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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Do 09.07.2009 | | Autor: | Phorkyas |
| Aufgabe | Sei [mm]a_0=1 , a_1 = 1[/mm] und [mm]a_{n+1}=2(a_n+a_{n-1}), n \in \IN[/mm]
Berechnen sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
[mm]\summe_{i=1}^{\infty}{a_n*x^n}[/mm] |
Grüße
Folgende Idee:
[mm]R=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{a_{n+1}}=:p[/mm]
Und es gilt:
[mm]1=2\bruch{a_n}{a_{n+1}}+2\bruch{a_{n-1}}{a_{n+1}}
\Leftrightarrow 2p+2 \bruch{a_{n-1}}{a_{n+1}}-1=0[/mm]
Ich müsste nun in dieser Gleichung den verbleibenden Bruch durch p ausdrücken, dann könnte ich den Grenzwert (falls dieser existiert) berechnen.
Allerdings sehe ich nicht wie.
Für Tipps und Hinweise wäre ich dankbar
Phorkyas
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Hi!
Falls [mm] $p:=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}$ [/mm] existiert, so gilt gewiß:
[mm] $p=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n-1}}{a_n}$
[/mm]
Dann kannst du aber folgern:
[mm]1=2\bruch{a_n}{a_{n+1}}+2\bruch{a_{n-1}}{a_{n+1}}
\Leftrightarrow 2\bruch{a_n}{a_{n+1}}+2 \bruch{a_{n-1}}{a_{n+1}}-1=0[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow 2\bruch{a_n}{a_{n+1}}+2 \bruch{a_n}{a_{n+1}}\bruch{a_{n-1}}{a_n}-1=0$
[/mm]
Für [mm] $n\rightarrow\infy$ [/mm] folgt dann:
[mm] $2p+2p^2-1=0$
[/mm]
Daraus folgt der Konvergenzradius, wenn du zeigen kannst, dass p existiert!!
Gruß Deuterinomium
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Phorkyas |
Hi
Auf den Trick mit [mm]\bruch{a_n}{a_n}[/mm] zu ergänzen bin ich nicht gekommen.
Danke vielmals!
Phorkyas
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