Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Do 14.04.2011 | | Autor: | Terence |
| Aufgabe | Man bestimme den Konvergenzbereich der folgenden Potenzreihe:
[mm] P(x)=x^{2k} [/mm] / [mm] \wurzel{2k} [/mm] |
Hi,
normalerweise benutze ich die Formel von Cauchy-Hadamard: 1/r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}/a_{n})
[/mm]
Allerdings kann man hier doch kein [mm] x^{n} [/mm] rausziehen und kein [mm] a_{n} [/mm] besimmen, oder? Was kann man hier machen?
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Vielen Dak im Vorraus.
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Hallo Terence,
> Man bestimme den Konvergenzbereich der folgenden
> Potenzreihe:
> [mm]P(x)=x^{2k}[/mm] / [mm]\wurzel{2k}[/mm]
> Hi,
> normalerweise benutze ich die Formel von Cauchy-Hadamard:
> 1/r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}/a_{n})[/mm]
>
> Allerdings kann man hier doch kein [mm]x^{n}[/mm] rausziehen und
> kein [mm]a_{n}[/mm] besimmen, oder? Was kann man hier machen?
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Betrachte hier die Potenzreihe
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{2k}}*\left(\ x^{2} \ \right)^{k}[/mm]
Die Konvergenzbereich ergibt sich dann nach
Cauchy-Hadamard zu [mm]x^{2} < r[/mm] bzw. [mm]\vmat{x} < \wurzel{r}[/mm].
> Vielen Dak im Vorraus.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Do 14.04.2011 | | Autor: | Terence |
Danke für die schnelle Antwort.
So hab ich das auch automatisch versucht. Aber mein Professor hat in der Lösung geschrieben, dass der Radius = 1 ist. Wie kommt der da drauf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Do 14.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort.
>
> So hab ich das auch automatisch versucht. Aber mein
> Professor hat in der Lösung geschrieben, dass der Radius =
> 1 ist. Wie kommt der da drauf?
es war [mm] $P(x)=\sum_k \frac{(x^{2})^k}{\sqrt{2k}}=\sum_k \frac{1}{\sqrt{2k}}z^k=:\tilde{P}(z)$ [/mm] mit [mm] $z:=x^2\,.$ [/mm]
Die Potenzreihe [mm] $\tilde{P}$ [/mm] hat (bzgl. [mm] $z\,$ [/mm] !!) nach Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius
[mm] $$\left(\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{1}{\sqrt{2k}}}\right)^{-1}\,,$$
[/mm]
und durch ein paar elementare Umformungen und unter Beachtung von [mm] $\sqrt[k]{k} \to [/mm] 1$ und [mm] $\sqrt[k]{2} \to [/mm] 1$ ($k [mm] \to \infty$) [/mm] - was dann auch wegen [mm] $\sqrt[k]{\sqrt{2k}}=\sqrt{\sqrt[k]{2}}*\sqrt{\sqrt[k]{k}} \to \sqrt{1}*\sqrt{1}=1*1=1$ [/mm] zur Folge hat - ist der Konvergenzradius von [mm] $\tilde{P}$ [/mm] in [mm] $z\,$ [/mm] gerade [mm] $1\,.$
[/mm]
Daher konvergiert [mm] $P\,$ [/mm] für alle [mm] $|x|^2 [/mm] < 1$ und divergiert für alle [mm] $|x|^2 [/mm] > [mm] 1\,,$ [/mm] anders gesagt:
[mm] $P\,$ [/mm] konvergiert in [mm] $x\,$ [/mm] für alle $|x| < [mm] \sqrt{1}=1$ [/mm] und divergiert für alle $|x| > [mm] 1=\sqrt{1}\,,$ [/mm] so dass [mm] $P\,$ [/mm] den Konvergenzradius [mm] $\sqrt{1}=1$ [/mm] hat.
P.P.S.:
Bei der Berechnung des Potenzradius von [mm] $\tilde{P}$ [/mm] in [mm] $z\,$ [/mm] beachte auch, dass gilt:
Aus der Existenz von [mm] $\lim_{k \to \infty} r_k=:r$ [/mm] folgt die Existenz von [mm] $\limsup_{k \to \infty}r_k\,,$ [/mm] wobei dann beim Limsup Gleichheit gilt, also
[mm] $$\limsup_{k \to \infty}r_k=r\,.$$
[/mm]
(Die Umkehrung gilt i.a. nicht!)
Analoges gilt für Liminf.
(Wenn man allerdings Existenz UND Gleichheit von Liminf und Limsup hätte, dann wäre auch der Limes existent und der würde mit einem der beiden (und damit dann auch mit beiden) übereinstimmen.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Do 14.04.2011 | | Autor: | Terence |
Ok, habs gecheckt. Danke schön.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Do 14.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man bestimme den Konvergenzbereich der folgenden
> Potenzreihe:
> [mm]P(x)=x^{2k}[/mm] / [mm]\wurzel{2k}[/mm]
die Potenzreihe ist eher
[mm] $$P(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$$
[/mm]
mit
[mm] $$a_k=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n=2k-1 \mbox{ (ungerade)} \\ \frac{x^n}{\sqrt{n}}, & \mbox{für } n=2k \mbox{ (gerade)} \end{cases}$$
[/mm]
für $k [mm] \in \IN \cup \{0\}\,.$
[/mm]
(Bei Dir oben fehlt ein Summenzeichen!)
Alternativ kannst Du auch, wie Mathepower vorgeschlagen hat, einfach
[mm] $$P(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{\sqrt{2k}}=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{\sqrt{2k}}=:\tilde{P}(z)$$
[/mm]
schreiben. Dann hast Du eine Potenzreihe in [mm] $z=x^2$ [/mm] in üblicher Form vorliegen, dann gehst Du so vor, wie Mathepower gesagt hast, und am Ende erinnerst Du Dich, dass [mm] $|z|=|x^2|=|x|^2$ [/mm] gilt, um, wenn Du den Konvergenzradius von [mm] $\tilde{P}$ [/mm] in [mm] $z\,$ [/mm] kennst, den bzgl. [mm] $P\,$ [/mm] in [mm] $x\,$ [/mm] zu errechnen. (Der Konvergenzradius von [mm] $\tilde{P}$ [/mm] in [mm] $z\,$ [/mm] ist also das Quadrat des Potenzradius der Potenzreihe [mm] $P\,$ [/mm] in [mm] $x\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Do 14.04.2011 | | Autor: | Terence |
Ja, Summenzeichen vergessen.
Und wie immer bin ich erleuchtet. Vielen Dank.
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