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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:42 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Butterbrot23 |
ich habe große Probleme den Konvergenzradius zu
f(z) = [mm] \bruch{sin (z)}{(z-i-1)^2}, [/mm] wobei z [mm] \in \IC [/mm] \ (i+1)
der TaylorReihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty} f^{n}(0) \bruch{z^n}{n!}. [/mm] Ist dieses vielleicht eine bekannte Aufgabe, die ich im Internet vielleicht finden kann, oder kann mir jemand etwas helfen bitte?
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Hallo,
> ich habe große Probleme den Konvergenzradius zu
> f(z) = [mm]\bruch{sin (z)}{(z-i-1)^2},[/mm] wobei z [mm]\in \IC[/mm] \
> (i+1)
> der TaylorReihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty} f^{n}(0) \bruch{z^n}{n!}.[/mm]
Du musst die Taylor-Reihe wahrscheinlich gar nicht explizit berechnen.
Du hast ein Produkt der beiden Funktionen:
[mm] \sin(z)
[/mm]
und
[mm] \frac{1}{(z-i-1)^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{\Big((i+1)*(1-\frac{z}{i+1})\Big)^{2}} [/mm] = [mm] -\frac{I}{2}*\left(\frac{1}{(1-\frac{z}{i+1})}\right)^{2},
[/mm]
die du beide in absolut konvergente Potenzreihen mit bekanntem Konvergenzradius entwickeln kannst.
Nach dem Cauchy-Produkt konvergiert das Produkt der beiden Reihen absolut, wenn beide Reihen absolut konvergieren.
Wenn eine der beiden Reihen divergiert, muss auch das Produkt divergieren.
Grüße,
Stefan
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Danke erst einmal,
aber der Konvergenzradius von sin(z) ist doch [mm] R=\infty [/mm] habe ich im internet gelesen.
Ich denke nicht, dass die Lösung meiner Funktion [mm] \infty [/mm] ist.
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Hallo,
> Danke erst einmal,
> aber der Konvergenzradius von sin(z) ist doch [mm]R=\infty[/mm]
> habe ich im internet gelesen.
Das ist auch richtig.
Aber der Konvergenzradius des zweiten Faktors ist nicht unendlich.
Und wenn einer der beiden Faktoren divergiert, divergiert das gesamte Produkt.
Mit anderen Worten: Weil der Konvergenzradius von [mm] \sin(z) [/mm] unendlich ist, ist der Konvergenzradius der gesamten Funktion gerade der Konvergenzradius des zweiten Faktors. Das muss man noch exakt begründen, und die Mittel dazu habe ich im ersten Post bereits bereitgestellt... 
Grüße,
Stefan
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Hallo,
hier noch eine Verbesserung:
> Aber der Konvergenzradius des zweiten Faktors ist nicht
> unendlich.
> Und wenn einer der beiden Faktoren divergiert, divergiert
> das gesamte Produkt.
Die zweite Aussage stimmt natürlich nicht so pauschal (bzw. man müsste es beweisen).
Was wir aber wissen ist, dass die Produktreihe zumindest nicht absolut konvergiert, weil es eine Umordnung der Reihe gibt, die divergiert.
Potenzreihen müssen aber im Inneren ihres Konvergenzkreises absolut konvergieren.
Mit diesen Tatsachen müsste man trotzdem zur Lösung kommen.
Grüße,
Stefan
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eine Frage zu deiner letzten Ausformulierung:
$ [mm] -\frac{I}{2}\cdot{}\left(\frac{1}{(1-\frac{z}{i+1})}\right)^{2}, [/mm] $
ist im ersten Bruch dieses ein I oder meintest du eine 1 im Zähler?
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Hallo,
> eine Frage zu deiner letzten Ausformulierung:
>
> [mm]-\frac{I}{2}\cdot{}\left(\frac{1}{(1-\frac{z}{i+1})}\right)^{2},[/mm]
> ist im ersten Bruch dieses ein I oder meintest du eine 1
> im Zähler?
Das kannst du doch durch Umformen ganz leicht selbst herausfinden
Das große "I" soll ein "i" sein, also die imaginäre Einheit.
Grüße,
Stefan
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ok,
ist denn nicht [mm] (\frac{1}{(1-\frac{z}{i+1})})^{2} [/mm] eine reihe die gegen 1 konvergiert?
und wäre somit dann der Kovergenzradius [mm] \frac{i}{2} [/mm] ???
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Hallo,
> ok,
> ist denn nicht [mm](\frac{1}{(1-\frac{z}{i+1})})^{2}[/mm] eine
> reihe die gegen 1 konvergiert?
Was meinst du damit? z ist doch in unserem Fall fest, und eine Reihe sehe ich nirgendswo.
> und wäre somit dann der Kovergenzradius [mm]\frac{i}{2}[/mm] ???
???
Wie wär's, wenn du die Reihe, um die es geht, erstmal aufstellen würdest ?
Grüße,
Stefan
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aus dem sin(z) kann ich doch die reihe hinschreiben, oder bringt das nichts?
ich habe keine ahnung, wie ich da auf den konvergenzradius kommen soll :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:24 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> aus dem sin(z) kann ich doch die reihe hinschreiben, oder
> bringt das nichts?
> ich habe keine ahnung, wie ich da auf den konvergenzradius
> kommen soll :(
Schreib mal [mm] \frac{1}{1-\frac{z}{i+1}} [/mm] als Reihenwert einer geometrischen Reihe
FRED
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