anzeigen zu lassen.
An dessen Benutzung solltest du dich nach fast einjähriger Mitgliedschaft hier im Forum nun so langsam gewöhnt haben ...
Lies mal selber, was du den Lesern hier zumutest - ein Unding ist das!
> Hi,
> so ich habe jetzt mal was dazu gemacht:
> 1) [mm]\rho=1/(\limes_{n \to \infty} \wurzel[n]{1/n^p})=1/(\limes_{n \to \infty}[/mm]
> 1/ [mm]\wurzel[n]{n}^p)=1/(1/1^p)=1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und
> 2) [mm]\rho= 1/(\limes_{n \to \infty} \wurzel[n]{1/(a^n+b^n})=^/(limes_{n \to \infty}[/mm]
> (1/b * [mm]\wurzel[n]{1/(a^n/b^n+1)}).....[/mm] nur wie dann weiter?
> ist das der richtige Weg?
Ich übersetze mal für Mitleser:
[mm] $...=\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{b}\cdot{}\sqrt[n]{\left(\frac{a}{b}\right)^n+1}}=\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{b}{\sqrt[n]{\left(\frac{a}{b}\right)^n+1}}$
[/mm]
Nun bedenke, dass wegen $b>a$ der Bruch [mm] $\frac{a}{b}<1$ [/mm] ist, was passiert hier also insgesamt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ?
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
danke, also konvergiert der zweite gegen b...
sry, aber das mit [mm] "\bruch" [/mm] habe ich irgenwie nie gesehen... werd ich in zukunft machen...
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hi,
> danke, also konvergiert der zweite gegen b...
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
ganz genau!
Da dies auch im Falle $a=b$ gilt (wegen [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$), [/mm] kannst du verallg. sagen, dass der Konvergenzradius [mm] $\rho=\max\{a,b\}$ [/mm] ist
>
> sry, aber das mit [mm]"\bruch"[/mm] habe ich irgenwie nie gesehen...
> werd ich in zukunft machen...
Gut! Ich nehme dich beim Wort
Schönen Abend noch
schachuzipus
|
|
|
|
